О некоторых признаках разрешимости и неразрешимости задач на построение

Критерий разрешимости задач на построение, указанный в теореме § 10, практически не всегда удобен. Мы укажем более простые признаки, вытекающие из этой теоремы.

Теорема 1. Если число можно построить циркулем и линейкой, исходя из множество чисел , то является алгебраическим относительно исходного поля числом степени ,

Доказательство непосредственно следует из упомянутой выше теоремы §7 и св. 3 §9.

Теорема 1 выражает необходимый признак разрешимости задач на построение. Если число не является алгебраическим относительно исходного поля или – алгебраическое, но его степень над полем отлична от , , то это число циркулем и линейкой построить невозможно.

В качестве примера на применение теоремы 1 рассмотрим три древние задачи: квадратура круга, удвоение куба и трисекции угла. Многочисленные и безуспешные попытки решить эти задачи и привели к возникновению теории геометрических построений.

1. Задача о квадратуре круга. С помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий заданному кругу. Выберем систему координат так, что начало лежит в центре заданного круга, а точка (1,0) на окружности. Тогда исходное поле совпадает с полем рациональных чисел. Площадь круга равна и, следовательно, длина ребра искомого квадрата равна . Так как и – трансцендентные числа, то в силу теоремы 1 построение ребра, а, следовательно, и самого квадрата, невозможно.

Задачу о квадратуре круга, имеющую 2-х тысячелетнюю историю, решал еще Архимед (3в. до н.э.). Впервые предположения о невозможности построения были высказаны в ХV (Леонардо да Винчи и др.). Многочисленная кагорта “квадратистов включала ” не только ученых математиков, но и часть людей, не связанных с математикой (делитантов). Это с чрезвычайно простой постановкой задачи. В связи с большим наплывом “решений” задачи при Французской академии наук была создана специальная комиссия по рассмотрению этих решений. Но поскольку наплыв “решений” не ослабевал, комиссия была ликвидирована, С “квадратистами” было покончено в 1882г. после того, как Линдеман доказал трансценденетность числа .

Задача об удвоении куба.

^(0,0) ¹

или

Построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема заданного куба.

Выберем систему координат так, чтобы концы ребра заданного куба лежали в точках (0,0) и (1,0), а длину искомого куба обозначим через . Исходным полем снова будет поле рациональных чисел, а задача сводится к построению действительного корня многочлена . Этот многочлен по признаку Эйзенштейна неприводим над полем и поэтому все его корни являются алгебраическими числами степени 3. Так как , то такие корни построить невозможно.

Задача о трисекции угла.

Задача свелась к построению уравнения

(1)

При , , поэтому уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах.

Если , то получим уравнение

, (2)

Это уравнение неразрешимо в квадратных радикалах, т.к. множество не имеет радикалов.

Дан угол . Построить .

Угол можно построить тогда и только тогда, когда число можно построить на основании заданного числа , но так как , то

Задача свелась к построению корней уравнения

когда задано число . Положим . Тогда и исходным полем является поле . Уравнение , как нетрудно проверить, не имеет радикальных корней, и потому многочлен неприводим над полем Q. Но тогда все его корни есть алгебраические числа степени 3 и один из них невозможно построить циркулем и линейкой. Значит, угол невозможно разделить на три равные части. Так как частный случай задачи неразрешим, то и сама задача неразрешима. Но в некоторых частных случаях (например, при , ) эта задача разрешима.

Укажем один достаточный признак разрешимости задач на построение.

Теорема 2. Если алгебраическое уравнение

(1)

с действительными коэффициентами разрешимо в квадратных радикалах, что все его корни можно построить циркулем и линейкой исходя из множества .

Действительно, если уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах, то по теореме 1 § 9 все его корни принадлежат области рациональности или некоторому пифагорову расширению этого поля. Но так как является также исходным полем множества , то в силу теоремы § 10 все корни можно построить.