“Бесконечную совокупность нельзя рассматривать как нечто законченное, данное само по себе (актуальная бесконечность), а можно рассматривать лишь как н ечто становящееся, нечто такое, что можно все дальше и дальше надстраивать над конечным ( потенциальная бесконечность)” [2].
Под актуальной бесконечностью (Б.Больцано и Г.Кантор) понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно. Например, мы будем иметь дело с актуальной бесконечностью, если пересчитаем весь натуральный ряд полностью. Другой пример – бесконечная совокупность точек отрезка, которая предстоит перед нами в законченном виде. Отдадим себе отчет в том, что актуальная бесконечность представляет собой весьма сильную идеализацию. В самом деле, она допускает не только возможность построения последующего объекта, если построен предыдущий, но и постулирует, что все возможные объекты уже построены и существуют одновременно. Б.Больцано замечает: чтобы вообразить целое, нет необходимости представлять отдельно его части.
Иногда говорят, что понятие завершенной бесконечности соединяет в себе как бесконечное, так и конечное.
В актуальной бесконечности феномен бесконечности являет себя явным образом. С этой точки зрения потенциальная бесконечность, допускающая неограниченное число шагов, не есть собственно бесконечность. На потенциальную бесконечность можно смотреть как на неопределенно конечное.
Лейбниц: «Я в такой мере стою за актуальную бесконечность, что не только не допускаю, что природа боится ее, как обыкновенно выражаются, но и признаю, что природа всюду являет именно такую бесконечность, чтобы лучше отметить совершенство своего Творца»
Множества. Носителями актуальной бесконечности являются бесконечные множества. Эти объекты положены в основу теории множеств Г.Кантора. Под множеством понимается соединение в некое целое М определенных хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться элементами множества М).
Первоначальные объекты любой теории являются неопределяемыми понятиями, пока нет того, через что их можно определить. Введение первоначальных объектов в рассмотрение происходит через так называемые номинальные определения, которые, строго говоря, определениями и не являются. Правда, математики нашли выход из этого положения и вводят неопределяемые понятия с помощью аксиом, что было сделано позже Э.Цермело и Френкелем.
В канторовском “определении” множества отметим два существенных положения:
· множества задаются актуально;
· элементы каждого множества хорошо различимы для нашего созерцания, т.е. заданы четко.
Отметим еще одно положение: в канторовской теории никаких других объектов, кроме множеств, не существует. Таким образом, любой бесконечный объект, который нам встретится, заранее объявляется множеством. Эта установка канторовской теории на всеобъемлемость понятия актуально бесконечного множества потерпела крушение в 1902 г. в связи с рассмотрением такой естественной конструкции, как “множество всех множеств”. Ведь если множество всех множеств можно рассмотреть актуально, то можно рассмотреть и множество всех таких множеств, которые не являются элементами самих себя. Обозначим такое множество через Т. С удивлением замечаем, что, с одной стороны, должно быть Т принадлежать Т, а с другой (по самому определению множества Т) – Т не принадлежит Т (парадокс Рассела).
Этот парадокс, который был известен и самому Кантору, указывает на природу актуально бесконечныхсовокупностей. Некоторые из них мы можем помыслить без противоречий как множества, а представить себе совокупность всех таких множеств как множество мы не можем. Заметим, что уже в этом месте можно было бы обнаружить, что “ множество всех множеств” является нечетко заданной совокупностью. Но исторически оказалось выбранным другое радикальное решение: осуществление множества всех множеств и некоторых его подмножеств было просто запрещено. Наличие запрета побуждает к его преодолению. Тем не менее надо признать, что такое решение оказалось весьма действенным, и оно привело к созданию аксиоматической теории множеств ZF. В этой теории мы исходим из предположения, что существует некая огромная совокупность множеств, в которую входят все множества, уже применявшиеся в математике, и, конечно, многие другие. Эту совокупность и большинство ее подсовокупностей мы уже не имеем права представлять как множества. Более точные сведения об этой совокупности мы получим из аксиом Цермело – Френкеля, которые вобрали в себя основные истинные утверждения о множествах в нее попавших.
