Разрешимость алгебраических уравнений в квадратных радикалах имеет важное значение в теории геометрических построений циркулем и линейкой и тесно связано с понятием пифагорово расширения.
Определение 1. Простое алгебраическое расширение 
где 
, 
, называется простым пифагоровым расширением поля 
.
Определение 2. Если в цепочке полей
каждое поле является простым пифагоровским расширением предшествующего ему соседнего поля, то есть,
то поле 
при любом 
называется пифагоровым расширением поля .
Отметим ряд простейших свойств пифагоровых расширений.
1. Простое пифагорово расширение состоит из всевозможных чисел вида 
, где 
.
Это свойство вытекает из теоремы 2, §3.
2. Пифагорово расширение 
является конечным расширением поля степени 
. Это есть частный случай теоремы 1 § 5.
3. Каждый элемент из пифагорова расширения является алгебраическим относительно поля числом степени 
.
Доказательство следует из свойства 2 и т.3 § 3 (в старом варианте теорема 2 и замечание к теореме 2 § 3).
Теорема 1. Число 
выражается в квадратных радикалах через тогда и только тогда, когда 
принадлежит некоторому пифагорову расширению поля .
Доказательство. Сначала индукцией по 
покажем, что любой элемент из поля выражается в квадратных радикалах через . Так как для любого из поля 
, 
то при 
наше утверждение верно.
Предположим, что наше утверждение верно при 
, т.е. каждый элемент из 
выражается в квадратных радикалах через . Тогда, если 
, то
, где 
Это значит, что выражается в квадратных радикалах через . Отсюда, учитывая предположение индукции и свойства 3 § 8, заключаем, что выражается в квадратных радикалах через , т.е. наше утверждение верно при 
. Но тогда оно верно и при любом натуральном значении .
Обратно, если число выражается в квадратных радикалах через , то последовательно присоединяя эти радикалы, мы и получим пифагорово расширение поля , содержащее .
Например, если 
, где 
, то принадлежит составному алгебраическому расширению
, где 
.
Если 
, то это и есть искомое пифагорово расширение. Если же, например, 
, то искомым пифагоровым расширением будет поле 
.
Следствие. Уравнение
разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда все его корни принадлежат некоторому пифагорову расширению области рациональности этого уравнения.
Доказательство вытекает из Т1 и Т1 § 8.
Теорема 2. Кубическое уравнение
(1)
разрешимо в квадратных радикалах 
, когда, по крайней мере, один его корень принадлежит области рациональности 
.
Доказательство. Если 
– корень уравнения (1), 
, то
, 
.
Отсюда уже видно, что все корни уравнения (1) выражаются в квадратных радикалах через поле и в силу теоремы 1 § 8 уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах.
Обратно, пусть уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах. Тогда все его корни принадлежат некоторому пифагорову расширению поля и, следовательно, являются алгебраическими над полем числами степени 
. Отсюда и следует, что, по крайней мере, один из корней принадлежит полю . В самом деле, если бы ни один из корней не принадлежал полю , то многочлен 
был бы неприводим над полем , и все его корни были бы алгебраическими над полем числами степени 
.
Следствие. Кубическое уравнение с рациональными коэффициентами разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда, оно имеет по крайней мере один рациональный корень.
Упражнения.
1. Какие из следующих уравнений разрешимы в квадратных радикалах:
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Показать, что уравнение
,
не имеющее корней в области рациональности, разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда в области рациональности этого уравнения находится по крайней мере один корень кубической резольвенты.