Принцип относительности Галилея

Принцип относительности Галилея гласит: во всех инерциальных системах отсчета законы механики имеют одинаковый вид.

Иначе можно сказать: вид уравнений, выражающих законы механики, не меняется (инвариантен) при преобразованиях Галилея. Преобразования Галилея заключаются в преобразованиях координат и времени при переходе от одной инерциальной системе к другой. Так, например, если вторая система отсчета движется вдоль оси Х относительно первой с постоянной скоростью v и если оси Х обеих систем направлены в одну сторону, то координаты некоторого тела, измеренные в этих системах отсчета, связаны между собой соотношением:

Кроме того, время в обеих системах отсчета совпадает: t₁ = t₂. То же самое можно записать для осей Y и Z. В общем виде преобразования Галилея записываются так:

Физически принцип относительности Галилея утверждает, что если есть две инерциальные системы отсчета, движущиеся относительно друг друга, то ни один механический эксперимент не позволит нам обнаружить какая из этих двух систем движется, а какая нет.

Следует однако понимать, что одинаковость законов, управляющих движением не означает, что и само движение будет одинаковым. Каждое конкретное движение зависит от начальных условий, которые в разных системах отсчета будут разными. Так, например, законы, управляющие свободным падением для всех тел одинаковые. Однако конкретное движение тел, да и вид траектории движения, сильно отличаются в зависимости от величины и направления начальной скорости.

Механические силы

Все многообразие сил в природе сводится к четырем фундаментальным взаимодействиям: гравитационное, электромагнитное, ядерное сильное и ядерное слабое. Ядерные сильное и слабое взаимодействия проявляются только на уровне ядерных взаимодействий и в реальной жизни мы их никак не воспринимаем. Поэтому все разнообразие реальных сил является разновидностью гравитационных и электромагнитных сил.

В механике рассматривается три типа сил: сила трения, сила упругости и сила всемирного тяготения. Причем сила трения и сила упругости по природе своей являются силами электромагнитной природы. Самой распространенной силой, которая действует на все тела, находящиеся в поле тяжести Земли, является сила тяжести. Она равна произведению массы тела на ускорение свободного падения mg и направлена вертикально вниз или более точно к центру Земли. Сила тяжести является разновидностью гравитационной силы. Если тело находится на какой-то поверхности, то под действием силы тяжести оно давит на эту поверхность. По третьему закону Ньютона поверхность действует на тело с силой равной по модулю и противоположной по направлению. Эта сила называется силой реакции опоры (N) и является разновидностью силы упругости.

Далее рассмотрим более подробно механические силы по отдельности.

 

Сила трения

Сила трения является одной из самых распространенных механических сил. Она возникает каждый раз когда тело начинает двигаться или когда его пытаются сдвинуть с места. Существует четыре вида сил трения:

· сила трения покоя;

· сила трения скольжения;

· сила трения качения;

· сила вязкого трения (сила сопротивления).

Сила трения качения и сила вязкого трения в школьном курсе физики почти не рассматриваются. Сила трения качения обычно невелика и ей обычно пренебрегают по сравнению с остальными видами силы трения. Сила вязкого трения не рассматривается потому, что о ней в школьном курсе физики ничего существенного сказать нельзя в связи со сложностью используемого для этого математического аппарата.

Сила трения покоя.

Сила трения покоя возникает между соприкасающимися телами каждый раз, когда одно тело пытаются сдвинуть относительно другого, а оно не движется. Сила трения покоя направлена параллельно поверхности соприкосновения тел в сторону противоположную направлению внешней сдвигающей силы и по модулю равна проекции внешней сдвигающей силы на плоскость соприкосновения тел. Сила трения покоя возрастает с возрастанием внешней силы. Но если внешняя сила может возрастать неограниченно, то, как показывает практика, у силы трения покоя есть максимальное значение. Это максимальное значение определяется силой, с которой соприкасающиеся поверхности прижимаются друг к другу (силой нормального давления). Практика показывает, что максимальное значение силы трения покоя прямо пропорционально силе нормального давления. Коэффициент пропорциональности носит название коэффициента трения покоя:

Коэффициент трения покоя определяется материалом, из которого сделаны соприкасающиеся поверхности и степенью их обработки и не зависит от площади соприкосновения.

В общем случае для величины силы трения покоя справедливо неравенство:

Сила трения скольжения.

