Метод последовательных разностей, метод отклонений уровня ряда от основной тенденции, метод включения фактора времени

Метод отклонений от тренда:

Имеются 2 временных ряда х1 и у1, каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту Ɛ. Аналитическое выравнивание каждого из этих рядов позволяет найти параметры соответсвующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни и соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденций можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда - и - при условии, что последние не содержат тенденции.

Временные ряды отклонений от трендов можно использовать для получения количественной характеристики тесноты связи исходных временных рядов расходов на конечное потребление и общего дохода (например). Содержательная интерпретация параметров этой модели затруднительна, однако ее можно использовать для прогнозирования. Для этого необходимо определить трендовое значение факторного признака и с помощью одного из методов оценить величину предполагаемого отклонения фактического значения от трендового. Далее по уравнению тренда для результативного признака определяют трендовое значение , а по уравнению регрессии по отклонениям от трендов находят величину отклонения - . Затем рассчитывают точечный прогноз фактического значения по формуле: = + ( - ).

Метод последовательных разностей:

В ряде случаев вместо аналитического выравнивания временного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод – метод последовательных разностей. Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями).

Пусть = + , (1) где - случайная ошибка. = a + b * t. (2) Тогда = - = a + b*t + - (a + b*(t – 1) + ) = b + ( - ). (3)

Коэфф-нт b - константа, которая не зависит от времен. При наличии сильной линейной тенденции остатки достаточно малы в соответствии с предпосылками МНК носят случайный характер. Поэтому первые разности уровней ряда не зависят от переменной времени, их можно использовать для дальнейшего анализа.

Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности. Пусть имеет место соотношение (1), однако

= a + * t + * (4). Тогда = - = a + *t + * + - (a - * (t - 1) + * + ) = - + 2* *t + ( - ). (5)

Как показывает это соотношение, первые разности непосредственно зависят от фактора времени t и, следовательно, содержат тенденцию. Определим вторые разности:

2 = - = - + 2* *t + ( - ) –( - + 2* *(t – 1) + ( - )) = 2* + ( - 2* + ) (6).

Очевидно, что вторые разности не содержат тенденции, поэтому при наличии в исходных уровнях тренда в форме параболы второго порядка их можно использовать для дальнейшего анализа. Если тенденции временного ряда соответствуют экспоненциальный, или степенной, тренд, метод последовательных разностей следует применить не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.

Включение в модель регрессии фактора времени:

В корреляционно-регрессионном анализе можно устранить воздействие какого-либо фактора, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Данный прием широко применяется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной. Модель вида = a + * + *t + (7) относится к группе моделей, включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой и результативной переменных.

Преимущество данной модели перед методами отклонений от трендов и последовательных разностей состоит в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения и - это уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры a и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК.