Перспектива прямой и плоскости 5 страница

Зададим на предметной плоскости П точку А' (рис. 137). Построим сна­чала ее перспективу, выполним преобразования проецирующего аппарата и проследим как будет определяться точка А'в совмещенной плоскости.

Рис. 137 83

 

Рис.139

Из заданной точки А' проведем перпендикуляр А'а₀ на основание карти­ны. Прямая А'а₀ параллельна главному лучу зрения SP, значит предель­ной точкой для нее будет точка Р. Построим перспективу точки А'.

Произведем преобразование плоскостей проецирующего аппарата. При вращении предметной плоскости вместе с ней повернется и точка А = а, которая расположится на перпендикуляре а^А. Если из совмещенной точ­ки S_h провести луч в точку А, он пересечется с прямой а₀Р в точке А. Следо­вательно, между точкой А' на предметной плоскости П и изображением на картине установилось так называемое перспективное соответствие.

На совмещенных плоскостях (рис. 138) перспектива точки А'строится в той же последовательности, как и на проецирующем аппарате.

►

На совмещенной предметной плоскости можно задавать точки, прямые углы и плоские фигуры и строить их перспективы на картине.

Необходимо построить перспективу угла а = 60°, лежащего в совмещен­ной предметной плоскости (рис. 139).

Зададим элементы картины: ее основание, линию горизонта, главную точку Р и дистанционное расстояние. Определим картинные следы сторон угла АЕ и ВЁ, продолжив их до пересечения с основанием картины. Опре­делим предельные точки сторон заданного угла. Для этого построим совме­щенную точку зрения S_k и из нее проведем две прямые, параллельные сто­ронам заданного угла. Эти прямые пересекут линию горизонта в точках А_х и В_те, т. е. будут предельными точками сторон угла а.

Определим перспективу угла а = 60° которая получится в результате пересечения прямых А_м а₀ и В„ Ь₀. Точки А и В определяются при пересече­нии прямых А„ а₀ и В_м Ь₀ с лучами SfA и S^B. Из построения видно, что пер­спектива угла а получилась перевернутой, поскольку угол был задан в совмещенной предельной плоскости П.

При рисовании предметов часто возникает необходимость в построении перспективы прямого угла, лежащего в предметной или горизонтальной плоскости. Прямой угол, так же как и любой другой, строим сначала при совмещенной точке зрения. Продолжив стороны угла до пересечения с ли­нией горизонта, определим предельные точки его сторон (рис. 140). Задав любую точку А в предметной плоскости и соединив ее с предельными точками сторон прямого угла, получим перспективу угла 90°. Предельные точки сторон прямого угла будем отмечать латинскими буквами F₁ и F₂. В данном примере наклон плоскости прямого угла к основанию картины произволен. Решим обратную задачу: по изображенному на картине пря­моугольному предмету требуется определить углы наклона его сторон к кар­тинной плоскости.

На схеме картины французского художника Филиппа де ла Гура «Аст­рономические приборы» (рис. 141) изображены книги, повернутые под разными углами к зрителю. Требуется определить натуральные величины углов поворота одной из книг.

Продолжив стороны угла, определим их предельные точки F_l и F₂. Раз­делив расстояние между точками схода пополам, очертим дугу. Из главной

Рис. 141

точки картины Р восстановим перпендикуляр до пересечения с дугой, по­лучим совмещенную точку зрения S_k. Соединим точку S_k с точками F₁ и F₂. Угол F₁S_hF₂ с вершиной в совмещенной точке зрения является прямым, со­ставляет 90°, а искомые углы — левый равен 50°, правый — 40°.

►

Для определения натуральной величины угла, лежащего в горизонтальной плоскости, по его изображению на картине строят предельные точки сто­рон угла, продолжив их до пересечения с линией горизонта. Полученные предельные точки соединяют с совмещенной точкой зрения. Угол при со­вмещенной точке зрения будет натуральной величиной угла, заданного на картине.

