Интегральные оценки качества

В качестве оценок качества переходного процесса принимаются определенные интегралы отклонения выходной величины Y от нового установившегося состояния.

Оценки выбираются так, чтобы они с одной стороны характеризовали переходный процесс, а с другой выражались бы через параметры системы, такими оценками являются интегралы.

; (7.3)

Выражение (7.3) представляет собой линейную интегральную оценку.

; (7.4)

, (7.5)

Критерий (7.5) характеризует квадратичную интегральную оценку, где .

Интеграл (7.3) выражает площадь между кривыми переходного процесса и установившимся значением Y(¥) (рисунок 7.6).

Чем меньше эта площадь I₁, тем быстрее производится регулирование, тем лучше, таким образом, имеется минимум интеграл (7.3) и соответствующие этому минимуму параметры системы.

Выражение (7.3) примем для монотонной Y(t) без перерегулирования и смены знака. Если Y(t) - колебательна, то для такой Y(t) площади будут вычитаться, и для неустойчивого режима автоколебаний будим иметь 0 I₁ (площади) (рисунок 7.7).

Для оценки колебательного процесса надо использовать квадратичный критерий (7.4).

Этот критерий основан на приближении кривой Y(t) к форме скачка, которую имеет входное воздействие, если пишется минимум I₂.

Геометрически это будет выглядеть так: кривая переходного процесса MLN будет тем ближе к идеальной кривой MON, чем меньше будет интеграл I₂. Но опыт показывает, что, создавая такое быстродействие (при минимуме I₂), Y(t) будет колебательным (тоже и с I₁) (рисунок 7.8).

 

Рисунок 7.6 Линейная интегральная оценка

Рисунок 7.7 Кривая y(t) при неустойчивом режиме автоколебаний.

Рисунок 7.8 К оценке колебательного процесса.

 

Когда этот критерий неприменим, то переходят к критерию (7.5). Интеграл (7.5) состоит из 2-х частей. Первый интеграл является I₂, а второй интеграл от , т.е. от квадрата скорости изменения Dy во времени.

Преобразуем (7.5):

т.е. I₃ будет минимальным, если , откуда , но так как , то .

При наименьшем интеграле (7.5) переходный процесс протекает по экспоненте с определенной постоянной времени. Если в случае наименьшей квадратичной ошибки (7.5) мы стремились приблизить переходный процесс к скачкообразной функции, то в случае (7.5) переходной процесс приближаем к экспоненте, смягчая условие оптимальности и задавая некоторое замедление (рисунок 7.9).

Рисунок 7.9 Кривая переходного процесса при квадратичной интегральной оценке

 

В заключении укажем основные области применения рассмотренных критериев.

Частотные и интегральные критерии используются при исследовании качества переходных процессов, вызванных основными (главными) воздействиями. Эти критерии позволяют учесть конкретную форму воздействия и начальные условия.

Интегральные критерии применяются в этом же случае для определения оптимального значения какого-либо варьируемого параметра; численной оценки показателя качества они не дают.

Корневые критерии используются главным образом для оценки в среднем качества переходных процессов при всевозможных воздействиях и начальных условиях.

Для систем выше пятого порядка применяются, в основном, частотные критерии.