Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись 
, 
, 
означает, что вектор считается первым, - вторым, - третьим.
Тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы , , расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.
Смешанным произведенем трех векторов , , называется число, равное векторному произведению 
, умноженному скалярно на вектор , то есть 
.
Имеет место тождество 
, ввиду чего для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ 
. Таким образом,
, 
.
Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , взятого со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы , , компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение равно нулю; иначе говоря, равенство
есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов , , .
Применение смешанного произведения
Применяется для вычисления объемов.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. 
.
Таким образом, 
и 
.
Доказательство. Отложим векторы 
от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим 
и заметим, что 
. По определению скалярного произведения
. Предполагая, что 
и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим 
.
Таким образом, при 
Если же 
, то 
и 
. Следовательно, 
.
Объединяя оба эти случая, получаем 
или 
.
Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение 
, а если – левая, то 
.
Для любых векторов 
, 
, 
справедливо равенство
.
Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко показать, что 
и 
. Причём знаки "+" и "–" берутся одновременно, т.к. углы между векторами 
и и и 
одновременно острые или тупые.
При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.
Действительно, если рассмотрим смешанное произведение 
, то, например, 
или
.
Вычисление смешанного произведения в координатах. Признак компланарности трех векторов
Если векторы , , заданы своими координатами:
, 
, 
то смешанное произведение определяется формулой
.
Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой и тройка векторов 
, 
, 
).
Свойства смешанного произведения.
1 Кососимметричность. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак:
Полилинейность, т.е. линейность по каждому сомножителю:
2 
3 
,
Эти свойства следуют из соответствующих свойств определителя, так как смешанное произведение в координатах выражается в виде определителя.
Смешанное произведение 
тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы – компланарны.
Доказательство.
- Предположим, что , т.е.
, тогда 
или 
или 
.
Если , то 
или 
или 
. Поэтому – компланарны.
Если , то , , - компланарны.
- Пусть векторы – компланарны и α – плоскость, которой они параллельны, т. е.
и 
. Тогда 
, а значит , поэтому 
или 
.
Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того, отсюда следует, что три вектора образуют базис в пространстве, если 
.
Если векторы заданы в координатной форме 
, то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:
.
Т. о., смешанное произведение 
равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.