2. Перспектива элементов городского пейзажа

Проанализируем закономерности линейных сокращений, которые наи­более сильно влияют на изображение городского пейзажа.

В современной архитектуре большинство домов имеют прямоугольные очертания. Дано изображение улицы со зданиями, развернутыми под про­извольным углом к зрителю, который стоит на перекрестке двух улиц (рис. 14 2). Местонахождение точек схода горизонтальных линий фасада дома F₁ и F₂ определим, продолжив стороны основания дома до пересечения с ли­нией горизонта. Такое изображение называют угловой перспективой улицы.

При изображении городского пейзажа художники часто изображают марши лестниц, спуски и подъемы гор и городских улиц. Все эти случаи требуют определения угла наклона восходящих и нисходящих плоскостей. Профиль городской улицы состоим из четырех отрезков, три из которых имеют определенные углы подъема и спуска (рис. 143).

Угол наклона восходящей и нисходящей плоскостей к предметной плос­кости определяют линейным углом.

В предметном пространстве проецирующего аппарата (рис. 144) зада­ны восходящая П_в и нисходящая П_н плоскости. Условно «расщепив» пред­метную плоскость по глубинной прямой А'А^, отметим углы наклона к ней восходящей (а') и нисходящей ((3') плоскостей.

Рис. 143

Построим перспективное изображение линейных углов плоскостей на картине. Для этого из точки зрения проведем лучи SP_B и SP_H параллельно прямым А'А'_В и А'А'_Н соответственно.

Через точку зрения направим пучок лучей, образующих лучевые плос­кости параллельно восходящей и нисходящей плоскостям. Линии пересе­чения лучевых плоскостей с картиной будут проходить параллельно ли­нии горизонта через предельные точки Р_в и Р_н сторон линейных углов. Та­ким образом на картине определены предельные прямые восходящей (h_B) и нисходящей (h_H) плоскостей особого положения и их предметный след П_к, проходящий через точку А параллельно картинному следу.

Необходимо определить на картине углы наклона этих плоскостей к предметной плоскости, т. е. линейные углы, которые образуются прямыми особого положения. Для этого рассмотрим в плоскости главного луча зре­ния треугольники P_BPS и P_HPS. Заметим, что они прямоугольные, имеют общий катет PS, а углы при точке зрения равны углам наклона восходя­щей (а' = а) и нисходящей (В' = В) плоскостей. Сделаем преобразования и повернем треугольники вокруг линии главного вертикала до совмещения с картиной. Тогда они займут положение PD]P_B и РВ_гР_н, а вершины линей­ных углов наклона плоскостей будут находиться в дистанционной точке D₁. При этом натуральная величина угла наклона для восходящей плоскости рас­положена над линией горизонта, а для нисходящей — под линией горизонта.

Для построения предельной прямой восходящей или нисходящей плоско­сти особого положения с заданным углом наклона к предметной плоско­сти его задают при дистанционной точке на линии горизонта и продолжа-

Рис. 144

 

 

р,-
\	Olf	у>1
А		/	S>
Рн

Рис. 145

 

ют сторону угла до пересечения с линией главного вертикала. Предельная прямая плоскости пройдет через полученную точку параллельно линии го­ризонта для восходящей плоскости над ней, для нисходящей — под ней.

На картине (рис. 145) при точке D к линии горизонта построены углы а
для восходящей плоскости и р для нисходящей. Пересечение сторон углов
с линией главного вертикала определяет положение точек Р_в и Р_н через ко­
торые, параллельно линии горизонта, проходят предельные прямые восхо­
дящей и нисходящей плоскостей. ^

Параллельно картине задан профиль лестницы (рис. 146). Изображе­ния ребер ступеней будут сходиться в точке Р. Лестница состоит из верти­кальной части — подступенка и горизонтальной — проступи (в современ­ных лестницах проступь всегда больше подступенка). При построении ле­стницы (рис. 147) использовали углы ребер, ограничивающих ее ступени. Величину подступенка можно найти с помощью масштаба высот.

