Системы эконометрических уравнений

При использовании отдельных уравнений регрессии предполагается, что можно изменять факторы независимо друг от друга. На самом деле изменение одной переменной ведёт к изменению во всей системе взаимосвязанных признаков, поэтому отдельно взятое уравнение множ. регрессии не показывает истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Поэтому в экон. исследованиях используют системы т.н. одновременных уравнений (структурных уравнений). Система уравнений может быть построена по-разному.:

1. Системанезависимыхуравнений – когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов. Уравнение 1

Набор факторов в каждом уравнении может варьироваться. Каждое уравнение этой системы может быть рассмотрено самостоятельно. Каждое уравнение – обычное уравнение множ. регрессии. Параметры этих уравнений могут быть найдены с помощью МНК.

2. Если зависимая переменная у выступает в виде фактора х в другом уравнении, то строят модель в виде системырекурсивныхуравнений. Уравнение 2

В этой системе каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и параметры этих уравнений находятся МНК.

3. Система взаимозависимых переменных. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнений входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть. Уравнение 3

Эта система получила название системы совместных одновременных уравнений. Также такую модель называют структурной формой модели. В отличие от двух предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный НМК неприменим.

 

Структурная и приведенная формы модели

Система совместных одновременных уравнений или структурная форма модели (СФМ) содержит эндогенные и предопределенные переменные. Эндогенныепеременные – это зависимые переменные, число которых обычно равно числу уравнений в системе. В этой системе m эндогенных переменных. Предопределенныепеременные влияют на эндогенные, но не зависят от них. Предопределенные переменные делятся на 2 вида – экзогенные (определены вне системы) и лаговые – эндогенные переменные за предшествующий период времени.

y_t=d₁y_t-1+ax₁ (у_t-1 – лаговая переменная)

Структурная форма модели позволяет определить влияние изменений любой предопределенной переменной на значение эндогенных переменных.

Таким образом, в качестве предопределенных переменных целесообразно выбирать переменные, которые могут быть объектом регулирования, управляя ими можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных. СФМ в правой части содержит коэффициенты, которые называются структурными коэффициентами модели (a&b). Использование НМК для оценивания структурных коэффициентов модели даёт смещённые и несостоятельные оценки. Поэтому для определения структурных коэффициентов СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ). ПФМ представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных СФМ.

Запишем систему ПФМ для структурной формы модели *

Приведенная форма модели: уравнение 4

Найти коэф-ты ПФМ мы можем, применив МНК.

Коэф-ты приведенной формы представляют собой нелинейные функции коэф-в СФМ. Рассмотрим это положение.

Для структурной модели вида ур5

Для это СФМ ПФМ будет иметь следующий вид: уравнение6.

Из первого уравнения СФМ выразим у₂:

Ур7

Подставим во 2ое уравнение СФМ:

Ур8

Таким образом, коэф-ты ПФМ будут выражаться через коэф-ты СФМ следующим образом:

Ур9

В отличие от СФМ в ПФМ отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

 

Проблема идентификации

Эта проблема возникает при переходе от СФМ к ПФМ и наоборот.

Идентификация – единственность соответствия между ПФМ и СФМ. СФМ содержит m(m+n-1) параметров. А ПФМ содержит mn параметров.

Таким образом, в полном виде СФМ содержит большее число параметров, чем ПФМ. Поэтому параметры СФМ не могут быть однозначно определены из параметров ПФМ. Чтобы получить единственно возможное решение для СФМ необходимо предположить, что некоторые из структурных коэф-в модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части равны 0. Тем самым уменьшится число структурных коэф-в модели.

С позиции идентифицируемости СФМ делятся на 3 вида:

1. Точно идентифицируемые;

2. Неидентифицируемые;

3. Сверхидентифицируемые.

Модель точно идентифицируема, если все её структурные коэф-ты определяются единственным образом по коэф-м ПФМ.

Модель неидентифицируема, если число приведенныхкоэф-в меньше числа структурных коэф-в.

Модель сверх идентифицируема, если число приведенныхкоэф-в больше числа структурных коэф-в. В этом случае на основе коэф-в ПФМ можно получить 2 и более значения для одного структурного коэф-та.

Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой практически решаема. Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждую из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой точно, если каждое уравнение точно идентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение системы неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. Если сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение, то и вся модель считается Сверхидентифицируемой.

 

Для того, чтобы определить каким методом мы будем искать параметры каждого уравнения системы, мы должны каждое уравнение проверить на идентификацию. Чтобы уравнение идентифицируемо, необходимо выполнение 2х условий:

1. Счетное правило – является необходимым условием идентификации.

Уравнение идентифицируемо, если число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Обозначим Н – число эндогенных переменных в рассматриваемом уравнении системы. D – предопределенные переменные, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение.

D+1=H, уравнение точно идентифицировано

D+1<H, уравнение неидентифицируемо

D+1>H, уравнение сверхидентифицируемо.

2. Достаточное условие идентификации. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и предопределенным) можно из коэф-в при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен 0, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

В эконометрических моделях наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэф-ты при которых равны .

у₁=х₁+у₂-х₂

В этом случае (хотя само тождество не требует проверки на идентификацию, ибо все коэф-ты известны), но оно участвует в проверке на идентификацию остальных структурных уравнений систем.

Пример.