Кинематика движения твердого тела

В этом разделе рассмотрим некоторые особенности кинематики движения твердого тела. Твердым телом называется система материальных точек (чаще всего бесконечная), расстояние между любыми двумя из которых в процессе движения остается постоянным. Пусть имеется движущееся твердое тело. Пусть в некоторый

А

В

vA

vB

α

β

С

vС

О

ω

момент времени скорость некоторой точки А тела равна v_A, а скорость некоторой точки В равна v_B. Проведем прямую, соединяющую точки А и В. Пусть угол между вектором v_A и прямой АВ равен α, а между вектором v_B и этой прямой – β. Расстояние между точками А и В должно быть постоянным. Значит скорость с которой точка А удаляется от точки В должна быть равна скорости, с которой точка В приближается к точке А. То есть для любых двух точек А и В твердого тела должно выполняться условие: . Словами можно записать так: при движении твердого тела проекции скоростей любых двух точек тела на направление, соединяющее эти точки, должны быть одинаковыми.

Рассмотрим еще раз произвольно движущееся твердое тело. Пусть в некоторый момент времени скорость некоторой точки А тела равна v_A, а скорость некоторой точки В равна v_B. Проведем через точки А и В две прямые АО и ВО перпендикулярные векторам v_A и v_B до точки их пересечения О. Рассмотри две точки А и О. Проекции скоростей этих двух точек на направление АО должны быть одинаковыми. Но проекция вектора v_A на это направление равна нулю. Значит и проекция скорости точки О на направление АО тоже равна нулю. Рассмотри теперь пару точек В и О. Аналогичные рассуждения приводят к выводу о том, что проекция скорости точки О и на направление ВО тоже равна нулю. Это может быть только в одном случае: если скорость точки О равна нулю. Рассмотрим теперь произвольную третью точку С. Соединим ее с точкой О прямой СО. Так как скорость точки О равна нулю, то проекция ее скорости на направление СО равно нулю. А это значит, что проекция скорости точки С на направление СО тоже равна нулю, то есть скорость точки С направлена перпендикулярно СО. Причем это справедливо для любой точки тела. Получается, что в данный момент времени тело вращается вокруг неподвижной точки О. Таким образом, произвольное движение твердого тела в любой момент времени может быть представлено как чистое вращение вокруг некоторой неподвижной точки. Причем в следующий момент времени эта точка будет другой. Эта точка называется мгновенным центром вращения. Пусть точка О в данный момент времени является мгновенным центром вращения и тело вращается вокруг нее в угловой скоростью ω. Тогда для любой точки тела можно написать:

 

Относительность движения

Пусть имеется две системы отсчета. Одну из них мы будем считать неподвижной, а вторая пусть движется относительно неподвижной. Пусть имеется движущееся тело. Пусть нам известно, что за некоторое время Δt тело переместилось относительно движущейся системы отсчета на величину Δr₁, а подвижная система отсчета за то же время переместилась относительно неподвижной системы на величину Δr₂. Тогда суммарное перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета, очевидно, будет равно: Δr = Δr₁ + Δr₂. Разделим это равенство на Δt и получим:

Где v₁ – скорость тела относительно подвижной системы отсчета, которую обычно называют относительной скоростью; v₂ – скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной, которую обычно называют переносной скоростью; v – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, которую обычно называют абсолютной скоростью. Таким образом, получаем классическую формулу сложения скоростей:

Эту формулу можно записать в другом виде, часто очень полезном при решении задач. Пусть имеется два движущихся тела. Известно, что скорость первого тела относительно неподвижной системы отсчета равна v₁, а скорость второго тела относительно неподвижной системы отсчета равна v₂. Чему равна скорость второго тела относительно первого? В этом случае следует связать с первым телом подвижную систему отсчета. Тогда скорость v₁ будет представлять собой скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной, то есть переносную скорость. Скорость v₂ будет представлять собой скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, то есть абсолютную скорость. А скорость второго тела относительно первого (обозначим ее v₂₁) будет представлять собой скорость тела относительно подвижной системы отсчета, то есть относительную скорость. Запишем формулу сложения скоростей: . Откуда получаем:

Заметим, что скорость первого тела относительно второго равна: .