Если величина внешней сдвигающей силы превышает максимальное значение силы трения покоя, то начинается скольжения. Сила трения покоя при этом исчезает и появляется сила трения скольжения. В отличие от силы трения покоя сила трения скольжения постоянна и ее величина тоже пропорциональна силе нормального давления. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения скольжения:

Сила трения скольжения направлена также параллельно поверхности соприкосновения тел и в сторону противоположную скорости относительного движения соприкасающихся поверхностей. Коэффициент трения скольжения также определяется материалом и степенью обработки соприкасающихся поверхностей и не зависит от площади соприкосновения.

Максимальное значение силы трения покоя всегда несколько больше силы трения скольжения. На рисунке приведен примерный характерный график зависимости силы трения от внешней сдвигающей силы.

F

450

Fтр

Fпок. max

Fск

Однако разница между максимальной силой трения покоя и силой трения скольжения невелика. Поэтому в практике решения задач в школьном курсе физики этой разницей обычно пренебрегают и считают, что эти силы равны. При этом считается, что коэффициенты трения покоя и скольжения равны и они называются просто коэффициентом трения. А значит:

Сила трения качения

Силой трения качения называется сила препятствующая движению при качении какого-либо круглого тела по плоской поверхности другого тела (например, колеса по дороге). Наличие силы трения качения связано с тем, что и само катящееся тело и поверхность под ним слегка деформируются под действием силы давления. Возникающая при этом сила сопротивления движению также пропорциональна силе нормального давления. Однако, если колесо и поверхность достаточно твердые и их деформации невелики, то возникающая при этом сила трения качения, как правило, очень мала по сравнению с другими видами сил трения и ей обычно при решении задач пренебрегают.

Сила вязкого трения

Сила вязкого трения возникает при движении тела в какой-либо вязкой среде (в жидкости или газе) или при скольжении поверхностей при наличии между ними прослойки из вязкой жидкости (смазки). Сила вязкого трения при движении тела в жидкости и газа (сила сопротивления) сильно зависит от скорости движения и при больших скоростях может быть весьма большой. Кроме того, сила сопротивления сильно зависит от формы движущегося тела (обтекаемая или необтекаемая форма) и его размеров. Причем, зависимость силы сопротивления от скорости довольно сложная. При малых скоростях движения (ламинарное обтекание) сила сопротивления примерно пропорциональна величине скорости в первой степени. При увеличении скорости зависимость силы сопротивления от скорости усиливается и может быть пропорциональна величине скорости в квадрате или в более высокой степени. Это приводит к тому, что в школьном курсе физики сила сопротивления в явном виде обычно не учитывается, а если и учитывается, то в задаче указывается как ее учесть.

 

Сила упругости

Сила упругости возникает при деформации тел под действием внешней силы. Деформацией тела называется изменение его формы и размеров. При действии на тело некоторой внешней силы тело деформируется. В результате этого в теле возникают внутренние силы, стремящиеся вернуть телу прежнюю форму. Равнодействующая этих сил направлена противоположно внешней силе и называется силой упругости.

Деформации бывают обратимыми и необратимыми или, что то же самое, упругими и пластическими. Деформация называется упругой или обратимой, если она полностью исчезает после снятия внешней нагрузки и тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму. Если после снятия внешней нагрузки остается остаточная деформация, то она называется пластической или неупругой.

Мы в дальнейшем будем рассматривать только упругие деформации. Экспериментально установлено, что для упругой деформации возникающая сила упругости прямо пропорциональна величине деформации. Рассмотрим прямой стержень. Пусть начальная длина стержня равна l ₀. Если стержень сжать внешней силой, то его длина уменьшится и станет равна l. Опыт показывает, что возникающая при этом сила упругости прямо пропорциональна величине деформации . То есть можно написать: , где k – коэффициент пропорциональности. При растяжении стержня на Δl тоже возникает сила упругости. Причем в пределах упругой деформации силы упругости, возникающие при растяжении и сжатии стержня на Δl одинаковые. Поэтому для деформаций сжатия – растяжения можем написать:

Где - деформация. Записанное выражение называется законом Гука. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом жесткости или просто жесткостью. Единицей измерения жесткости является [Н/м]. Закон Гука можно записывать при деформации пружин, при растяжении резинки и так далее. Закон Гука можно записать в векторном виде:

Здесь - перемещение точки приложения силы в результате деформации. Знак минус означает, что сила упругости всегда направлена в сторону противоположную направлению деформации тела.

