Будем считать, что построения проводятся на выбранной раз и навсегда плоскости. Обычно задачи на построение в конечном счете сводятся к построению конечного числа точек, исходя из заданной совокупности конечного числа точек. Например, в задаче о трисекции угла задан угол, для чего достаточно задать три точки – вершину и две точки на сторонах; требуется разделить угол на три равные части, а для этого достаточно построить две точки, через которые проходят стороны, делящие угол.
Именно о таких задачах на построение циркулем и линейкой и пойдет речь в дальнейшем. При этом мы совершенно не будем говорить о методах построений – это вопрос чисто геометрический. Наша задача – выяснить, какие точки можно строить циркулем и линейкой, исходя из заданного конечного множества точек.
Выберем на плоскости произвольно прямоугольную декартову систему координат. Тогда каждая точка 
изображает комплексное число 
, и обычно множество точек плоскости отождествляют с множеством комплексных чисел. Если под сложением и умножением точек подразумевать сложение и умножение соответствующих чисел, то плоскость можно отождествлять даже с полем комплексных чисел, а поставленная задача может быть сформулирована в алгебраической форме: какие числа можно построить циркулем и линейкой на основании данного множества чисел.
Пусть 
- заданное множество чисел, а 
- есть наименьшее по включению числовое поле, содержащее множество 
и все числа, сопряженные с числами этого множества. Это поле будем называть исходным полем множества
Основной результат формулируется в виде следующей теоремы:
Теорема. Комплексное число 
допускает построение циркулем и линейкой исходя из заданного множества чисел тогда и только тогда, когда принадлежит исходному полю 
или некоторому пифагорову расширению этого поля.
Доказательство. Если задано множество , то легко также строятся сопряженные числа, так, что все числа множества 
будем считать известными.
В силу теоремы 2 § 4 каждое число исходного поля получается с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления 
. Поэтому для доказательства возможности построения любого числа из поля достаточно доказать следующий результат: если известны (то есть заданы или построены) два числа – 
и 
, то можно построить также числа – 
.
Для построения точки (
) достаточно провести прямую через О и и циркулем отложить отрезок от О до по другую сторону от точки О (рис.1)
 |
O 
О
О 
рис.1 рис. 2 рис. 3
Если точки О, , , не лежат на одной прямой, то для построения точки 
надо через точку провести прямую, параллельную прямой O , пересечение этих прямых и будет точкой (рис.2) Если же точки О, , лежат на одной прямой, то задача сводится к откладыванию заданных отрезков на этой прямой.
Пусть 
,где 
, 
.
Тогда
.
Для построения точки достаточно построить аргумент и модуль числа . Для нахождения аргумента достаточно провести прямую 
(рис.3), а построение модуля 
– это построение четвертого пропорционального чисел , 1, 1; такая задача рассматривалась в школьном курсе математики.
Если , 
, то 
.
Аргумент 
числа 
строится путем последовательного откладывания углов 
, а модуль 
является четвертым пропорциональным чисел 1, , 
.
Итак, любое число исходного поля можно построить циркулем и линейкой.
rp
Пусть теперь 
, где 
, 
. Тогда 
, где 
и построение числа 
сводится к построению 
. Поскольку , то мы считаем точку 
уже построенной. Если 
, то 
. Для построения аргумента 
числа достаточно разделить угол пополам, что выполнимо циркулем и линейкой. Для построения же модуля 
надо построить среднее геометрическое чисел 1 и ; эта задача также рассматривается в школьном курсе геометрии.
 |
1
Таким образом, любое число из простого пифагорова расширения 
можно построить циркулем и линейкой. Пусть теперь 
любое пифагорово расширение поля . Индукцией по 
докажем, что любое число этого поля можно построить. При 
это утверждение уже доказано. Предположим, что оно верно, для 
, т.е. любое число из поля 
допускает построение. Но так как 
есть простое пифагорово расширение поля , то согласно доказанному и любое число из допускает построение. Значит, наше утверждение верно при любом натуральном значении .
Теперь докажем, что всякое число, допускающее построение циркулем и линейкой, принадлежит исходному полю или некоторому пифагорову расширению этого поля.
Отметим, что циркулем и линейкой можно выполнять две операции: проводить прямую через две уже имеющиеся точки и строить окружность с центром имеющейся точке и проходящую через имеющуюся точку. Новые же точки могут быть получены в результате
пересечения таких прямых и окружностей.
Прямая, проходящая через точки 
, 
имеет уравнение
или
где числа 
рационально выражаются через числа 
.
Окружность с центром в точке 
, проходящая через точку 
, имеет уравнение
,
где 
.
Пусть числа 
принадлежат исходному полю . Тогда в силу равенств
, 
, 
Заключаем, что действительные числа 
и 
принадлежат полю 
, где 
, если 
и 
, если 
.
Отсюда заключаем, что коэффициенты уравнений прямых и окружностей с центрами в заданных точках, которые проходят через заданные точки, принадлежат полю .
Пусть точка 
получена при первом шаге построения циркулем и линейкой. Тогда 
есть решение одной из следующих систем уравнений с коэффициентами из поля :
(1)
(2)
(3)
Если есть решение системы (1), то 
, а, следовательно, и 
. Решение двух других систем сводится к решению квадратных уравнений с коэффициентами из поля . Если 
- дискриминант такого квадратного уравнения и 
, то 
, следовательно, и число 
принадлежит полю . Если же 
, то принадлежит простому пифагорову расширению 
, которое в силу определения , является также пифагоровым расширением поля .
Итак, точка , полученная при первом шаге построения на основании заданного множества чисел , принадлежит полю , которое либо совпадает с , либо является его пифагоровым расширением. При следующем шаге построения получится новая точка, являющаяся решением одной из систем (1) – (3) с коэффициентами уже из поля 
. Согласно доказанному новая точка принадлежит либо полю , либо его пифагорову расширению, которое является также пифагоровым расширением исходного поля . Таким образом, и при втором шаге построения получается точка, принадлежащая либо исходному полю , либо его пифагорому расширению. Вполне понятно, что и любая точка , построенная после любого конечного числа шагов, принадлежит либо полю , либо некоторому пифагорову расширению этого поля.
 | |||
 | |||
, а т.к. 
, 
