Рекомендуемая литература
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 13 (§ 13.6).
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 3 (§ 10, 11), гл. 4 (§ 14, 15, 20).
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 3 (§ 3.1–3.5, 3.7), гл. 8 (§ 8.1, 8.2).
Основные понятия и формулы
Напряженное состояние в точке тела. Под точкой тела понимаем малый объем материала вблизи геометрической точки. Внутри этого объема напряжения изменяются дифференциально мало. Н апряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений на всех площадках, проведенных через нее. Напряженное состояние задают три вектора напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках. Эти три площадки выбираются произвольно. Изображают точку в виде параллелепипеда, построенного на указанных трех площадках.
Пусть введена прямоугольная система координат и три площадки, перпендикулярные ее осям x, y, z. Векторы напряжений на этих трех площадках задаются своими проекциями на оси координат и обозначаются соответственно 
, 
, 
. Проекции, перпендикулярные площадкам, называются нормальными напряжениями 
, 
, 
. Индекс в обозначении указывает направление нормали 
к площадке. Проекции, лежащие в плоскостях площадок, называются касательными напряжениями 
, 
, 
, 
, 
, 
. Первый индекс обозначения определяет площадку, на которой действует напряжение, второй индекс указывает ось, в направлении которой напряжение действует.
Следствием условий равновесия элементарного объема тела является закон парности касательных напряжений: 
;
; 
. Касательные напряжения 
, 
направлены либо навстречу друг другу, либо в противоположные стороны.
С учетом закона парности касательных напряжений для задания напряженного состояния в точке нужно указать шесть параметров: три нормальных напряжения 
, , и три касательных напряжения 
, , .
В точке всегда можно выбрать три взаимно перпендикулярные площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Эти площадки называют главными, действующие на них нормальные напряжения – главными напряжениями.
Для главных напряжений, занумерованных по убыванию, используется специальное обозначение: 
, 
, 
. Обозначение предполагает 
(с учетом знака).
Главные напряжения обладают свойством экстремальности: одно из них максимально среди нормальных напряжений на площадках с произвольной нормалью 
, другое – минимально. В принятых обозначениях 
, 
. Пусть 
– вектор напряжения на площадке с нормалью , 
– его модуль. Свойство экстремальности означает также следующее: 
.
Главными направлениями напряженного состояния называют направления нормалей к главным площадкам. Эти направления обозначают цифрами 1, 2, 3. Главные площадки обозначают соответственно 1, 2, 3.
Напряженное состояние, при котором ни одно из трех главных напряжений не равно нулю, называется объемным. Если одно из главных напряжений равно нулю, то напряженное состояние называется плоским. Наконец, линейным именуется напряженное состояние, при котором отлично от нуля только одно главное напряжение. Далее рассматривается плоское напряженное состояние.
Пусть главная площадка с нулевым главным напряжением расположена перпендикулярно оси y. Тогда при плоском напряженном состоянии отличны от нуля напряжения , , , (рис. 2.1; где с целью упрощения рисунка напряжения показаны не на всех гранях элементарного параллелепипеда; ненагруженная площадка совпадает с плоскостью чертежа).
Аналитическое исследование плоского напряженного состояния. Заданы напряжения на взаимно перпендикулярных площадках. Вычисляются напряжения на площадках произвольной ориентации, главные площадки и главные напряжения, площадки, по которым действуют экстремальные касательные напряжения.
Рис. 2.2. Напряжения
на наклонной площадке
|
 
Рис. 2.1. Плоское напряженное
состояние в точке тела
|
Правила знаков для напряжений: нормальное напряжение 
положительно, если направление напряжения совпадает с направлением внешней нормали (направлено от площадки, растягивающее); касательное напряжение положительно, если в плоскости чертежа оно обходит площадку по часовой стрелке.
На двух взаимно перпендикулярных площадках заданы напряжения , , , . На рис. 2.1, 2.2 нормальные напряжения 
, 
(растягивающие), касательное напряжение 
(обходит площадку по часовой стрелке), касательное напряжение 
(обходит площадку против часовой стрелки). При указанном правиле знаков закон парности касательных напряжений имеет вид
. (2.1)
Наклонная площадка перпендикулярна чертежу, ее положение определяет угол 
между нормалью к ней и осью x (см.рис. 2.2). Угол отсчитывается от оси x к нормали и считается положительным, если отсчет происходит против часовой стрелки.
Нормальное напряжение и касательное напряжение 
на наклонной площадке определяются формулами
; (2.2а)
. (2.2б)
В правой части формул на первом месте в разности 
стоит нормальное напряжение на площадке, от нормали к которой отсчитан угол . Касательное напряжение берется с этой же площадки.
Из выражения (2.2а) следует, что сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках не изменяется при повороте этих площадок:
, (2.3)
– нормальное напряжение на площадке, перпендикулярной площадке с нормалью n.
Когда заданные площадки являются главными, формулы (2.2а) и (2.2б) принимают вид
(2.4)
Здесь 
, 
– главные напряжения.
Главные напряжения вычисляются по формуле
. (2.5)
Согласно (2.3)
. (2.6)
Положение главных площадок определяет угол 
, который находится из уравнения
. (2.7)
Формуле (2.7) отвечает множество углов , отличающихся друг от друга на величину, кратную 90°. Разные главные площадки соответствуют только двум из этих углов, которые обозначают 
, 
.
