Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OY вверх, ось OX смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами или квадрантами

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так:.

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

 

Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси.

 

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так:.

Опр. Система координат (О; , , ) наз. прямоугольной, если:1) базисные векторы имеют единичную длину: = = =1;

2)базисные векторы попарно ортогональны (перпендикулярны): ⏊ ⏊ .

базисные векторы при этом обычно обозначают наз. базисными ортами, а координаты обозначают х,у, z. Оси координат называют: Ох-осью абсцисс, Оу - осью ординат, Оz-осью аппликат.

Теорема. Длина вектора =(X,Y,Z) равна корню из суммы квадратов его координат: | |= .

Док-во. Вектор представляется диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами Х , .

Длины сторон параллелепипеда равны |Х|,|У|,|Z|.квадрат длины диагонали прямоугольного парал. равен сумме квадратов длин его сторон(нужно дважды применить теорему Пифагора). Отсюда получается искомая формула.

Следствие. расстояние между точками А() и В() равно АВ= .

Док-во. АВ=| |, а =().

 

 

13.Величина проекции вектора на ось. Направляющие косинусы.

Ось - это прямая, на которой выбрано направление. Пусть направление на оси задается единичным вектором .

Пусть -произвольный вектор и пусть А΄ и В΄ -ортогональные проекции точек А и В на прямую l. Вектор наз. проекцией вектора на ось l.

Опр. Величиной проекции вектора на ось l наз. координата вектора на прямой l относительно базисного вектора , т.е. такое число , что = , .

Таким образом, мы различаем проекцию вектора на ось и величину проекции вектора на ось: первое-это вектор, а второе – число. При параллельном переносе вектора вектора также параллельно сдвигается на оси l. Поэтому величина проекции вектора не зависит от выбора представителя вектора . Также величина проекции суммы векторов равна сумме их величин проекции.

Теорема. Величина проекции вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью: =| |cosφ,где φ=<().

Док-во. рассмотрим два случая:1)уголφ-острый,2)уголφ-тупой.

 

Из прямоугольного треугольника ΔАВС в каждом из этих случаев имеем: 1) =АС=| |cosφ. 2) =-АС=- |cos(П-φ)=- |(-cosφ)= |cosφ.

Направляющие косинусы.

Пусть α,β,γ –углы, которые вектор =(X,Y,Z)составляет с осями координат. Косинусы этих углов,cosα, cosβ,cosγ наз. направляющими косинусами вектора .

 

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

Ясно, что координаты вектора равны величинам проекций этого вектора на оси координат. Поэтому Х= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |cosγ.

Отсюда можем найти направляющие косинусы: cos = = ; cosβ= ; cosγ=

Опр. Вектор = , имеющий единичную длину и такое же направление, как и вектор , наз. ортом вектора

Вектор имеет координаты (cosα, cosβ,cosγ). Так как |=1 получаем соотношение между направляющими косинусами .