В другой теоретико-множественной аксиоматике (Геделя – Бернайса) и эта совокупность, и ее подсовокупности признаются объектами исследований, но, чтобы защититься от противоречий, для них используют специальное название “класс”. Однако совокупности элементов этих классов четко выделены и, стало быть, это множества, но просто их нельзя так называть.
Другая методологическая проблема теории множеств связана с аксиомой выбора. Эта аксиома постулирует существование функции, с помощью которой можно выбрать по одному элементу из каждого множества некоторой бесконечной совокупности множеств и образовать из этих элементов новое множество. Функция выбора имеет явно нечеткий характер. Во-первых, сама эта функция не задается никаким законом, никаким правилом. А во-вторых, если два человека применят функцию выбора к одной и той же совокупности множеств, то не существует никакой принципиальной возможности ответить на вопрос, совпадают ли полученные множества или нет.
Аксиома выбора стала предметом серьезных дискуссий среди математиков начала ХХ в. Взгляды сторонников и противников этой аксиомы хорошо представлены в монографии Ф.А.Медведева [9]. С одной стороны, без аксиомы выбора невозможно построение классической теории множеств, с другой – явная нечеткость и неоднозначность функции выбора резко контрастируют с установкой канторовской теории на четкость и однозначность изучаемых объектов.
В 1963 г. П.Коэн получает неожиданное решение первой проблемы Гильберта: он доказывает независимость континуум-гипотезы (всякое бесконечное подмножество континуума R равномощно либо множеству натуральных чисел, либо R.). Согласно этому результату появляется возможность построения разных теорий множеств в зависимости от того, принимается ли или отвергается континуум-гипотеза. Более того, появляется возможность развивать и такие теории, в которых континууму можно назначать произвольную мощность на шкале мощностей. С этого момента возникают объективные предпосылки для переосмысливания основных положений канторовской теории и развития альтернативных точек зрения.
Альтернативная теория множеств. В 1964 г. молодой чешский ученый П.Вопенка: Основным объектом альтернативной теории множеств (AST) являются нечетко выделенные совокупности. П.Вопенка называет их классами (к сожалению, этот термин задействован в аксиоматике Геделя – Бернайса, но там он имеет другой смысл). Приведем некоторые примеры классов. Скажем, совокупность ныне живущих людей выделена нечетко. Ведь если бы мы должны были решить, принадлежит ли к ней тот или иной человек, то у нас могли бы иной раз возникнуть немалые сомнения. Аналогично не являются четко выделенными совокупности всех интересных книг в данной библиотеке, вкусных блюд и т.п. Короче говоря, почти всегда, когда мы образуем совокупность на основе какого-либо естественного свойства (т.е. помещаем в эту совокупность все объекты с данным свойством), такие совокупност и выделяются нечетко.
Множество (в классическом смысле), которое содержит в качестве подмножества некоторый класс, называется полумножеством. Можно сказать, что AST есть теория полумножеств.
Другим интересным понятием AST является понятие горизонта. Каждый наш взгляд, куда бы он ни был направлен, всегда чем-то ограничен: либо на его пути оказывается твердая граница, четко его пресекающая, либо он ограничен горизонтом, в направлении к которому утрачивается ясность нашего видения. Например, наш взгляд на окружающее пространство, сосредоточенный на его размерности, четко ограничен тремя измерениями. Горизонтом ограничено наше видение вдаль, а также вглубь, т.е. при взгляде на все более мелкие предметы, видение в широком смысле: наше познание, наш ум, наша мысль. Сам горизонт признается четким явлением, однако то, что лежит перед горизонтом, выделяется нечетко. Чем ближе к горизонту находится нечто, тем хуже мы его видим. Вернее, в направлении к горизонту мы встречаемся с феноменом нечеткости.