Для определения площадки, на которой действует бóльшее из напряжений 
, 
, нужно вычислить вторую производную
. (2.8)
и посмотреть на ее знак. Если 
при 
, то на этой площадке действует меньшее из напряжений , , в противном случае – бóльшее (случай равенства нулю не встречается).
В рассматриваемом случае плоского напряженного состояния три главных напряжения таковы: , , 0. – максимальное, а – минимальное (с учетом знака) из этих трех напряжений.
Максимальное среди касательных напряжений на всевозможных площадках, проведенных через точку, таково:
. (2.9)
Это напряжение действует на площадке, одинаково наклоненной к площадкам 1 и 3. Соответствующее нормальное напряжение
.
Касательное напряжение, максимальное по модулю среди напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости чертежа, таково:
. (2.10)
Соответствующее нормальное напряжение
. (2.11)
В общем случае величины 
, 
различны.
Графическое исследование плоского напряженного состояния. Вместо вычислений по приведенным выше формулам можно построить круг напряжений Мора и произвести графические построения. В этом заключается графическое решение задачи (см. примеры).
Деформированное состояние в точке. Деформированным состоянием в точке называют совокупность линейных деформаций всевозможных элементарных отрезков, проходящих через точку, и изменений углов между всевозможными парами этих отрезков.
Пусть 
– длины до деформации трех взаимно перпендикулярных элементарных отрезков, расположенных вдоль осей 
. 
, 
, 
– изменения этих длин в результате деформации.
Деформированное состояние в точке определяют шесть параметров: три линейных деформации
, 
, 
,
и три угловых деформации 
, 
, 
, представляющих собой изменения прямых углов между отрезками .
Через точку всегда можно провести три взаимно перпендикулярных отрезка, углы между которыми не изменятся при деформации. Оси координат, направленные вдоль этих отрезков, называют главными осями деформации.
Связь между напряжениями и деформациями. Для изотропного материала (свойства материала одинаковы во всех направлениях) при не слишком большом уровне напряжений связь напряжений и деформаций описывает обобщенный закон Гука:
(2.13)
Здесь 
, 
, 
– упругие характеристики материала; – модуль Юнга (модуль упругости); – коэффициент Пуассона (
); – модуль сдвига. Имеет место соотношение 
.
Для изотропного материала главные оси деформации и напряженного состояния совпадают, поэтому линейные деформации вдоль главных осей определяются соотношениями (2.13):
,
, (2.14)
.
Соответствующие угловые деформации равны нулю.
Относительная объемная деформация 
в точке есть отношение абсолютного изменения объема элементарного параллелепипеда к его первоначальному объему. Связь объемной деформации с линейными деформациями дает соотношение
. (2.15)
Оценка прочности. Прочность материала в точке проверяется по соответствующей материалу теории прочности. Из большого числа ныне существующих теорий прочности при выполнении студенческих задач используются перечисляемые ниже.
Под исчерпанием прочности подразумевается переход материала в предельное состояние – разрушение для хрупкого материала и развитие пластической деформации для пластичного материала. Расчет должен обеспечивать некоторый нормативный запас прочности, что проще всего достигается введением коэффициента запаса прочности, понижающего разрешаемый уровень напряжений.[5]
Для всех применяемых при выполнении расчетно-графической работы теорий прочности условие прочности можно записать в едином виде
, (2.16)
где 
– допускаемое напряжение. Величина 
представляет собой предельный уровень напряжения и определяется из эксперимента. Для хрупких материалов она совпадает с пределом прочности при осевом растяжении, для пластичных материалов – с пределом текучести при осевом растяжении. n – нормируемый коэффициент запаса прочности. 
– комбинация главных напряжений , , (эквивалентное напряжение).
Согласно первой теории прочности, справедливой для хрупких материалов, разрушение происходит от отрыва при достижении максимальным напряжением (оно должно быть положительным, т. е. растягивающим) предельного значения. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению главного напряжения . Условие прочности имеет вид
. (2.17)
Вторая теория прочности также применяется к хрупким материалам. Согласно этой теории разрушение происходит от отрыва при достижении максимальной деформацией 
(она должна быть положительной) предельного значения. Деформации вплоть до момента разрушения считаются малыми и вычисляются по закону Гука. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению действия главного напряжения . Условие прочности приводится к виду
. (2.18)
Третья теория прочности определяет уровень напряжений, при котором в пластичном материале возникают заметные остаточные деформации. Согласно третьей теории прочности переход материала в предельное состояние происходит от сдвига при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения. Плоскость пластического сдвига (опасное сечение) совпадает с плоскостью действия напряжения . Данной теории соответствует условие прочности
. (2.19)
Согласно четвертой теории прочности пластическое деформирование возникает от сдвига при достижении энергией изменения формы предельного значения. Условием прочности служит соотношение
. (2.20)
Непосредственно эта теория прочности не определяет положения опасных площадок. Последние (на основании иной трактовки теории) можно считать равно наклоненными к главным осям (октаэдрические площадки).
Условие прочности, соответствующее теории прочности Мора (пятой теории прочности), имеет вид
. (2.21)
Здесь 
, 
– пределы прочности при растяжении и при сжатии. По теории Мора можно определить и положение опасных площадок. Соответствующая формула не приводится.
К оценке прочности хрупких материалов применяются первая, вторая и пятая теории прочности. Однако результаты оценки заметно различаются. Наиболее достоверна оценка по пятой теории прочности.
Третья и четвертая теории прочности применяются к оценке прочности пластических материалов, дают близкие оценки прочности и широко используются в инженерных расчетах.
Примеры решения задач