На картине (рис. 148, б) построено изображение лестницы, которая име­ет сходы на три стороны. На плане лестницы (рис. 148, а) показана конст­рукция и величины проступеней. Высота ступеней задана на масштабе вы­сот в нижнем левом углу картины и отмечена точками 1₀,2₀,3₀ и 4₀. Постро-

 

Рис. 146

Рис. 147 90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

		P		Л
			I ^^^R.V	■;-&-'*3l
jfi:<J$r.:	s^^ux
	•^ 4.'	-"..'.■.:"•■	XI» * ' •/. *.,•".'
	3'	ш

Рис. 148

им основные элементы картины — линию горизонта, главную и дистанци­онные точки, которые в данном случае не изображены на рисунке, а зада­ны лишь направления сходящихся прямых. На основании картины зада­дим размеры, взятые с плана лестницы. Угол а показывает угол наклона ребер тех ступеней, которые перпендикулярны картинной плоскости.

При изображении улиц городов, улицу, где горизонтальные линии фа­садов домов стремятся в главную точку схода, называют центральной пер­спективой (рис. 149). В этом случае торцовые части зданий изображают параллельными основанию картины.

При центральной перспективе улицы главная точка картины находит­ся в середине картины, а наблюдатель как бы стоит на ее проезжей части. Если главная точка расположена ближе к краю картины, то зритель стоит на тротуаре. В этом случае он видит одну сторону улицы более сокращен-

Рис. 149

ной, а на противоположной может рассмотреть все архитектурные детали зданий.

Рис. 150 92

Некоторые улицы имеют спуски и подъемы. Для правильного изобра­жения таких улиц необходимо помнить правила построения восходящих и нисходящих плоскостей. Горизонтальные фризы, карнизы, цоколь фунда­ментов и края окон на фасадах домов, выходящих на улицу, сохраняют глубинное направление с главной точкой схода Р. Стены домов с торца так­же расположены параллельно основанию картины (рис. 150, 151).

Рис. 151

Линии пересечения домов с восходящей и нисходящей поверхностью улиц направлены в точки схода на линии главного вертикала. Чем круче подъем или спуск, тем больше расстояние между точкой схода линий вос­ходящих или нисходящих плоскостей и главой точкой картины. Если срав­нить рис. 150 и 151, то легко заметить, что подъем гораздо круче спуска. Расстояние от Р до Р_х на рис. 150 больше соответствующей величины на рис. 151.

На восходящей и нисходящей улицах границы тротуара, а также прямые, проведенные через основания и верхние концы фонарей и де­ревьев, имеют точки схода, расположенные на линии главного вертика­ла. Эти же правила относятся к изображению идущего по улице транс­порта.

Изображение, на котором точки схода горизонтальных линий фасадов зданий последовательно перемещаются вправо или влево по линии гори­зонта, называют улицей с поворотом (рис. 152). Улица имеет сложный ре­льеф. Кроме спуска у нее еще два поворота дороги, по краям которой распо­лагаются здания. На линии горизонта точки Р и Р₁ являются точками схо­да прямых, расположенных на горизонтальной поверхности земли, а точки Р₂ и Р₃ — для глубинных прямых зданий, развернутых под разными угла­ми к зрителю.

В изображении улиц возможно еще более сложные сочетания различ­ных направлений. В любом случае, восходящая или нисходящая улицы с поворотом изображаются так, что горизонтальные линии фасадов зданий

Рис. 152

в зависимости от направления будут иметь различные точки схода на ли­нии горизонта. Края же тротуаров и оснований зданий будут иметь точки схода, расположенные выше линии горизонта над точками схода соответ­ствующих горизонтальных направлений.

При изображении восходящих и нисходящих плоскостей городских улиц их глубинные линии будут сходиться в точках схода, лежащих на линии глав- W ного вертикала.

