Докажем теорему для неопределённостей вида 
.
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен 
. Тогда, при стремлении 
к 
справа, это отношение можно записать как 
, где 
— O(1). Запишем это условие:
.
Зафиксируем 
из отрезка 
и применим теорему Коши ко всем из отрезка 
:
, что можно привести к следующему виду:
.
Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как 
и 
— константы, а 
и 
стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 
, где 
— бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение 
, что и в определении для :
.
Получили, что отношение функций представимо в виде 
, и 
. По любому данному можно найти такое 
, чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .
Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
.
В определении будем брать 
; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда 
.
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
· 
· 
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае 
). В этом примере получается:
· 
;
· 
при 
.
Исследование функции и построение ее графика
При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:
1. Область определения 
и область допустимых значений 
функции.
2. Четность, нечетность функции.
3. Точки пересечения с осями.
4. Асимптоты функции.
5. Экстремумы и интервалы монотонности.
6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
7. Сводная таблица.
Задание. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение. 1) Область определения функции.
2) Четность, нечетность.
Функция общего вида.
3) Точки пересечения с осями.
а) с осью 
:
то есть точки 
б) с осью 
: в данной точке функция неопределенна.
4) Асимптоты.
а) вертикальные: прямые 
и 
- вертикальные асимптоты.
б) горизонтальные асимптоты:
то есть прямая 
- горизонтальная асимптота.
в) наклонные асимптоты 
:
Таким образом, наклонных асимптот нет.
5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.
Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: 
для любого 
из области определения функции; 
не существует при 
и 
.
Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.
6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: 
; при и вторая производная не существует.
Таким образом, на промежутках 
и 
функция вогнута, а на промежутках 
и 
- выпукла. Так как при переходе через точку 
вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.
7) Эскиз графика.
17. Использование производной для исследования свойств функции и построения ее графика.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция f (x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
| П р и м е р. | Функция y = | x | (рис.3) всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0, так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. (Подумайте, почему?) |
План исследования функции. Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения и область значений функции,
2) установить, является ли функция чётной или нечётной,
3) определить, является ли функция периодической или нет,
4) найти нули функции и её значения при x = 0,
5) найти интервалы знакопостоянства,
6) найти интервалы монотонности,
7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,
8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек
и при больших значениях модуля x.
18. Определение и свойства неопределённого интеграла.