Наличие классической и альтернативной точек зрения является безусловно положительным моментом. Сравнительный анализ этих теорий будет способствовать уяснению тех проблем, которые относятся как к основаниям, так и к обоснованию математики. Например, сравнение классической и альтернативной бесконечности позволяет нам уже сейчас сформулировать свой (предварительный) взгляд на бесконечность: сущность бесконечности заключается в ее актуальности и нечеткости.
8. Проблема обоснования в математике: очевидность и непротиворечивость.
(Обоснование – из 2 ответа)
Янов Ю.И. ИПМ им. М.В.Келдыша РАН: Если спросить человека, далёкого от науки, об истинности математических теорем, то скорее всего он скажет, что они абсолютно истинны. Напротив, высказывания ученых на эту тему, утверждают невозможность определённого ответа на этот вопрос. Причиной такого разногласия является прежде всего различие взглядов на природу математических понятий, откуда вытекает и различное понимание истинности математических теорем. С другой стороны, понятие истинности теорем является метаматематическим и потому до тех пор, пока соответствующий раздел метаматематики не был формализован и тем самым превращён в часть математики, обсуждение этого вопроса могло носить только философски й характер. От математики требуется определённая объективность решений.
Вопрос об адекватности математических моделей реальным ситуациям всегда будет находиться за пределами математики и, более того, - за пределами достоверных знаний. В то же время математика отличается от других наук абстрактным характером и идеальностью своих понятий, что даёт основание считать её теоремы абсолютно истинными.
Математика, как и всякая наука, представляет собой систему понятий и утверждений (предложений, теорем, формул) в определенном языке. Однако, в отличие от всех остальных наук, семантика математического языка не является фрагментом реального мира, но является элементом самой математики. Поэтому можно сказать, что математика является наукой, замкнутой в самой себе. При всём том значительная часть математики используется для решения задач, возникающих при изучении реального мира, что дало основание считать математику естественной наукой.
Пессимистические высказывания в адрес математики появились в основном в конце 19-го начале 20-го веков, когда обнаруженные антиномии в традиционно построенной теории множеств поколебали веру в непогрешимость математической интуиции.
С античных времен существуют различные взгляды на природу и назначение математики. В соответствии с отношением к реальному миру их можно разделить на два вида, которые мы условно назовем прагматическим и идеальным. С прагматической точки зрения математика является естественной наукой, служащей для познания закономерностей материального мира и черпающей из него свои понятия и задачи, причём последним критерием истинности математических постулатов и теорем считается их соответствие каким-либо реальным аналогам. Однако, по самой природе естественнонаучного знания, не существует возможности установить или опровергнуть наличие такого соответствия, во-первых, потому, что все естественнонаучные знания имеют индуктивный характер, и во-вторых, потому, что мы не можем гарантировать адекватного истолкования наших наблюдений и экспериментов. Кроме того, математический язык настолько универсален, что пригоден для описания многих виртуальных миров, в частности, несовместимых с «реальным». Поэтому говорить о каком-то особом соответствии математического языка именно реальному миру необоснованно.
С идеальной точки зрения математика является независимой наукой, развивающейся по своим собственным закономерностям и непосредственно с материальным миром не связанной.
Современное состояние оснований математики сложилось фактически в середине 20-го века и с тех пор основные концепции практически не изменились, несмотря на получение множества частных результатов. Поскольку вопрос обоснования математики является пограничным между философией и математикой (принадлежит метаматематике – в терминологии Гильберта), то его разрешение должно состоять в выработке общепризнанной концепции, возможно синтезированной из разных направлений.
К числу основных достижений 20-го века в области оснований математики следует отнести:
· Выработку понятия формального языка и формальной системы (исчисления) и порождаемой ею теории.
· Создание математической логики в виде непротиворечивой семантически полной формальной системы.
· Создание аксиоматизированных формальных теорий арифметики, теории множеств, алгебраических систем и других важных разделов математики.
· Формальное уточнение понятий алгоритма и вычислимой функции.
