Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые

Сравнение б.м. основано на рассмотрении предела их отношения. Пусть α и β б.м. в т. х_0.

Определение: если lim_x→x0 β(х)/α(х)=С, где С=constи С≠0, то б.м. α и β называются б.м. одного порядка. В частности, если С=1, т.е. lim_x→x0 β(х)/α(х)=1, то α и β называются эквивалентными б.м. и это записывается в виде α~β. Если же С=0, т.е. lim_x→x0 β(х)/α(х)=0, то б.м. β называется б.м. высокого порядка, чем α. Это записывают так: β=о(α) и читают «бэта есть о малое от альфа»(здесь о-буква). Если lim_x→x0 β(х)/α(х) не существует, то α(х) и β(х) называют несравнимыми

Теорема (принцип отбрасывания б.м.): две б.м. α(х) и β(х) в т. х₀ эквивалентны ó когда их разность есть б.м. более высокого порядка, чем каждая из них, α~β óβ-α=γ=оα (uγ(=)оβ) или по-другому, α~βóβ=α+оα.

Док-во: α~β ó lim_x→x0 β(х)/α(х)=1 ó lim_x→x0 (β(х)/α(х)-1)=0 ó lim_x→x0 β(х)-α(х)/α(х)=0, т.е β-α=о(α)

Теорема: если α~α₁ и β~β₁ эквивалентные б.м. в т. х₀, то lim_x→x0 α(х)/β(х)^[0/0]=lim_x→x0 α₁(х)/β₁(х) т.е. при вычислении предела отношения двух б.м. числитель и знаменатель можно заменять на эквивалентные б.м.

Док-во: имеем тождество α/β=α/α₁*β₁/β*α₁/β₁. Поэтому lim_x→x0 α(х)/β(х)= lim_x→x0 α(х)*β₁(х)* α₁(х)/ α₁(х) *β(х)* β₁(х)= lim_x→x0 α₁(х)/β₁(х) по теореме о пределе произведения, т.к. первые две дроби в произведении стремятся к единице.

 

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Следующие пары б.м. эквивалентны в т.х₀=0

1. sinx~x 6. ln(1+x)~x
2. tgx~x 7. a^x-1~xlna
3. 1-cosx~1/2x² 7_0. e^x-1~x
4. arcsinx~x 8.(1+x)^k-1~kx
5. arctgx~x 9. ½ √1+x-1~1/2x

формулы этой таблицы можно переписать в виде

1. sinα=α+o(α)
2. tgα= α+o(α)
3. cosx=1-1/2α² +o(α)
4. arcsinα= α+o(α)
5. arctgα= α+o(α)
6. ln(1+α)= α+o(α)
7. e^α=1+ α+o(α)
8. (1+α)^k=1+kα+o(α) где α=α(х)- некоторая б.м. в точке х₀

Док-во:

1. lim_x→0sinx/x=1(первый замеч.предел)
2. lim_x→0 tgx/x=sinx/x*1/cosx=1
3. lim_x→0 1-cosx/1/2 x²= lim_x→0 sin² x/2/(x/2)²=1²=1
4. lim_x→0 arcsinx/x=[замена:arcsinx=t, x=sint,x→0ót→0]= lim_x→0 t/sint=1
5. lim_x→0 arctg/x=
6. lim_x→0 ln(1+x)/x= lim_x→0 1/x ln(1+x)= lim_x→0 ln(1+x)^1/x=ln e=1 воспользовались вторым замечательным пределом и непрерывностью фу-ии у= lnх
7. lim_x→0 a^x-1/xlna[замена: a^x-1=t, a^x=1+t, xlna=ln(1+t),x→0ótγ0]= lim_x→0t/ ln(1+t=1 в силу эквивалентности
8. lim_x→0.(1+x)^k-1/kx= lim_x→0e^kln(1+x)-1/kx= lim_x→0kln(1+x)/kx= lim_x→0ln(1+x)/x=1. Здесь воспользовались основным логарифмическим тождеством b=e^lnb для представления (1+х)^k в виде степени числа е и эквивалентностями 7₀ и 6.

 

Непрерывность функции в точке. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

Определение: фун-я f(x) называется непрерывной в точке х₀, если lim_x→x0f(x)= f(x₀). Детально это означает следующее, 1)что существует(Ǝ): существует() f(x₀), т.е f(x) определена в точке х₀;2) существ.(Ǝ) lim_x→x0f(x); 3) lim_x→x0f(x)= f(x₀), т.е предел равен именно значению функции в точке х₀.

В терминах приращения это выглядит так: обозначим х-х₀=ΔХ- «приращение аргумента», а е f(x) - f(x₀)= у-у₀= Δу-«приращение функции». Тогда х→х₀, означает,ч то ΔХ→0 определение непрерывности преобретает следующий вид.

Определение^’: фун-я f(x) называется непрерывной в точке х₀, если приращение функции стремиться к 0, когда приращение аргумента стремиться к 0,то lim_Δ→x0Δу=0

Определение: если фун-я f(x) не является непрерывной в точке х₀, то она называется разрывной в точке х_0, а х₀ называется точкой разрыва. Причины разрыва- нарушение одного из перечисленных условий 1-3(самый существенный2). Если выполняется условие 2: существ.(Ǝ) lim_x→x0f(x)=А, но либо А≠ lim_x→x0f(x), либо f(x) не определена в т. Х_0, мы можем «переопределить» либо «доопределить» фу-ию f(x) в т. Х_0, положив, что f(x₀)= lim_x→x0f(x),после этого f(x) становится непрерывной в т. Х₀. Поэтому если в т. Х₀ существует lim_x→x0f(x), то Х₀ называется точкой устранимого разрыва. Пример: f(x)=х²-х-2/х-2 не определена в т.х₀=2, т.к. х²-х-2=(х-1)(х-2), то f(x)=х+1 при х≠2. Поэтому, если доопределить фу-ию в точке х=2, положив, что f(x)=3, то получим непрерывную фун-ию у=х+1.

Определение: точка Х₀ называется точкой разрыва первого рода фун-ии f(x), если существуют конечные пределы справа и слева в этой точке, т.е существ.(Ǝ) lim_x→x0+0f(x) и существ.(Ǝ) lim_x→x0-0f(x). Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода. В точке разрава первого рода фун-ия делает «скачок» на величину h=f(x₀+0)-f(x₀-0). Поэтому точки разрыва первого рода иногда называются просто скачками. Если h=0, то Х₀- точка устранимого разрыва. Пример: фун-я у=1/х имеет в т.х=0 разрыв второго рода. В данном случае lim_x→x0+01/х=+∞,а lim_x→x0-01/х=-∞, фун-ия имеет пределы слева и справа и делает скачок на h=∞. Такие точки разрыва по определению относятся к разрывам второго рода.