План темы
I. Методика изучения устных приемов умножения трехзначных и многозначных чисел.
II. Методика изучения умножение чисел на однозначное число.
III. Методика изучения умножения чисел, оканчивающихся нулем.
IV. Методика изучения умножения чисел на двузначные и трехзначные числа.
Основное содержание
I. Приемы устных вычислений с трехзначными и многозначными числами основаны на приемах умножения чисел в пределах 100.
Для осознания учащимися смысла этих приемов используются примеры-помощники:
| 200 ∙ 3 = 600 2 с. ∙ 3 = 6 с. 840: 2 = 420 | 800: 4 = 200 8 с.: 4 = 2 с. | 800: 400 = 2 8 с.: 4 с. = 2 |
84 дес.: 2 = 42 дес.
840: 2 = (800 + 40): 2 = 8 с.: 2 + 4 дес.: 2 = 4 с. + 2 дес. = 420.
- Умножение на разрядную единицу переводит число в следующие разряды. Такое умножения добавляет нули справа в запись числа, что увеличивает количество содержащихся в нем разрядов на количество добавленных нулей.
75 ∙ 100 = 7500; 370 ∙ 1000 = 370000.
- Для осознанного усвоения этого приема можно применить прием последовательного умножения и сравнение первого множителя с произведением. Например:
15 ∙ 10 = 15 ∙ (2 ∙5) = (15 ∙ 2) ∙ 5 = 30 ∙ 5 = 150.
- Можно применить прием перестановки множителей и сравнение первого множителя с полученным результатом. Например:
8 ∙ 100 = 100 ∙ 8 (по 1 с. взять 8 раз) получится 8 с. или 800 значит:
8 ∙ 100 = 800.
II. Алгоритм умножения многозначного числа на однозначное основан на знании правила умножения суммы на число. В качестве суммы рассматривается первый множитель, представляемый в виде суммы разрядных слагаемых. Например:
125 ∙ 3 = (100 + 20 + 5) ∙ 5 = 100 ∙ 3 + 20 ∙ 3 + 5 ∙ 3 = 300 + 60 + 15 = 375.
Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получаем письменный прием умножения на однозначное число.
- Алгоритм письменного умножения пошагово оговаривает каждое умственное действие по выполнению умножения и сложения получаемых отдельных сумм.
- Например, для случая:
∙ 3
1) умножаю единицы: 5-3 = 15 ед., 15 ед. – это 5 ед. и 1 дес;
2) 5 ед. пишу под единицами, а 1 дес. запоминаю и прибавляю к десяткам после умножения десятков;
3) умножаю десятки: 2 дес. ∙ 3 = 6 дес. к 6 дес. прибавляю 1 дес., который был получен при умножении единиц:
6 дес. + 1 дес. = 7 дес. – пишу под десятками;
4) умножаю сотни: 1с. ∙ 3 = 3 с. Пишу под сотнями;
5) читаю ответ: 375.
- Для прочного усвоения письменных приемов умножения ученик должен:
1) запомнить правильную запись: разряд записывается под соответствующим разрядом;
2) запомнить правильный порядок выполнения действия: умножение начинаем с младших разрядов (справа налево);
3) овладеть технологией запоминания и добавления в следующий по старшинству разряд излишних разрядных единиц, получаемых при умножении однозначных чисел.
- Для помощи ученикам на первых уроках изучения письменного приема умножения можно:
1) производить подробную запись приема
∙ 3
15 ед.
+ 6 дес.
3 с.
В этом случае выполнять сложение можно по записям неполных произведений, а не в уме, запоминая излишние разрядные единицы (использование этого приема рекомендуется для учеников, плохо считающих устно);
2) производить запись промежуточных вычислений рядом с примером или на черновике - в этом случае все необходимые для запоминания и добавочного прибавления разрядные единицы будут зафиксированы. Например:
125 5 ед. ∙ 3 = 15 ед. 15 ед. = 1 дес. + 5 ед.
∙ 3 2 дес. ∙ 3 = 6 дес. 6 дес. + 1 дес. = 7 дес.
375 1 с. ∙ 3 = 3 с.
III. Умножение чисел, оканчивающихся нулями, относится к сложным случаям умножения, т.к. для краткости вычислений происходит либо нарушение способа записи, либо нарушение порядка выполнения алгоритма.
- Случаи умножения чисел, оканчивающихся нулями:
1) первый множитель оканчивается нулями;
2) второй множитель оканчивается нулями;
3) оба множителя оканчиваются нулями.
- В основе вычислительного приема умножения в первом случае лежит разрядный состав чисел. Например:
300 ∙ 8 = 3 с. ∙ 8 = 24 с. = 2400. Поэтому:
умножаем 173 дес. на 4, получаем 692 десятка или 6920 единиц.
∙ 4
- В основе вычислительного приема умножения на числа, оканчивающиеся нулями, лежит правило умножения числа на произведение или сочетательное свойство умножения.
Например:
28 ∙ 30 = 28 ∙ (2 ∙ 10) = (28 ∙ 3) ∙ 10 = 84 ∙ 10 = 840
Поэтому
∙ 40
2973 умножаем на 4, получаем 11892, затем умножаем на 10, получаем 118920.
- Прием умножения в 3-ем случае обобщает два предыдущих приема.
К этому времени учащиеся осознанно формулируют правило: «При умножении чисел, оканчивающихся нулями, можно умножить числа, записав нули вне столбика и не обращая внимания на нули, а в результате приписать столько нулей, сколько их в конце обоих множителей вместе».
IV. Приемы умножения чисел на двузначные и трехзначные числа опираются на правило умножения числа на сумму:
4 ∙ (3 + 2).
Количество числовых фигур можно подсчитать различными способами:
а) 4 ∙ (3+2) = 4 ∙ 5 = 20;
б) 4 ∙ (3+2) = 4 ∙ 3+4 ∙ 2 = 12 + 8 = 20.
Сравнение записей приводит учеников к выводу о том, что число можно умножить на сумму двумя способами: можно найти сумму и число умножить на сумму; можно число умножить на каждое слагаемое и результаты сложить.
- Прием письменного умножения на двузначное число можно записать подробно:
329 ∙ 24 = 329 ∙(20 + 4) = 329 ∙ 20 + 329 ∙ 4 = 6580 + 1316 = 7896 или кратко (в столбик):
| ∙ 24 658 7896 | Число 1316 называют первым неполным произведением. Число 6580 называют вторым неполным произведением, которое получается при умножении чисел 329 и 20. |
Последний нуль в разряде единиц в записи числа 6580 при вычислениях в столбик опускают, лишь подразумевая его, так как при сложении он не меняет результата.
При этом цифру 8 (количество десятков) записывают в раз. ряде десятков (таким образом, второе неполное произведение записывается со сдвигом влево на одну позицию).
Аналогично получается и записывается третье неполное произведение при умножении на трехзначное число.
Результатом умножения является сумма неполных произведений.
Таким образом, процесс умножения трехзначных и многозначных чисел – процесс сложный и трудоемкий, требующий не только знания способов записи и порядка выполнения действий при письменных вычислениях, но и знания таблиц сложения и умножения чисел, разрядного состава чисел, правила умножения числа на сумму, приемов умножения чисел, оканчивающихся нулями.