· Арифметизация и погружение в формальную теорию таких важных понятий метаматематики, как доказуемость, непротиворечивость и др., что позволило решать многие метаматематические проблемы математическими средствами.
Перечисленные достижения потребовали осознания и уточнения многих важных математических и метаматематических понятий таких, как язык, синтаксис и семантик а математических теорий и др.
Своеобразие критерия истины в математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого критерия выступает теория арифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждого математика. Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметь ввиду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться все выдвигаемые гипотезы.
Необходимо заметить, что использование в качестве непосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, что этот критерий органически связан с двумя другими требованиями – точностью и непротиворечивостью. Удовлетворение этим двум критериям – тоже необходимое условие истинности математических построений.
Витгенштейн: доказательства непротиворечивости являются бессмысленными, поскольку не дают никакой гарантии против противоречий, возникновение которых связано с применением теоретических средств, а вовсе не со структурой или строением теории. В силу того, что избежать нежелательного употребления теоретических средств в принципе невозможно, любые основания математики будут ненадежными.
Оценка современного состояния проблемы обоснования М резюмирована монографии Е.Беляева и В.Перминова: “ Общей концепции, которая бы позволила ответить на все философские вопросы, возникающие в связи с проблемой обоснования математики в XX веке, пока не существует ”. Ряд положений: “ 1. Основное требование к М и цель ее обоснования — ее непротиворечивость. Обоснование М состоит в устранении существующих противоречий и в выработке средств анализа, предупреждающих появление таких противоречий в будущем. 2. Единая программа обоснования математики типа гильбертовской или расселовской в настоящее время уже невозможна. 3. Невозможна единая теор. база обоснования М, т.е. невозможно обосновать М сведением всех ее положений к 1му ее разделу. Ни логика, ни арифметика не могут выступать в качестве такой последней основы. 4. Обоснование математики не временный, но пост процесс, необходимая сторона развития мат знания в целом. Тезис логицизма: математические объекты могут вводиться только на основании тезиса о непротиворечивости, т.е. математический объект может быть признан существующим, если он мыслим непротиворечивым образом.
Резюме ( из Янов Ю.И.):. 1. Математика является замкнутой в себе наукой, не нуждающейся в каких-либо внешних критериях истинности её теорем. В то же время она с большим успехом используется для решения естественнонаучных задач. Это обстоятельство послужило поводом считать математику естественной наукой, предназначенной для изучения реального мира, и таким образом критерий истинности её теорем был выведен за пределы математики и поставлен в зависимость от «реальных фактов». В наше время, когда не только математические, но и многие метаматематические понятия приобрели точный формальный смысл, несостоятельность такой точки зрения стала вполне очевидной, во-первых, потому, что не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным аналогам, и во-вторых, естественнонаучные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от накопленных экспериментальных данных и в особенности от их интерпретации, в то время как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий.
2. В математике истинность теоремы отождествляется с выводимостью (доказуемостью) её из непротиворечивой системы посылок (аксиом). Вывод или доказательство представляет собой дедуктивную цепочку, каждый шаг которой обосновывается каким-либо логическим правилом, принадлежащим формальной математической логике. Фактически подавляющее большинство доказательств содержат шаги дедукции, основанные на интуитивной очевидности. Поэтому требуется, чтобы интуитивно очевидные шаги имели логический эквивалент. Как правило интуитивные доказательства этому требованию удовлетворяют, что позволило принять соответствующий тезис, названный тезисом Гильберта, об эквивалентности интуитивных и логических доказательств.
3. Вопрос о непротиворечивости математических теорий до 19-го века практически не возникал, поскольку считалось, что математические понятия отражают свойства реального мира, которые не могут быть противоречивыми. К тому же, кроме ссылки на какую-либо реальную модель, не существовало других средств доказательства непротиворечивости. К концу 19-го века этот вопрос назрел, а в 20-м веке, благодаря формализации математических теорий, получил возможность решения математическими средствами. При этом было осознано, что ссылка на реальную модель не является доказательством непротиворечивости, поскольку не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным объектам.