3. Перспектива многоугольников

Предметы окружающего мира в основе имеют форму простейших гео­метрических тел. При рисовании даже сложные формы человеческого тела могут быть упрощены до простых геометрических поверхностей. На пер­вых этапах обучения рисованию рекомендуется начинать с простых гео­метрических тел, где легче проследить перспективные и визуальные иска­жение формы в пространстве.

Рассмотрим примеры построения перспективы многоугольников, рас­положенных в различных положениях по отношению к картинной плоско­сти при доступных и недоступных точках схода.

На картине (рис. 153) параллельно ее основанию задана сторона АВ квад­рата. Требуется построить квадрат, расположенный в предметной плоскости.

_____________ 0 10 20 30 40

Рис. 153 Рис. 154

При вершинах А и В построим прямые углы, для чего проведем глубин­ные прямые АР и ВР. Через вершину А (или В) проведем диагональ, пре­дельной точкой которой является дистанционная. Точка С на прямой АР определит положение стороны СЕ искомого квадрата.

Изображение квадратов таким способом используется при построении паркетов прямоугольной формы.

На основании картины (рис. 154) заданы стороны 01₀, 1₀2₀, 2₀3₀, 3₀4 квадратных плит. Требуется построить перспективное изображение части пола, выложенного такими плитами.

Построим глубинные прямые сторон квадрата с главной точкой схо­да Р. Через точку 0 и D проведем диагональ квадратов, которая в пересече­нии с каждой глубинной прямой отметит точки 1,2,3,4. Через отмеченные точки проведем горизонтальные прямые, параллельные основанию карти­ны. Они определят перспективу квадратных плит, расположенных в плос­кости пола.

Поскольку предметную плоскость можно поворачивать и совмещать с картиной как вверх, так и вниз, то можно задать форму и размеры паркета в совмещенной плоскости внизу листа (рис. 155). Паркет может иметь бо­лее сложный рисунок, который хорошо вписывается в квадрат.

На картине (рис. 156) задана вертикальная сторона АВ квадрата. Тре­буется построить квадрат, который расположен перпендикулярно картин­ной и предметной плоскости.

Направлением сторон прямого угла при вершинах А и Б будут глубин­ные прямые АР и ВР. Чтобы отложить на них стороны квадрата, приведем АВ в горизонтальное положение АВ₁ и перенесем его величину при помощи дистанционной точки на глубинную прямую АР. Точка С определит конец стороны СЕ квадрата.

На картине (рис. 157) сторона АВ квадрата вертикальная. Требуется построить квадрат, расположенный перпендикулярно к предметной плос­кости и под произвольным углом к картине.

Рис.155

Стороны квадрата, перпендикулярные к АВ, лежат на прямых, предель­ной точкой которых может быть любая точка линии горизонта, например А^. Величину стороныЛС квадрата определим при помощи масштабной точ­ки М„. Затем через точку С проведем вертикальную сторону СЕ квадрата.

Эти приемы построения квадрата можно использовать при изображе­нии треугольников в вертикальных плоскостях (рис. 158). Оба квадрата имеют одну и ту же предельную и масштабную точки. При сравнении они производят разное визуальное впечатление, хотя имеют одинаковые гео­метрические параметры.

 

Рис. 156 Рис.157

 

N.	Г"--—£
			p 1				'----- ^D~
	*-. -; • • V.?»- • •*«i j^			■*-"■%	Cy>	—^—-^
'	A

Рис. 158

На картине (рис. 159) сторона АВ квадрата лежит в предметной плос­кости. Ее предельной точкой является дистанционная точка D₂. Требуется построить квадрат, лежащий в предметной плоскости.

Стороны прямых углов при вершинах А и В лежат на прямых с точкой схода D_x Чтобы определить положение четвертой стороны квадрата, най­дем вершину С. Она лежит на диагонали квадрата с предельной точкой Р.