 

Сила всемирного тяготения

Все тела взаимодействуют друг с другом. Это предположение зародилось у Ньютона в 1667 году. Ньютон понимал, что для того, чтобы Луна вращалась вокруг Земли, а Земля и другие планеты вокруг Солнца, должна существовать сила, удерживающая их на круговой орбите. Он предположил, что сила тяжести, действующая на все тела на Земле и сила, удерживающая планеты на их круговых орбитах, есть одна и та же сила. Эта сила получила название сила всемирного тяготения или гравитационная сила. Эта сила является силой притяжения и действует между всеми телами. Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Коэффициент пропорциональности G во времена Ньютона был неизвестен. Впервые он был экспериментально измерен английским ученым Кавендишем. Этот коэффициент называется гравитационной постоянной. Ее современное значение равно . Гравитационная постоянная является одной из самых фундаментальных физических констант. Закон всемирного тяготения можно записать в векторном виде. Если сила, действующая на вторую точку со стороны первой равна F₂₁, а радиус-вектор второй точки относительно первой равен R₂₁, то:

Представленный вид закона всемирного тяготения справедлив только для гравитационного взаимодействия материальных точек. Для тел произвольной формы и размеров его использовать нельзя. Вычисление гравитационной силы в общем случае является очень непростой задачей. Однако, есть тела, не являющиеся материальными точками, для которых гравитационную силу можно считать по приведенной формуле. Это тела, обладающие сферической симметрией, например, имеющие форму шара. Для таких тел приведенный закон справедлив, если под расстоянием R понимать расстояние между центрами тел. В частности силу тяжести, действующую на все тела со стороны Земли можно считать по этой формуле, так как Земля имеет форму шара, а все остальные тела можно считать материальными точками по сравнению с радиусом Земли.

Так как сила тяжести является гравитационной силой, то можно написать, что сила тяжести, действующая на тело массой m равна

Где М_З и R_З – масса и радиус Земли. С другой стороны сила тяжести равна mg, где g – ускорение свободного падения. Значит ускорение свободного падения равно

Это формула для ускорения свободного падения на поверхности Земли. Если удаляться от поверхности Земли, то расстояние до центра Земли будет увеличиваться, а ускорение свободного падения соответственно уменьшаться. Так на высоте h над поверхностью Земли ускорение свободного падения равно:

 

Вес тела. Невесомость

На любое тело, находящееся в поле тяжести Земли, действует сила тяжести. Если тело неподвижно, то эта сила тяжести должна уравновешиваться силой реакции опоры или силой натяжения подвеса. По третьему закону Ньютона тело должно действовать на опору или подвес с силой равной по модулю и противоположной по направлению. Сила, с которой тело под влиянием притяжения Земли действует на опору или подвес, называется весом тела.

Причем для неподвижного тела вес тела численно равен силе тяжести. Однако вес тела равен его силе тяжести только если тело неподвижно или движется без ускорения. Рассмотрим вес тела, движущегося с ускорением.

Пусть тело массой m находится на опоре и движется с ускорением а. На тело действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры N. Запишем второй закон Ньютона для тела: . Откуда получается: . По третьему закону Ньютона вес тела вес тела равен . Или

Как видно, вес тела, движущегося с ускорением, не равен mg. Он может быть как больше, так и меньше mg. Причем, если ускорение тела а направлено вертикально вверх, то вес тела равен , а если ускорение направлено вертикально вниз, то .

Если ускорение тела равно ускорению свободного падения g, то вес тела равен нулю (). Состояние, при котором вес тела равен нулю, называется состоянием невесомости. Так любое тело, находящееся в состоянии свободного падения, находится в состоянии невесомости. Так, например, тело, брошенное под углом к горизонту, находится в состоянии невесомости. Тела, находящиеся внутри космического корабля, движущегося вокруг Земли с выключенными двигателями, находятся в состоянии невесомости. Любой из нас, подпрыгнув вверх, на короткое время прыжка оказывается в состоянии невесомости.