Следует заметить, что вопрос о непротиворечивости математики в целом не имеет смысла, поскольку в достаточно развитой математике, каковой является современная математика, обязательно должны существовать непротиворечивые теории, объединение которых противоречиво. Поэтому речь может идти только о непротиворечивости отдельных теорий, например, формальной арифметики или формальной теории множеств и т.п. Подчеркнём, что речь идёт в основном о формальных теориях, поскольку содержательно («наивно») построенные теории не столь уязвимы со стороны противоречивости, как формальные, ибо содержательная теория не предстаёт перед нами в целом, а только - в виде построенного к данному времени фрагмента, непротиворечивость которого, как правило, обеспечивается в процессе его построения. Поэтому вопрос о непротиворечивости наиболее актуален для формальных теорий и в основном в связи с общей проблемой оснований математики. 20-й век получил кардинальные результат, существенно расширил и углубил представления о математике. Многие важные проблемы, как в области математической логики, так и в области основополагающих математических теорий (например, теории множеств) остаются нерешенными, но это явление естественно для всякой науки.
В заключение следует отметить, что математика не вписывается в принятое деление наук на естественные и гуманитарные, и ей более подходит особый статус универсальной науки.
9. Методологическое содержание требований точности и строгости в математике.
Математика издревле понималась как абсолютно строгая наука, где все положения доказаны совершенно определенно и навсегда. Самые выдающиеся мыслители античности, средних веков и нового времени пытались лишь объяснить непреложность математических истин, но никогда не ставили их под сомнение. В нашем веке, однако, релятивистский критицизм«захватил и математику.
В последнее время скептическое отношение к достоверности и строгости математического доказательства.. * Традиционное понимание математики: расхождение между предсказанием и экспериментом может быть следствием несовершенства физической модели либо неадекватности интерпретации, но никоим образом не дефектности дедуктивного рассуждения.
При традиционном понимании математики как строгой науки мы не ставим вопроса о надежности математического аппарата самого по себе, его способности переводить истинные суждения в истинные. *Современные сомнения в строгости математического доказательства есть, таким образом, сомнения в правильности традиционной методологии применения математики, в надежности ее как одного из средств исследования природы.
Проблема строгости в математике сводится к следующим трем проблемам:
1. В какой мере возможно обоснование герметичности доказательств?
В доказательстве мы опираемся прежде всего на некоторые утверждения, которые можно назвать аксиомами.
Допустим, что находим некоторое число таких аксиом, предполагая, что содержащаяся в них информация достаточна для доказательства теоремы без привлечения какой-либо другой информации, внешней по отношению к аксиомам. Насколько мы можем быть уверены в этом и существуют ли вообще средства убедиться, что данная теорема вытекает только из данного множества аксиом без привлечения дополнительных предпосылок? Строгое доказательство, таким образом, это доказательство из конечного числа явных утверждении и герметичное по отношению к ним, т. е. не использующее никакой информации, кроме той, которая в них содержится.
2. Насколько мы можем доверять правилам логики, используемым в доказательстве?
предполагаем также, что использованные в нем логические средства и нормы в некотором смысле совершенны и надежны
Дискуссия о законе исключенного третьего в XX веке в связи с интуиционистским пониманием математики показала, что это отнюдь не тривиальное допущение.
3. В какой мере можно обосновать однозначность доказательства, т. е. невозможность противоречащего результата в данной системе посылок?
Наше доказательство перестанет быть для нас доказательством, если обнаружится, что в той же системе предпосылок можно доказать и противоположное утверждение. обоснование строгости данного конкретного доказательства предполагает доказательство его однозначности в смысле результата, а точнее, доказательство непротиворечивости всех утверждений, выводимых в данной системе аксиом.
различие между идеалом строгости и нормами строгости, специфичными для каждой эпохи ее развития.
Идеал математической строгости изменяется чрезвычайно медленно. Со времени греческой математики и до XIX века он оставался неизменным и состоял в требовании, чтобы теоремы следовали из аксиом без прибавления к ним каких-либо посторонних допущений, т. е. он состоял в требовании герметичности доказательства.
