Перспектива прямой и плоскости 2 страница

подсобных геометрических построений рассмотрим на получении перспективного изображения точки методом центрального проецирования.

Точка является основным геометрическим элементом любого объекта, перспектива которого подлежит построению ил и проверке. Перспектива всякого отрезка прямой, ограниченного в своих линейных размерах конечными точками, всегда может быть построена по перспективам двух точек. Перспектива всякой плоскости, расположенной в предметном пространстве, строится по перспективам трех точек, лежащих в рассматриваемой плоскости и не находящихся на одной прямой. Перспектива поверхности, расположенной в предметном пространстве, строится по перспективам точек.

Метод построения рисунка с натуры и по представлению «по точкам» был принят и применен в преподавании П.П. Чистяковым. Позднее этот метод, существенно обогащенный педагогическим опытом, успешно применялся его преемником и последователем по академической школе В.Е. Савинским, который справедливо считал метод построения изображений «по точкам» принципом академического рисунка.

Положение всякой точки в пространстве может быть определено координатами X, Y и Z (рис. 26). За начало координат примем точку р₀ — осно-

вание главного вертикала. Ось X совпадает с основанием картины к, ось Z — с главным вертикалом картинной плоскости, ось Y перпендикулярна плоскости картины.

Лампочка электрического фонаря на улице (рис. 27) представляет в натуре точку А', ее проекция — точка а'.

Рассмотрим расположение точки А', в системе проецирующего аппарата. В предметной плоскости зададим точку и ее основание (рис. 28). Через высоту точки зрения Ss и проецирующий луч SA' проведем вспомогательную плоскость Т.

Необходимыми геометрическими элементами при построении перспективы точки А' будут:

— sa — линия пересечения вспомогательной плоскости Т с предметной плоскостью П. Эта линия, пересекая основание картины k, отмечает

на нем точку а₀, связывая тем самым заданный объект А' и точку зрения S через проекции а' и s с основанием картины.

— Аа₀ — линия пересечения плоскости Т с картинной плоскостью. Определяет прямую, на которой должна лежать перспектива точки А' — точка А

Определим местонахождение перспективы А на линии Аа₀. Для этого проведем в плоскости Г луч зрения S А'. Он пересечет линию Аа₀ и отметит на ней точку А, которая и является перспективой точки А'.

На картине (рис. 29) видно, что перспектива точки А и ее основание а расположились на одном перпендикуляре к линии горизонта и основанию картины.

Положение точки называется общим, если она расположена в предметном пространстве и находится на некотором расстоянии от предметной и картинной плоскостей. Точка А' является точкой общего положения.

Рассмотрим случай, когда пространственная точка В'лежит на земле (рис. 2 7). В проецирующем аппарате она располагается на предметной плоскости П. Ее основание совпадает с самой точкой В' = Ъ' и расстояние до предметной плоскости равно 0 (рис. 30). Перспективу точки В'и ее основания Ъ' построим аналогичным способом. Перспектива точки В и ее основание Ъ на картине лежат на одном перпендикуляре и совпадают (В з Ъ) (рис. 31). Точка В находится ниже линии горизонта, справа от главного вертикала Рр₀.

Положение точки называется частным, если она лежит в предметной или картинной плоскости, например, как точка В'. Точка Е' лежит в картинной плоскости, об этом свидетельствует ее совпадение с перспективой Е' = Е) (рис. 32, 33). Она находится выше линии горизонта, слева от главного вертикала. Точки А' з а' и С' = с лежат в предметной плоскости на раз-

ном расстоянии от картины. Точка С ближе точки А', поэтому ее перпендикуляр короче. На картине точка С = с находится ближе к основанию картины, чемА^а.

Рассмотрим случай, когда точка общего положения расположена во мнимом пространстве, т. е. за спиной зрителя (рис. 34). Из точки зрения S проведем луч зрения через точку А' и продолжим его до пересечения с картинной плоскостью. Соединим точку стояния s с основанием а' и продолжим до пересечения с основанием картины, получим точку а₀. Из точки а₀ восстановим перпендикуляр, пересечение которого с прямой a'S опреде-

лит точку а. На картине (рис. 35) из построений видно, что перспектива точки А и ее основание а лежат на одном перпендикуляре к основанию картины, однако перспектива А находится ниже линии горизонта, а ее основание выше.

Для построения перспективы точки направляют лучи зрения в точку и ее проекцию на предметной плоскости и находят точки пересечения их с картиной. На картине можно определить пространственное положение любой точки по ее перспективному изображению.

| Вопросы и упражнения для самоконтроля

1. Что такое перспектива? С какими науками у нее существуют прочные межпредметные связи?

2. Как устроен глаз человека? Как происходит получение зрительного образа на сетчатке глаза?

3. Объясните роль мозга человека в корректировке зрительного образа.

4. На каких поверхностях может быть построено перспективное изображение?

5. Какие виды перспективы применяют?

6. В чем заключается метод центрального проецирования? Что общего и в чем отличия процесса восприятия образа и принципа центрального проецирования?

7. При каких условиях зрительный образ совпадает с центральной проекцией объекта наблюдения?

Рис.36

8. Как конусы видимости влияют на четкость восприятия?

9. Как определяют поле ясного зрения человека?

10. Какой угол зрения соответствует наилучшему восприятию натуры?

11. Назовите главные элементы проецирующего аппарата. Как они расположены относительно друг друга?

12. Что такое совмещенная точка зрения и как ее применяют в перспективных построениях?

13. Как влияет изменение уровня линии горизонта на изображение предметов?

14. С помощью какого инструмента можно в реальной практике определить уровень линии горизонта?

15. Как используют линию горизонта художники для выражения своего композиционного замысла?

16. Какое приспособление используют художники для выбора оптимального положения линии горизонта при работе с натуры?

17. Как построить перспективу точки, заданной в предметном пространстве, в мнимом пространстве?

18. Рассмотрите картину с расположенными на ней точками А, В, С, D (рис. 36) и ответьте на вопросы:

Какая из точек расположена в предметной плоскости? Какая из точек расположена в картинной плоскости? Какая из точек имеет наибольшую высоту? Какая из точек дальше всего удалена от зрителя? Какая пара точек удалена на одинаковое расстояние?

Глава II

ПЕРСПЕКТИВА ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

1. Перспектива отрезка прямой

В предметном пространстве прямые могут занимать различное положение. Прямые, расположенные под произвольным углом к картине и к предметной плоскости, называются прямыми общего положения. Прямые, расположенные параллельно или перпендикулярно по отношению к картинной или предметной плоскости, называют прямыми частного положения.

Для построения перспективы прямой представим плоскость, составленную из лучей, идущих из точки зрения S к каждой точке заданной прямой. Эти лучи образуют, так называемую лучевую плоскость. Она пересечет картину по прямой. Следовательно, перспектива прямой на картине, в общем случае, есть прямая. В частном случае, когда прямая совпадает с направлением проецирующего луча, ее перспективным изображением будет точка.

Для изображения на картине отрезка прямой, достаточно построить перспективу двух ее точек (рис. 37). На прямой возьмем произвольно две точки А' и В' и построим их перспективу. Соединим точку зрения S с прямой А'В' лучевой плоскостью Т_1г а с основанием прямой а'Ъ' лучевой плоскостью Т₂. Полученные на картине точки А и В соединим прямой, которую продолжим в обе стороны. Поскольку заданная прямая есть прямая общего положения, то перспектива ее не параллельна основанию картины k (рис. 38).

В предметной плоскости проецирующего аппарата (рис. 39) задана прямая L'. Перспектива прямой и ее основание совпадают СЕ = се и не параллельны линии основания картины k (рис. 40).

Если прямая пересекает картину, то точка пересечения заданной прямой с картиной называется картинным следом. Картинный след обозначается буквой соответствующей прямой, с добавлением к ней индекса k.

Рис. 40

На сельском пейзаже изображена изгородь, определенный участок которой обозначен отрезком АВ. Отрезок АВ упирается в картинную плоскость и имеет с ней общую точку — картинный след (рис. 41).

Для построения перспективы картинного следа прямую А В заключим в плоскость (рис. 42). Построим линию пересечения вспомогательной плоскости с картинной. Поскольку вспомогательная плоскость перпендикулярна предметной плоскости, линия пересечения перпендикулярна основанию картины. Картинный след и его проекция будут располагаться на одном перпендикуляре к основанию картины. Сам след A_k получится на пересечении этого перпендикуляра с продолжением прямой.

Для построения на картине картинного следа отрезка А В построим перспективное изображение отрезка АВ и его основания — аЪ (рис. 43).

Продолжим аЬ до пересечения с основанием картины и обозначим точку а_к. Из нее восстановим перпендикуляр. Прямая АВ пересечет перпендикуляр в точке А_к — в картинном следе.

Точка пересечения заданной прямой с предметной плоскостью называется предметным следом. Для построения перспективы предметного следа продолжим заданную прямую до пересечения с предметной плоскостью. Предметный след обозначается буквой соответствующей прямой с добавлением к ней индекса п. На переднем плане лесного пейзажа (рис. 44) виден ствол поваленного дерева. Его можно рассматривать как прямую, одним концом упирающуюся в землю, а значит в предметную плоскость.

Найдем предметный след для прямой N', на которой расположены точки А' и В' (рис. 45). Заключим прямую во вспомогательную плоскость, которая пересечет предметную плоскость по прямой, совпадающей с основанием отрезка А В'. Продолжим прямую N' до пересечения с предметной плоскостью, точка N'_n будет лежать на продолжении отрезка а'Ъ'.

Построим на картине перспективу отрезка АВ и его основание аЪ. При продолжении эти прямые пересекутся в точке N_n — в предметном следе (рис. 46).

Точку, находящуюся на бесконечно далеком расстоянии от зрителя и расположенную на прямой, принято называть предельной точкой прямой. Следовательно, предельной точкой называется перспектива бесконечно удаленной точки прямой (рис. 47). Прямая АВ на земле может рассматриваться как бесконечно удаленная прямая, на которой расположены точки А и Б.

3 Э-298

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Рис. 49

В предметной плоскости проецирующего аппарата (рис. 48) задана прямая L', расположенная под произвольным углом к картине. Требуется построить перспективу предельной точки прямой.

На прямой отметим две точки А' и В' и построим их перспективу. Полученные на картине перспективы точек соединим прямой и продолжим до пересечения с основанием картины. Полученная точка L_k будет картинным следом, который можно также получить, продолжив прямую до пересечения с картиной. Картинный след L_h будет началом перспективы прямой L'.

Если на продолжении прямой L' задать точки дальше точек А и В и строить их перспективы, то на картине они будут располагаться выше точек А, В. Проецирующие лучи, проведенные из точки зрения в заданные точки на прямой L', будут подниматься вверх. Когда проецирующий луч примет горизонтальное положение, т. е. станет параллелен заданной прямой L', перспектива предельной точки 1^ будет расположена на высоте точки зрения Ss, т. е. на линии горизонта. Предельная точка строится с помощью луча зрения, проведенного параллельно заданной прямой L'„ до пересечения с картиной в точке L^.

На картине (рис. 49) предельная точка L„ — точка пересечения продолжения перспективы отрезка АВ с линией горизонта.

Для построения перспективы прямой необходимо построить перспективу двух точек, лежащих на этой прямой, а для бесконечно продолженной прямой — картинный след и ее предельную точку.