 

Орбитальное движение

Рассмотрим свободное движение некоторого космического тела по замкнутой орбите вокруг какой-либо планеты (например, искусственного спутника вокруг Земли). Такое движение называется орбитальным движением. Для простоты будем рассматривать орбитальное движение по круговой орбите. Пусть спутник массой m движется по круговой орбите радиусом R вокруг планеты массой М. Если двигатели спутника не работают, то на спутник действует только сила гравитационного притяжения со стороны планеты. Ускорение спутника является чисто центростремительным. Поэтому второй закон Ньютона для спутника записывается так:

Отсюда получаем выражение для скорости движения спутника, которая называется орбитальной скоростью:

Из этого выражения видно, что орбитальная скорость зависит от радиуса обиты движения. Причем, при увеличении радиуса орбиты скорость уменьшается, а при уменьшении радиуса скорость увеличивается. Увеличивать радиус орбиты движения можно, в принципе, до бесконечности. Поэтому орбитальная скорость может быть сколько угодно маленькой. А вот уменьшать радиус орбиты до нуля нельзя. У каждой планеты есть свой радиус и радиус обиты движения спутника не может быть меньше радиуса планеты. Поэтому для каждой планеты существует максимальная скорость орбитального движения. Она соответствует движению спутника по орбите, радиус которой практически равен радиусу планеты. Эта максимальная скорость орбитального движения называется первой космической скоростью. Пусть радиус планеты равен R₀. Тогда первая космическая скорость равна:

Учитывая, что ускорение свободного падения на поверхности планеты равно:

Для первой космической скорости можно написать еще одно выражение:

Для Земли: g₀ = 9,8 м/с², R₀ = 6400 км. Значит первая космическая скорость для Земли равна ≈ 7,9 км/с.

Существует еще понятие второй космической скорости. Это минимальная скорость, которую надо сообщить телу на поверхности планеты, чтобы оно смогло покинуть зону притяжения планеты. Без вывода напишем, что . Для Земли вторая космическая скорость равна ≈ 11,2 км/с.

 

Законы Кеплера

На самом деле орбитой движения любого спутника вокруг планеты, так же как и любой планеты вокруг Солнца почти никогда не является окружность. В 1679 году Ньютон показал, что орбитой движения любого тела в поле тяготения является так называемое коническое сечение.

Коническим сечением называется линия, получающаяся в результате пересечения прямого конуса с плоскостью. В результате таких пересечений получаются: окружность, эллипс, парабола и гипербола.

При движении тела по замкнутой орбите траекторией, чаще всего, является эллипс (окружность является частным случаем эллипса). Эллипс определяется большой полуосью а и малой полуосью b. У эллипса имеются две особые точки, называемые фокусами эллипса (F и F’). Особенностью фокусов является то, что сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов – есть величина постоянная. Если большая и малая полуоси эллипса равны, то эллипс является окружностью. При этом , где R – радиус окружности, а фокусы сливаются в одну точку О – центр окружности.

Однако при движении тела в центральном поле тяготения траектория движения не всегда является замкнутой линией. Вид траектории определяется полной энергией тела и, в частности его скоростью. Если космическому кораблю на небольшой высоте от поверхности Земли сообщить первую космическую скорость 7,9 км/с, то он будет двигаться вокруг Земли по круговой орбите. Если сообщить кораблю большую скорость, то он начнет двигаться по эллипсу. Причем, чем большую скорость мы сообщим, тем более вытянутым будет эллипс. При увеличении скорости эллипс становится все более и более вытянутым и, наконец, если начальная скорость корабля будет равна второй космической скорости 11,2 км/с, то траектория корабля перестанет быть замкнутой и превратится в параболу. При еще большей скорости траектория становится гиперболой.

В конце XVI века датский астроном Тихо Браге провел большую серию очень точных наблюдений орбит планет Солнечной системы. Его ученик немецкий астроном Иоганн Кеплер проанализировал результаты наблюдений Тихо Браге и сформулировал три закона, которым подчиняется движение всех известных на то время планет Солнечной системы.

Первый закон Кеплера. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон Кеплера. Радиус – вектор планеты за равные промежутки времени «заметает» равные площади.

Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Следует заметить, что орбиты планет Солнечной системы являются очень слабо вытянутыми эллипсами, то есть почти окружности. Однако в нашей Солнечной системе есть тела, движущиеся по вытянутым эллипсам, например, многие астероиды. Известно также, что орбитами периодических комет также являются очень сильно вытянутые эллипсы.

Мы знаем, что траекторий движения тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола. Более точно это не парабола, а верхняя часть очень сильно вытянутого эллипса, в одном из фокусов которого находится центр Земли.