 

ДИНАМИКА

Первый закон Ньютона

В античной механике считалось, что для возникновения и поддержания движения тела на него надо действовать. Если на тело перестать действовать, то оно неизбежно остановится. Эта точка зрения как будто соответствовала повседневному жизненному опыту и поэтому продержалась очень долго. Только в конце XVI века Галилео Галилей изменил этот взгляд на природу движения. Он обратил внимание на то, что в реальных условиях на движущееся тело всегда действуют какие-либо силы сопротивления. Поэтому, если на движущееся тело перестать действовать, поддерживая его движение, то силы сопротивления продолжают действовать и под их действием тело в конечном итоге останавливается. Галилей мысленно попытался представить как будет двигаться тело, если уменьшить или полностью исключить силы сопротивления. В результате мысленных экспериментов Галилей пришел к выводу, что если на движущееся тело вообще ничего не будет действовать, то оно будет двигаться вечно с постоянной скоростью. Предоставленное самому себе тело движется без изменения состояния своего движения. Наоборот, для того, чтобы изменить состояние движения тела требуется воздействовать на него со стороны. Этот факт получил название принципа инерционности Галилея.

Движение тела после прекращения действия на него других тел получило название движения по инерции. Из принципа инерционности следует, что для изменения состояния движения тела необходимо воздействовать не него со стороны. Значит, любое тело всегда сопротивляется попыткам изменить состояние своего движения, стараясь сохранить его неизменным. Это свойство тел называется инертностью.

Однако следует заметить, что любое движение описывается относительно какой-то системы отсчета. Системы отсчета бывают разные. Причем разные системы отсчета могут двигаться относительно друг друга произвольным образом. При этом может получиться следующая ситуация. Пусть имеется тело, на которое ничего не действует и оно движется по инерции без изменения состояния своего движения, то есть равномерно и прямолинейно относительно какой-либо системы отсчета. Однако, если имеется другая система отсчета, движущаяся относительно первой с ускорением, то относительно нее тело будет уже двигаться с ускорением, хотя на него ничего не действует. Получается, что относительно первой системы отсчета принцип инерционности Галилея выполняется, а относительно второй не выполняется.

Таким образом, принцип инерционности Галилея делит все системы отсчета на две категории. Хорошие системы отсчета, относительно которых принцип инерционности выполняется, и плохие, относительно которых он не выполняется. Исаак Ньютон обобщил результаты Галилея и сформулировал их в виде первого закона классической механики, который называется первым законом Ньютона: Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело движется равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя, если на него никакие другие тела не действуют или действие всех других тел полностью скомпенсировано.

Своим первым законом Ньютон утверждает, что хорошие системы отсчета существуют. Такие системы отсчета называются инерциальными. Дело в том, что принцип инерционности Галилея и остальные законы Ньютона, а значит и все законы классической механики справедливы только относительно инерциальных систем отсчета. Если существует хотя бы одна инерциальная система отсчета, то, значит, их существует множество. Ибо любая другая система отсчета, движущаяся относительно этой одной равномерно и прямолинейно тоже будет инерциальной. Это хорошо понимал Ньютон и указал абсолютно инерциальную систему отсчета, поместив начало системы координат в центр Солнца, а три координатные оси направив на три бесконечные звезды. Эта система сейчас конечно не является абсолютной, но она до сих пор является практически инерциальной почти для всех задач современного человечества. Очень хорошей инерциальной системой отсчета является система, связанная с поверхностью Земли. Хоть Земля и «крутится», но ускорение точек поверхности Земли настолько мало, что связанная с этим неинерциальность практически незаметна для большинства практических задач.

