4.1. Радіус-вектор матеріальної точки змінюється з часом за законом 
, де 
, 
– орти осей 
і 
. Визначити для моменту часу 
: 1) модуль швидкості; 2) модуль прискорення.
| Дано:
|
 –?
 –?
|
Аналіз
За означенням миттєва швидкість визначається за формулою:
.
Миттєве прискорення матеріальної точки визначається:
.
З врахуванням, що 
, маємо 
, 
.
Оскільки 
, то 
.
Відповідно для прискорення: 
, 
і 
.
Отже, 
.
Обчислення:
, 
.
Відповідь: модуль швидкості для моменту часу рівний 
, а модуль прискорення 
.
4.2. Колесо автомашини обертається рівносповільнено. За час 
воно змінило частоту від 
до 
. Визначити: 1) кутове прискорення колеса; 2) число повних обертів, зроблених за цей час.
Дано:
| СI
|
 –?
 –?
|
Аналіз
Кутова швидкість під час обертального руху змінюється за законом: 
.
Враховуючи, що 
, то 
. Остаточно:
Кінематичне рівняння обертального руху: 
, де 
– кутове переміщення матеріальної точки. Згідно умови задачі: 
.
Враховуючи, що , то 
. Звідки 
.
Обчислення:
, 
.
Відповідь: кутове прискорення колеса 
, кількість повних обертів колеса 
.
4.3. Уздовж похилої площини, що утворює з горизонтом кут 
, піднімають тіло. Коефіцієнт тертя становить 
. Під яким кутом 
до похилої площини потрібно спрямувати силу, щоб вона була найменшою?
| Дано:
|
| –?
|
Аналіз
Оскільки в умові задачі не зазначено, що тіло рухається з прискоренням, то вважатимемо рух тіла рівномірним (
і 
).
Згідно з другим законом Ньютона 
.
Спроектуємо сили на координатні вісі 
і 
.
.
.
За означенням 
і, враховуючи, що 
, маємо
.
З отриманого рівняння виокремимо силу 
: 
.
Сила буде мінімальною, якщо знаменник матиме максимальне значення. Залежність сили від кута дослідимо на екстремум. Першу похідну від знаменника прирівняємо до нуля і отримаємо:
, звідси 
.
Ми знайшли критичну точку функції . Друга похідна від знаменника при 
менша за нуль. Це означає, що точка є максимумом. А отже сила , прикладена до тіла, має мінімальне значення.
Відповідь: сила повинна бути спрямована під кутом до похилої площини.
4.4. Знайти першу космічну швидкість для Землі, тобто мінімальну швидкість, яку треба надати тілу, щоби вивести його на навколоземну орбіту.
Дано:
|
|
–?
|
Аналіз
На супутник, що рухається по колу радіуса 
, діє сила тяжіння Землі, яка є доцентровою силою і надає йому нормального прискорення 
. За другим законом Ньютона: 
, де 
– маса супутника, 
– маса Землі, 
– радіус Землі. Звідси 
.
Якщо висота над Землею мала порівняно з радіусом Землі 
, поблизу поверхні Землі 
.
Обчислення:
.
Відповідь: перша космічна швидкість 
.
4.5. При центральному пружному ударі тіло масою 
стикається з нерухомим тілом масою 
, в результаті чого швидкість першого тіла зменшується в 2 рази. Визначити: 1) у скільки разів маса першого тіла більша за масу другого тіла; 2) кінетичну енергію 
другого тіла після удару, якщо кінетична енергія 
першого тіла до удару була рівна 
.
Дано:
|
 –?
–?
|
Аналіз
Запишемо закони збереження імпульсу і енергії для абсолютно пружного удару двох тіл. Оскільки друге тіло до удару перебувало в стані спокою, то
Враховуючи, що 
, та , маємо:
З верхнього рівняння 
; з нижнього: 
.
Оскільки 
, то 
, звідки 
. Отже, 
.
Рівняння (2) запишемо у вигляді: 
.
Враховуючи, що 
, тоді 
. Отже,
.
Обчислення:
.
Відповідь: маса першого тіла більша за масу другого тіла у рази, кінетична енергія другого тіла після удару рівна 
.
4.6. Куля масою 
, що летить горизонтально зі швидкістю 
, попадає в балістичний маятник масою 
і застряє в ньому. На яку висоту 
підніметься маятник після удару?
| Дано:
| СI
|
| –?
|
Аналіз
Запишемо закони збереження кількості руху і енергії з урахуванням умови задачі: 1) удар непружний; 2) рух здійснюється в одному напрямку; 3) кінетична енергія повністю переходить в потенціальну.
де 
– швидкість маятника з кулею.
Розв’язавши систему рівнянь, одержимо:
.
Обчислення:
.
Відповідь: висота, на яку підніметься балістичний маятник, 
.
4.7. Колесо, радіус якого 
і маса 
скочується без тертя по похилій площині довжиною 
і кутом нахилу 
. Визначити момент інерції колеса, якщо його швидкість в кінці руху рівна 
.
Дано:
| СI
 
|
 –?
|
Аналіз
За законом збереження енергії маємо:
.
Оскільки в умові задачі задано лінійну швидкість колеса, то використаши заміну: 
, одержимо 
. Враховуючи, що 
, маємо
Отже, 
Обчислення:
.
Відповідь: момент інерції колеса 
.
4.8. Два вантажі масами 
і 
з’єднані невагомою ниткою, перекинутою через блок масою 
. Знайти прискорення , з яким рухаються вантажі, і силу натягу і 
нитки, до якої підвішені вантажі. Блок вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.
| Дано:
|
| –?
–?
–?
|
Аналіз
На кожен із вантажів діють дві сили: сила тяжіння, яка направлена вниз, і сила натягу нитки, яка направлена вгору. Рівнодійні цих сил спричинюють рівноприскорений рух тіл. Згідно з другим законом Ньютона, маємо:
Обертання блоку відбувається згідно основного закону динаміки обертального руху твердого тіла:
,
де 
, І= 
. Враховуючи, що = 
, де – радіус блока, маємо
або 
Спроектувавши рівняння (1) і (2) на вісь і, додавши до них рівняння (3), отримуємо:
Із перших двох рівнянь системи визначаємо 
і підставляємо у третє: 
Звідки :
З перших рівнянь системи знаходимо сили натягу нитки:
; 
.
Обчислення:
;
; 
.
Відповідь: прискорення, з яким рухаються вантажі, 
, сили натягу нитки відповідно: 
і 
.
