растяжению-сжатию (задача № 1)
Условие задачи
Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей 
подвержен действию нагрузок, показанных на рис. 1.3, а. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности (1.5) или (1.7). (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)
Решение
Определяем продольную силу и строим эпюру распределения N вдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:
. 
Рис. 1.3. К решению задачи № 1:
а – схема нагрузки на стержень;
б, в – эпюры продольной силы и напряжений
|
Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке стержня:
на первом участке 
) 
;
на втором участке 
;
на третьем участке 
.
Поясним, что на первом и втором участках суммируем все силы, находящиеся слева от рассматриваемого сечения, на третьем участке в выражение для продольной силы входят силы, расположенные справа от сечения.
Ищем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго участка
,
в конце второго участка
.
Аналогично для третьего участка
, 
.
По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3, б эпюра N построена для следующих исходных данных: 
м, 
м; F 1 = 10 кН, F 2 = 40 кН, q 1 = 15 кН/м, q 2 = 20 кН/м.
Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Для этого площади сечений на всех участках выразим, используя заданное отношение площадей, через одну неизвестную величину 
. Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются также и в местах изменения поперечного сечения.
Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при сжатии. Например, на эпюре 
, показанной на рис. 1.3, в, опасным является не только сечение в начале третьего участка 
, где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участка 
с максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:
для чугунной части
, откуда 
,
и 
;
для стальной части
, тогда 
.
Из трех значений A 1, найденных из условий прочности в опасных сечениях выбираем то, которое удовлетворяет всем условиям (то есть максимальное их всех найденных значение . Величину А 2 находим по заданному соотношению: 
.
Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.
