Статистическая функция распределения. Гистограмма. Полигон

Статистической функцией распределения величины X по имеющейся выборке называется функция , равная относительной частоте события (X< x), то есть

, (1.4)

 

где n_x – число значений в выборке, меньших x; n – объём выборки.

Например, если имеется вариационный ряд (–3, –2, 2, 4, 5), то имеет график, изображённый на рис.1.1.

Рис.1.1. Статистическая функция распределения выборки.

 

Функция имеет скачки, кратные 1/n, в точках значений выборки. При большом объёме выборки становится затруднительно строить точный график . Поэтому можно построить её приближённый график. Это делается следующим образом. Находятся точки графика для границ частичных интервалов группированной выборки и соседние точки графика соединяются прямолинейными отрезками. Образец такого графика приведён на рис.1.2.

Рис.1.2. Статистическая функция распределения группированной выборки.

 

Гистограммой называется совокупность прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы, а высоты равны соответствующим плотностям относительных частот. При этом площадь i –го прямоугольника равна

,

то есть она равна относительной частоте попадания элементов выборки в этот интервал.

Если середины верхних сторон прямоугольников соединить ломаной линией, то получается полигон. На рис.1.3. изображены образцы гистограммы и полигона.

 

Рис. 1.3. Гистограмма и полигон группированной выборки.

 

Какую же информацию можно извлечь из статистической функции распределения, гистограммы и полигона? Пусть случайная величина X имеет функцию распределения F_x(x), то есть F_x(x) равна вероятности события X < x:

 

F_x(x) = P(X< x). (1.5)

Статистическая же функция распределения (1.4)равна уже относительной частоте того же события. В теории вероятностей известен так называемый закон больших чисел, в силу которого относительная частота любого события в серии из n независимых опытов сходится с вероятностью единица к вероятности этого события при бесконечном увеличении числа опытов. Следовательно, с вероятностью единица:

 

. (1.6)

В нашем же случае, объём выборки n ограничен (хотя и может быть очень большим), поэтому может служить некоторым приближением неизвестной F_x(x):

 

F_x(X)» . (1.7)

 

Таким образом, полученная статистическая функция распределения является приближением исследуемой случайной величины X. И это приближение будет улучшаться с ростом объёма выборки и числа частичных интервалов.

Производная функции распределения случайной величины X называется её плотностью распределения вероятностей:

 

f_x(x) = (1.8)