2. Перспектива прямой общего положения

Прямая общего положения в зависимости от направления может быть восходящей и нисходящей. Восходящей называется такая прямая, точки которой по мере удаления от картины удаляются от предметной плоскости. Нисходящей называется прямая, точки которой по мере удаления от картины приближаются к предметной плоскости. Обходные лестницы на входе в многоэтажный дом (рис. 50) отмечены отрезками АВ и CD. Отрезок АВ направлен сверху вниз — нисходящая прямая, отрезок CD — снизу вверх — восходящая прямая.

Рис.51 Рис.52

В предметном пространстве проецирующего аппарата задана восходящая прямая L'L^ и ее проекция ГС на предметную плоскость (рис. 51). Для построения перспективы восходящей прямой L'L^ — L L^ построим перспективу ее проекции на предметную плоскость, т. е. перспективу точки V и предельной точки С • Для определения перспективы точки С из точки зрения S параллельно прямой I'll, направим луч S'll || L'C до пересечения с линией горизонта.

Для построения перспективы точки Ll, из точки зрения S направим параллельно прямой I'll, луч SL^. Перспектива точки L^ будет лежать на перпендикуляре, восстановленном из точки 1^ к линии горизонта.

Соединив точки 1и Z^ получим перспективу восходящей прямой L'Ll (рис. 52).

Восходящая прямая общего положения в перспективе имеет предельную точку над линией горизонта.

В предметном пространстве проектирующего аппарата задана прямая A'Al, и ее проекция a'al на предметную плоскость (рис. 53).

Для построения перспективы нисходящей прямой А'А^ — А А^ построим перспективу прямой аа_х, т. е. точек а и а'„. Найдем перспективы предельных точек Д1 и а'^. Для построения перспективы точки сС проведем луч зрения SA^ параллельно прямой a'al. На пересечении луча зрения с линией горизонта отметим предельную точку а_те проекции нисходящей прямой.

Рис. 53

Рис.54

Для определения перспективы точки А^ проведем луч зрения SA^ || А'а! • Точка Д„ — точка пересечения луча зрения SA«, с перпендикуляром, восстановленным из точки а^ к линии горизонта.

Соединив точки А с А*, и а с а_х получим перспективное изображение нисходящей прямой общего положения (рис. 54).

Нисходящая прямая общего положения в перспективе имеет предельную точку под линией горизонта.

Прямые общего положения — восходящие и нисходящие — в перспективе ограничены своими предельными точками, лежащими на перпендикулярах, проведенных через предельные точки проекции этих прямых.

3. Перспектива прямых частного и особого положения

При построении внешнего и внутреннего вида зданий чаще всего используются прямые частного положения. Они расположены параллельно или перпендикулярно к предметной или картинной плоскостям.

Прямые, лежащие в предметной плоскости или ей параллельные, называются горизонтальными. Относительно картинной плоскости горизон-

тальные прямые могут быть расположены по-разному: параллельно, перпендикулярно и под произвольным углом. Высотные дома на гравюре А. Шибанова, удаляясь от зрителя, уменьшаются в размерах, но их вертикальные стены остаются перпендикулярными к земле, а значит предметной плоскости (рис. 55). Карнизы домов параллельны земле, хоть и направлены под произвольным углом к картине, также являются горизонтальными линиями.

Рассмотрим прямые частного положения. Задана горизонтальная прямая А'В' (рис. 56), параллельная картинной плоскости. Для построения ее перспективы проведем лучевую плоскость, параллельную предметной плоскости. Перспектива А В будет параллельна линии пересечения двух плоскостей, т.е. основанию картины. На картине характерным признаком параллельности горизонтальной прямой и картинной плоскости является параллельность перспективы данной прямой и ее проекции основанию картины (рис. 57).

Горизонтальная прямая, параллельная картинной плоскости, определяет одно из главных направлений — ширину измерения. Несколько таких прямых, одинаковых по длине и лежащих на разном расстоянии от картинной плоскости, расположено в предметном пространстве (рис. 58).

Рис. 56

Рис. 57

Рис. 58

Рис.59

На картине хорошо видно изменение размеров горизонтальных прямых в зависимости от удаленности каждой прямой (рис. 59).

