Функция 
называется непрерывной в точке 
если:
1. функция определена в точке a и ее окрестности
2. существует конечный предел функции f(x) в точке а.
3. это предел равен значению функции в точке а,т.е 
.
При нахождении предела функции y=f(x) которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть.
Билет 8 Классификация точек разрыва функции.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше), то функция называется непрерывной справа
Если односторонний предел (см. выше) 
, то функция называется непрерывной слева. 
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значение, то она принимает и любое значение между ними.
Формулировка
Пусть дана непрерывная функция на отрезке 
Пусть также 
и без ограничения общности предположим, что 
Тогда для любого 
существует 
такое, что 
Определение производной.
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
11.
Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.
Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.
Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
· Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, и дифференцируема в ней: 
. Касательной прямой к графику функции 
в точке 
называется график линейной функции, задаваемой уравнением
.
· Если функция имеет в точке бесконечную производную 
то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку 
. Угол 
между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению
где 
обозначает тангенс, а 
— коэффициент наклона касательной. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции 
в этой точке.
Пусть 
и 
Тогда прямая линия, проходящая через точки и 
задаётся уравнением
Эта прямая проходит через точку для любого 
и её угол наклона 
удовлетворяет уравнению
В силу существования производной функции в точке 
переходя к пределу при 
получаем, что существует предел
а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол
Прямая, проходящая через точку и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий 
задаётся уравнением касательной:
Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.
1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания.