*Наиболее важное изменение этого идеала произошло в XIX веке и состояло в отказе от реалистической интерпретации аксиом как истинных и очевидных утверждений.
*Современный математик не связывает идеал строгости с требованием предметной истинности аксиом или с идеей их очевидности. Он вместе с тем включает в этот идеал наряду с герметичностью также и требование непротиворечивости всей системы выводов и адекватности логических норм. Это обогащение идеала идет, однако, не по линии его радикального изменения, а лишь в плане экспликации традиционного понятия.
Требование непротиворечивости всей системы выводов данной теории и требование адекватности логических норм неявно всегда включались в представление о строгом выводе, но для математиков вплоть до XX века эти требования представлялись всегда и безусловно выполненными, всегда имеющимися налицо предпосылками мышления, проистекающими из самой его природы. Лишь в последнее время было понятно, что эти условия не выполняются сами собой, что здесь возможна вариабельность, следовательно, и особый источник нестрогости математического рассуждения в целом.
Явная формулировка указанных условий сделалась, таким образом, обязательной для адекватного представления идеала строгого вывода.
*Подобные изменения в общем представлении о строгости, разумеется, возможны и в будущем, но важно отметить, что они происходят чрезвычайно медленно и только в рамках экспликации фундаментальных представлений о сущности математики как науки.
Напротив, п ризнаки, с которыми мы связываем строгость доказательства, в то или другое время изменяются относительно быстро.
*Признаком строгого доказательства для пифагорийцев раннего периода было доказательство арифметическое. После открытия несоизмеримости величин гарантией строгости стали считать проведение его в геометрических понятиях.
*Декарт настаивал на правах интуитивной ясности и очевидности и поднял эти критерии математической истины до уровня общего критерия истинности.
В XVIII веке был выдвинут ряд отрицательных признаков строгого доказательства: запрет апеллировать к геометрическому чертежу и т. д. Очевидность окончательно потеряла свои права в качестве признака строгости в XIX веке.
Никогда не угасающие споры о строгости математики редко затрагивают общий идеал строгости; в этом пункте, на уровне общей интуиции строгости, математики не расходятся друг с другом. Речь идет, как правило, о конкретных требованиях к доказательству, которые предполагаются идеалом строгости. Общий идеал строгости не дает здесь однозначного руководства, и каждая эпоха в развитии математики характеризуется преобладанием своих, только ей свойственных требований к математическому рассуждению, призванных гарантировать его строгость.
Общие принципы строгости, которые выдвигаются той или иной эпохой, далеко не всегда могут быть реализованы в форме эффективных критериев. Требование избегать геометрических интуиции в доказательстве выдвигалось уже Эйлером, но оно не могло быть критериальным до появления идеи формализованного доказательства в конце XIX века. Естественное с современной точки зрения требование непротиворечивости вводимых определений пока не имеет никакого реального критерия. В общем случае поэтому необходимо различать исторические 'нормы (требования) строгости от критериев строгости, посредством которых эти нормы проводятся и фиксируются в реальном рассуждении.
Степень развития норм и критериев строгости необходимо отличать от уровня фактической строгости математических доказательств в ту или другую эпоху. Мы будем считать математическое доказательство фактически строгим, если оно принимается в качестве доказательства и с точки зрения последующих эпох, т. е. если оно не может быть отвергнуто как ошибочное и невосполнимое с точки зрения каких-либо других, более глубоких критериев строгости. Фактическая строгость математики в широком диапазоне независима от существующих норм и критериев строгости.
Несмотря на неразвитость таких критериев, математики всех времен мыслили достаточно строго. В отличие от эмпирического знания в математике мы не наблюдаем систематического процесса фальсификации утверждений, полученных учеными предшествующих эпох. Эта замечательная особенность математического знания является, несомненно, одним из оснований представления о математике как о строгой и непогрешимой науке.