На картине (рис. 160) задана большая сторона АВ прямоугольника с предельной точкой D₂. Требуется построить прямоугольник, лежащий в предметной плоскости.

 

А	щ...---------------------------------- ■■_■■ щ...................................................... -=Z. р	А.	D.
^	^	&>	^

Рис. 159

Рис. 160

 

7 Э-298

 

Рис. 161

Построение прямоугольника аналогично построению квадрата. Здесь предельной точкой диагонали квадрата будет любая точка А„ на линии го­ризонта и справа от главной точки Р.

Этим построением можно воспользоваться при построении паркета, выложенного прямоугольными плитами или елочкой. Форма и размеры паркета заданы в совмещенной плоскости внизу листа (рис. 161).

При построении перспективы паркета форма плитки может быть раз­ной, но принцип построения одинаковый (рис. 162), даже если паркет име­ет форму правильного шестиугольника, который необходимо изобразить с учетом перспективных сокращений.

При построении шестиугольника, лежащего в предметной плоскости и параллельного одной стороной основанию картины, угол при совмещенной точке зрения S_k образуется прямыми параллельными сторонам этого шес­тиугольника и составляет 60° (рис. 163).

Однако, в перспективе часто приходится изображать треугольники, которые расположены в предметной плоскости с произвольно расположен­ными сторонами. В этом случае целесообразней применять способ совме­щения.

Рис. 162

 

 

 

 

		i	5,
/ fJ	\ p \p2
	%?	iff^ii
		Щ
	\ •"."	h"'TAw

Рис. 163

Рис. 164

Построим треугольник ABC, натуральная величина которого задана в совмещенной плоскости (рис. 164). Проведем несовмещенной точки зрения прямые параллельные сторонам треугольника АВ и ВС, S_kF_l \\AB и S^ || ВС, и получим точки схода i*\ и F₂. Для построения перспективного изображе­ния треугольника продолжим стороны АВ и ВС до пересечения с основани­ем картины в точках а₀ и с₀. Соединим полученные точки с точками схода. Из совмещеннойточки зрения S_k проведем лучи зрения_в каждую вершину треугольника ABC. При пересечении прямых a₀F₂ ^c &iA получим вершину А перспективного изображения треугольника. Аналогично получим все остальные вершины.

►

Построение плоских фигур может осуществляться разными способами, из которых выбирают самый оптимальный, требующий меньше построе­ний и дающий больше наглядности.

4. Перспектива окружности

В перспективе изображение окружности может иметь различное начер­тание. Это зависит от того, как расположена плоскость окружности отно­сительно картины и точки зрения.

В частном случае, когда окружность расположена в плоскости, парал­лельной картине, и ее геометрический центр совпадает с точкой Р, перс­пективой будет окружность. Другой частный случай перспективы окруж­ности — прямолинейный отрезок — окружность лежит в плоскости гори­зонта и на картине совпадает с линией горизонта (рис. 165).

Чаще всего перспективой окружности является лекальная кривая — эллипс. В зависимости от высоты горизонта меняется и форма перспекти­вы окружности. Построение перспективы окружности можно выполнить с помощью перспективы квадрата, в который вписывают данную окруж­ность.

Начертим в совмещенной предметной плоскости окружность. Впишем ее в квадрат (рис. 166). В квадрате проведем диаметры и диагонали. Ок­ружность имеет с квадратом четыре общих точки касания на перпендику­лярах, проходящих через середины сторон, т. е. 2, 4,6, 8 vl четыре точки пересечения диагоналей с окружностью 1,3,5, 7.

Рис. 165 101

Для построение перспективы окружности начертим линию горизонта Л, определим положение точек Р vl D. Построим перспективу квадрата АВСЕ, у которого сторона АВ лежит на основании картины. Точки А и В соединим с точкой Р. Проведем диагональ квадрата АС, которая должна быть направлена в дистанционную точку D. Вершина С определится на пе­ресечении прямых ВР и AD. Проведем вторую диагональ в перспективе