На переднем плане городского пейзажа (рис. 60) изображены плиты квадратного тротуара. Стороны квадратных плит, параллельные основанию картины, по мере удаления уменьшаются по ширине.

--------------------------------------------------------------------- 1 р_ис ₆₀

В предметном пространстве проецирующего аппарата задана горизонтальная прямая А'В', перпендикулярная картине, а, следовательно, и к ее основанию (рис. 61).Такая прямая имеет предельную точку, совпадающую с главной точкой картины Р. Характерным признаком на картине бесконечно продолженной горизонтальной прямой, перпендикулярной картинной плоскости, является совпадение предельной точки прямой с главной точкой картины.

На рис. 60 таких прямых несколько: перпендикулярные картине стороны плит тротуара, линии ограждений, карнизы домов и т. д. Все они, при продолжении, стремятся в главную точку картины — Р.

Прямую, параллельную предметной плоскости и перпендикулярную картинной, называют глубинной. Она определяет одно из главных направлений пространства — глубину измерения (рис. 62).

Для изображения ограды парка (рис. 63) использована горизонтальная прямая, расположенная и под произвольным углом к картинной плоскости.

На картинной плоскости проецирующего аппарата задана горизонтальная прямая A_kA^, расположенная под произвольным углом к картине

Рис.61

Рис. 62

(рис. 64). Местоположение предельной точки прямой A_kAL на линии горизонта зависит от ее направления (SA^ \\ A_kA^). Характерным признаком на картине (рис. 65) такой прямой является наличие предельной точки на линии горизонта в любом месте, кроме главной точки картины Р.

В перспективных изображениях часто используют горизонтальные прямые под углом 45° к картинной плоскости, например плиты дорож-

Рис. 64

Рис. 65

ки (рис. 66). Предельные точки сторон плит лежат на линии горизонта. Диагонали этих квадратов сходятся в точке Р.

Для построения предельной точки такой прямой на проецирующем аппарате (рис. 67), проведем параллельно ей луч зрения SD. В плоскости го-

Рис. 66

ризонта образуется прямоугольный треугольник SPD, угол при вершине Р — 90°, при вершине S — 45° (по построению). Третий угол этого треугольника будет также равен 45°. Следовательно, данный треугольник прямоугольный и равнобедренный, третья вершина D является дистанционной точкой.

Характерным признаком на картине (рис. 68) горизонтальной прямой, расположенной параллельно предметной плоскости и под углом 45° к картине, является наличие предельной точки совпадающей с дистанционной (D).

►

Предельной точкой горизонтальной прямой, расположенной под углом 45° к картинной плоскости, в перспективе является дистанционная точка.

Прямые, перпендикулярные к предметной плоскости, а следовательно, параллельные картине, называются вертикальными.

В предметном пространстве проецирующего аппарата задана вертикальная прямая А В перпендикулярная предметной плоскости, а следовательно и основанию картины (рис. 69). При построении перспективы предельной точки вертикальной прямой проецирующий луч Ss займет положение, параллельное вертикальным прямым, т. е. окажется в нейтральной плоскости N и будет параллелен картинной плоскости К. Следовательно, построение на картинной плоскости предельной точки невозможно.

Характерным признаком на картине (рис. 70) такой прямой является перпендикулярность перспективного изображения прямой основанию картины. Прямая АВ определяет одно из главных направлений — высоту измерения. Сокращение высот в зависимости от удаления от зрителя показано на проецирующем аппарате (рис. 71), где представлено четыре верти-

кальных отрезка А'В', С'Е', L'M' и N'O' равных по высоте и расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Полученные перспективные изображения также выстроились в ряд вертикальных отрезков, но на разных расстояниях. Сокращения расстояний и высот ясно видно на изображении этого ряда отрезков на картине (рис. 72). Примером использования вертикальных прямых для передачи иллюзии пространства может служить рис. 60, где хорошо видно уменьшение размера осветительных фонарей прямоугольной формы, установленных на высоких бордюрах.