Строгость математического рассуждения, несомненно, не самоцель. Она возникает и совершенствуется как некоторое средство, определяющее эффективность математики, и она, следовательно, может быть понята только из основных требований этой эффективности, т. е. из общих задач математики по отношению к науке в целом.
*понятие достоверности (надежности) математического доказательства, характеризующее доказательство с точки зрения предмета рассуждения, фактического положения дел в некоторой внутри математической или физической реальности. Имеются заведомо нестрогие рассуждения, но достоверные в том смысле, что они приводят к установлению полной истины. С другой стороны, можно представить себе логически законченное (строгое) доказательство, которое по некоторым причинам не воспринимается как достоверное, гарантированное от контрпримеров. Такая ситуация возникает иногда в основаниях математики.
Таким образом, строгость и достоверность — разные понятия, хотя и тесно связанные: наше стремление к строгости доказательства проистекает, очевидно, из стремления к его достоверности и надежности как средства предсказания в науке.
Отметим еще то обстоятельство, что математическое доказательство может рассматриваться с нескольких, существенно различных точек зрения. Мы можем изучать его с позиций чистой логики, анализируя его структуру и типы, можем подходить исторически, выясняя обстоятельства зарождения и смены его канонов, рассматривать его в плане возможных эвристических средств, как это делает в своих книгах Д. Пойа, или, наконец, исследовать его психологический механизм. Задача философии не в синтезе этих подходов. Такой синтез, вообще говоря, и невозможен. Гносеологический подход состоит в рассмотрения доказательства с особой точки зрения, а именно с точки зрения его функции, его общих задач в науке.
10. Проблемы объяснения, понимания и интерпретация в математике.
основная роль теории - объяснение.//в античности: объяснение - сведение сложного к простому. А простое - это движение прямолинейное или круговое. В дальнейшем -простое - это механическое//В 20 веке объяснение - подведение частного под более общее, таким образом, чтобы частное рассматривалось как частный случай общего и могло быть дедуктивно выведено из общего при учете некоторых условий. Надо разделять объяснение и понимание.В объяснении выделяется эксплананс (совокупность объясняющих положений) и экспланандум (то, что надо объяснить).Основный требования в объяснении:1. Эксплананс должен отображать ту же предметную реальность. Что и экспланандум (так что ссылка на Бога в объяснении - не пройдет).2. Эксплананс должен содержать по крайней мере один научный закон3. Эксплананс включает обязательно условия. при которых объясняемое может быть рассмотрено как частный случай общего и можут быть из него выведено.4. Эксплананс не должен быть тавтологией экспланандума. Объяснения могут быть: причинно-следственныеструктурныефункциональные (p=F(q))генетические (выводим частное по происхождению)статистические Законы:1. Причинные (которые могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями) A->B2. Охватывающие - речь идет о некоторых массах событий (проявляют себя на достаточно большом промежутке времени и большой массе событий: в меньшем промежутке времени и на меньшем количестве событий - этот закон себя не проявляет). Причем нет универсального интервала (времени).Интерпретация - особая логическая операция, с помощью которой осуществляется перевод математических символов и формальных теоретических понятий на язык содержательного знания., ее виды
* строгая - во-первых, присутствует однозначный изоморфизм между теорией и областью эмпирической реальности (например, в физическом эксперименте); во-вторых, при переводе на экспериментальную ситуацию должна подтверждаться истинность теоретических положений;
* эмпирическая - полем интерпретации является эмпирическая теория
* полная - все элементы и отношения теории однозначно соотносятся с элементами и отношениями эмпирии
*неполная - соотносятся частично
* семантическая - полем интерпретации является формальная теория
*моделирующая - моделирование свойств одних реальных объектов с помощью других реальных объектов (например, гидросистем с помощью электрических схем)
*косвенная (формализация) - соотнесение теории с другой формальной теорией.
возможна многоуровневая семантическая интерпретация
*нестрогая (естественная) - там где возможна наглядная образность, интуитивно понятное представление (например, в классической механике)