 

Второй закон Ньютона

Причиной изменения скорости движения тела в инерциальной системе отсчета является его взаимодействие с другими телами. Для количественного описания изменения движения тел при их взаимодействии необходимо ввести две новые величины: массу и силу.

Масса – это количественная характеристика меры инертности тел. При одинаковом воздействии разные тела по разному изменяют скорость своего движения. Так же, прикладывая разные воздействия к одному и тому же телу, мы будем получать разные ускорения. Для того чтобы остановить катящуюся тележку, необходимо приложить некоторое усилие. Однако всем понятно, что если эту тележку загрузить кирпичом, то требуемое усилие окажется намного больше.

Если взаимодействуют два тела, то каждое из них в результате взаимодействия приобретает ускорение. Причем, как показывает опыт, отношение ускорений тел при разных взаимодействиях оказывается одинаковым: . Под массой тел принимается величина такая, что отношение масс тел оказывается обратным отношению ускорений:

В системе СИ масса тел измеряется в килограммах [кг]. Килограмм – основная единица системы СИ. Масса любого тела может быть экспериментально измерена путем ее сравнения с массой эталона 1 кг. Это сравнение может быть выполнено либо путем взаимодействия тел, либо путем взвешивания. Масса – величина скалярная. Причем масса величина аддитивная, то есть, если взять и соединить два тела с массами m₁ и m₂, то получится тело, масса которого равна m₁ + m₂.

Сила является мерой взаимодействия тел. Под действием сил тела приобретают ускорения. Сила - величина векторная. Силы измеряются путем их сравнения с некоторым эталоном силы, которым может служить эталонная пружина, растянутая на определенную величину. Однако на практике для измерения сил используются отградуированные пружины, называемые динамометрами. Единицей измерения силы в системе СИ является ньютон [Н].

Второй закон Ньютона является основным законом механики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета и является обобщением огромного количества экспериментальных фактов. Опыт показывает, что ускорение, приобретаемое телом в результате действия на него некоторой силы, прямо пропорционально действующей силе и обратно пропорционально массе тела. Единицы силы и массы подобраны таким образом, что коэффициент пропорциональности оказывается равным единице. Поэтому количественно второй закон Ньютона записывается следующим образом:

Второй закон Ньютона – векторный закон. Это означает, что вектор ускорения тела всегда совпадает по направлению с вектором действующей на него силы. Если на тело действуют несколько сил, то ускорение тела определяется векторной суммой всех действующих сил, которая называется равнодействующей:

Второй закон Ньютона – векторный закон и на практике его обычно используют в виде проекции на оси координат. Так, например, в проекции на ось Х второй закон Ньютона обычно записывается так:

Произведение массы тела на проекцию его ускорения на ось Х равно алгебраической сумме проекций всех действующих на него сил на ось Х.

 

Третий закон Ньютона

Сила всегда является результатом взаимодействия. Это значит, что если на тело действует какая-то сила, то обязательно должно существовать еще какое-то тело, являющееся источником этой силы. Кроме того, если первое тело действует на второе, то и второе обязательно действует на первое. То есть у любой силы действия обязательно должна существовать парная ей сила противодействия. Третий закон Ньютона заключается в том, что силы действия и противодействия, с которыми тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю, противоположны по направлению и направлены вдоль прямой, соединяющей тела. Кроме того, силы действия и противодействия всегда являются силами одной природы, то есть, если сила действия является силой трения, то и сила противодействия тоже является силой трения и так далее. Если обозначить силу, действующую со стороны первого тела на второе F₁₂, а силу, действующую со стороны второго тела на первое F₂₁, то третий закон Ньютона можно записать так:

Три закона Ньютона являются фундаментом классической механики. Следует заметить, что строго они скорее являются не законами, а аксиомами, так как они не выводятся и не доказываются, а являются результатом обобщения огромного количества экспериментальных фактов и принимаются без доказательства. Еще раз отметим, что законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета.