1. - , , U ( ' U \ ):
1) È( È )=( È )È , 1') Ç( Ç )=( Ç )Ç ,
2) È = È , 2') Ç = Ç ,
3) È( Ç )=( È )Ç( È ), 3') Ç( È )=( Ç )È( Ç ),
4) ÈÆ= , 4') Ç U = ,
5) È '= U, 5') Ç '=Æ.
, , = = . 3. ,
È( Ç )Í( È )Ç( È ). (*)
Î È( Ç ). , ᒺ , Î Î Ç . : Î Î Ç . , Î( È )Ç( È ), (*) . , : Î . ᒺ , ᒺ , È Y, Y . , Î : Î È Î È . , Î( È )Ç( È ). : Î Ç . Ç , Î Î . Î È Î È . , Î( È )Ç( È )., (*) .
,
( È )Ç( È )Í È( Ç ) (**)
Î( È )Ç( È ). : Î( È ) Î( È ). ᒺ , : Î Î , Î Î . , : ) Î , ) Î Î , ) Î Î , ) Î Î . ), ) ), Î , , ᒺ , , Î È( Ç ). ) , Î Ç , Î È( Ç ). , ), ), ), ) , Î È( Ç ), , (**) 3.
.
1 1' , , ᒺ , 2 2' , 3 3' .
|
|
³ ( 1), , ᒺ , , , . È È . , . , , , 1, 2,, n, , . , 1, 2,, n, 1È 2ÈÈ n. ³ . : 1',2',, n ' 1,2,, n, ,
1È 2ÈÈ n = 1'È 2'ÈÈ n ',
1Ç 2ÇÇ n = 1'Ç 2'ÇÇ n '.
:
È( 1Ç 2ÇÇ n)=( È 1)Ç( È 2)ÇÇ( È n),
Ç( 1È 2ÈÈ n)=( Ç 1)È( Ç 2)ÈÈ( Ç n).
, 1 , - È Ç, Æ U. ( ), ( ) È Ç, Ç È, Æ U U Æ, () ( ).
, Q , È, Ç ', 1-5 1'-5', Q . ij, , () , , , . 1-5, 1'-5' . (), , () ( ). , 1-5, 1'-5', , , , Q, , , , . , Q, .
2. - U ( ' U \ ):
6) È = , 6') Ç = ,
=Æ, = U,
7) È = U Ç =Æ, = ',
8) ( ')'= ,
9) Æ'= U, 9') U '=Æ,
|
|
10) È = , 10') A Ç A = A,
11) A È U = U, 11') A ÇÆ=Æ,
12) A È(A Ç B)= A, 12') A Ç(A È B)= A,
13) (A È B)'= A 'Ç B ', 13') (A Ç B)'= A 'È B '.
2 , 1.
2 . , 10 10' , 12 12' , 13 13' .
3.
) Í ,
) Ç = ,
) È =
.
(, R 1, R 2,, Rk , - i j, i =1,, k, j =1,, k, Ri Rj, Ri Rj, Rj Ri.)
. , ) ), ) ), ) ). , ) ). Í . , , Ç Í Í Ç . - Ç Í , , Í Ç . Î , Î , , Î Ç . , Í Ç .
, ) ). Ç = . ϳ Ç È , (2), (3), (10), (2'), (12'), :
È =( Ç )È = È( Ç )=( È )Ç( È )=( È )Ç = Ç( È )= .
, ) ). È = . Í È , È = Í .
1-13 1'-13' , . .
. ( Ç ')'È = 'È( ')'È = 'È È = 'È .
: (13'), 8, (10). .
. ( Ç Ç )È( 'Ç Ç )È 'È '=(( È ')Ç Ç )È 'È '=
=(U Ç Ç )È( Ç )'=( Ç )È( Ç )'= U.
: (3') ( ( Ç Ç )È( 'Ç Ç )), 5, 4' 5. .
. ( Ç Ç Ç D ')È(A 'Ç C)È(B 'Ç C)È(C Ç D)= (A Ç B Ç C Ç D ')È((A 'È B 'È D)Ç C)=((A Ç B Ç D ')È(A Ç B Ç D ')')Ç C = C.
( (A 'Ç C)È(B 'Ç C)È(C Ç D)), () 8, 5 4'. , - .
: Æ . , : Î , { }Í X. , - P() ( ()), P()={ Y | Y Í X }. , , ={ , b, }, P()={ ,{ , b },{ a, c },{ b, c },{ a },{ b },{ c },Æ}.
4. n . P() 2 n .
|
|
. ={ 1,, n }. Y . lY = l 1 ln n , li =1, i Î Y, li =0, xi Ï Y, i Î{1,, n }. , n =5, Y ={ x 2, x 4, x 5} { 1, 2, 3, 4, 5} lY =01011. , l 1 ln n Y n- : li =1, i Î Y, li =0, xi Ï Y. , lY =00110, Y ={ x 3, x 4}. , n- , n . 2 n, P() 2 n.
1,, k, - , = 1ÈÈ k È.
, 1={2,4}, 2={2,3,5}, 3= X 4={1,2,4} ={1,2,3,4,5}, 1Í , 2Í , 3Í , 4Í , = 1È 2È 3È 4. Y 1={1,2}, Y 2={2,4}, Y 3={2,3}, Y 4={1,2,3} ( ), ≠ Y 1È Y 2È Y 3È Y 4. Z 1={1,2,5,6}, Z 2={2,3,5}, Z 3={1,4} , (Z 1Ë ).
, .
, {{1}, {2,3}, {4,6}, {5}} ={1,2,3,4,5,6}. {{1,4}, {2,3}, {4,6}, {1,5}} , , , {1,4} {4,6} . {{1,4}, {2}, {6}, {3}} , {1,4}, {2}, {6}, {3} .
. :
1) { x | x =2 y +1, y Î N }, 2) { x | x =2 y -1, y Î N },
3) { x | 10< x <100, x =5 y, y Î N }, 4) { x | x =2 y, y Î N },
5) { x | x = y 2, y Î N, 1£ y £10}, 6) { x | x = y 2, y Î N },
7) {(x, y, z)| x, y, z Î R, x 2+ y 2+ z 2>1}, 8) { x | 10 y +9, y Î N },
9) { x | x =2 y -1, y Î N, 1£ y £100}, 10) { x | x =2 y +1, y Î N, 1£ y £10},
11) {(x, y, z)| x, y, z Î R, x 2+ y 2+ z 2=1}, 12) { x | 1£ x £100, x Î N },
13) { x | x =3 y x =5 z, y, z Î N }, 14) { x | x =100 y +7, y Î N, y ¹0},
15) { x | x =11 y x =7 z, y, z Î N }, 16) { x | x =3 y +1, y Î N, 1£ y £35},
17) {(x, y)| a £ x £ b, a £ y £ b, a, b Î R }, 18) {(x, y)| x 2+ y 2>1, x, y Î R },
19) { x | x =100 y, x <1000, y Î N }, 20) { x | x = y 2, y Î N, y £3},
21) {(x, y, z)| x, y, z Î R, x 2+ y 2+ z 2<1}, 22) { x | x =5 y, y Î N },
23) { x | x Î Z, x >5 x <0}, 24) { x | x Î Z, x ¹3 k, k Î N },
25) { x | x Î N, x 2 x 5}.
. B .
1) A ={2,4,6}, B ={ x | x =2 y +1, y Î A }.
2) A ={1,2,3}, B ={ x | x = z 3+1, z Î A }.
3) A ={1,2,3,4}, B ={ x | x =2 y +3 z, y, z Î A }.
4) A ={0,1,2}, B ={ x | x = y - z, y, z ÎA}.
5) A ={4,8,9,15,16}, B ={ x | x = y 2 + z - y, z, y, y 2 Î A }.
6) A ={2,3,4}, ={ y | y = x 2+ z, x, z Î }.
|
|
7) A ={0,1,2}, B ={ x | x = y +2 z, y, z Î A }.
8) A ={0,2,3}, B ={ x | x =2(y - z), y, z Î A }.
9) A ={0,1,4,5,9,10}, B ={ x | x = y 2+3 z +3, y 2, z Î A }.
10) A ={1,2,3,4}, B ={ x | x =2 y +3 z +1, y, z ÎA}.
11) A ={2,4,6}, B ={ x | x =3 y - z +2, y, z Î A }.
12) A ={1,2,3}, B ={ x | x = y 2+ z 2, y, z Î A }.
13) A ={1,2,3}, B ={ x | x =2 y + z -2, y, z Î A }.
14) A ={1,4,7}, B ={ x | x =5 y - z +2, y, z Î A }.
15) A ={0,1,2,3}, B ={ x | x =2 y +5 z -1, y, z Î A }.
16) A ={-1,1,-2,2,}, B ={ x | x = y 2+5 z +1, y, z Î A }.
17) A ={1,3,5,7}, B ={ x | x =2 y +3 z, y, z Î A }.
18) A ={-3,0,1,2}, B ={ x | x = y - z, y, z Î A }.
19) A ={4,8,9,15,16}, B ={ x | x = y 2+ z + y, z, y, y 2 Î A }.
20) ={2,3,5,7}, B ={ x | x = z 2+ y -4, z =- y +3, y ÎA}.
. , , . ³ .
1) ÆÍ{ a, b, c }, 2) ÆÎ{ a, b, c }, 3) { a }Î{ a, b, c },
4) { a, c }Í{ a, b, c }, 5) {1,2}Î{1,2,3}, 6) 0ÎÆ,
7) Æ={0}, 8) {{Æ}}Î{{{Æ}}}, 9) ÆÍ{0},
10) {Æ}Í{2,3,1}, 11) a Î{ b, a, c }, 12) {{ b }}Í{ a, b, c },
13) a Î{ a 1, a 2, a 3}, 14) {{ }}Î{ , , z }, 15) { a }Î{ b, d, ac },
16) { d, b }Í{ b, d, ac }, 17) ÆÎ{{Æ},1,2}, 18) 1Î{{1,2},0},
19) { a,Æ}Í{ a, b, c }, 20) {{0,1}}Í{0,1,2}.
V. , :
1) {{ x },{ y },{ z }} { x, y, z }, 2) { a, b } {{ a, b }},
3) {1,2,3} {{1,2},{1,3},{1,2,3}}, 4) { b, c, d } { d,{ b, c }},
5) { x, y, z } {{ x, y, z }}, 6) { a, b,{ a, b }} { x, y,{ x, y }},
7) { a, c, e, f } { a, b, e, f }, 8) { a, , , } {a,b,g,d},
9) {{ a, b },{ b, c, d }} {{ a, c },{ b, d, a }}, 10) { x, y, z } { , , },
11) {1,{2,Æ},{3}} {1,{2},{3},Æ}, 12) { a, b,{ a, b }} { x, y,{ x, y }},
13) { a, b, c } {{ a, b },{ a, c },{ b, c }}, 14) {{ a, b }, a,{ a, c }} { a, b, c },
15) {{1,3},3,4} {{3,4},1,3}, 16) {1,2,{ Æ}} {1,2},
17) {{ a, b },{ b, c, d }} {{ a, c },{ b, d, a }}, 18) { a, c, e, f } { a, b, e, f }.
V. .
1) { x | x Î Z, x =6 y y }={ x | x Î Z, x =2 u x =3 v u v }.
2) { x | x Î R, x = y 2 y }={ x | x Î R, x ≥0}.
3) { x | x Î Z, x =6 y y }Í{ x | x Î Z, x =2 y y }.
VI. , , , .
1) Í , Ì Þ Ì , 2) Ì , Í Þ Ì, 3) Ì , Ì Þ Ì .
VII. - , , ?
1) A ¹ B B ¹ C Þ A ¹ C, 2) A Í B, B Î C Þ A Î C,
3) A Î B, B Î C Þ A Î C, 4) A Ï B, B Ï C Þ A ÏC,
5) A Ï B, B Ë C Þ A Ï C, 6) A Í B, B Î C Þ A Ï C.
VIII. , .
IX. :
1) 4 {*,?,!}, ?
2) 6 { a, b, c }?
3) 2 {Æ,{Æ}}, ? ³- .
X. 1, 2,, n . , 1Í 2ÍÍ n Í 1 Û 1= 2== n.
X. U, A, B, C.
1) (A È B)Ç(A \ B), (B \ A)È A, A D(A Ç B); A ={1,2,3,4}, B ={ c, d }.
2) A Ç(B \ A), (A Ç B)D(B È A); A ={3,4,5}, B ={5,6,7,8}.
3) (B È C)\ A, (A Ç B)D C, (C \ B)È A; A ={1,2,3,4,5}, B ={2,3,4}, C ={1,3,5}.
4) ( Ç )\ , ( È )Ç , ( \ )Ç( È ); ={ a, b, c, d }, ={ b, c, f }, ={ a, c, e, f }.
5) A È B, A Ç B, A D B, A \ B, B \ A; A ={,¯,,}, B ={,:,¯,?}.
6) ( È )Ç( D ), D( È ), ( D )\ ; ={1,2,3}, ={5,6,7}.
7) A È B, A Ç B, A \ B, B \ A; A ={1,2,3}, B ={ x: x =2 y + z, y, z Î A }.
8) A Ç A 1, A \ A 1, A È A 1, A D A 1; ={ x: x , 10}, A 1={10,20,30,40,50}.
9) A È B, A Ç B, A \ B, B \ A; A ={1,2,4}, B ={ x: x =2 y - z, y, z Î A }.
|
|
10) A ={ a, b, c, d }. B, C, D A, B D C = D, B \ D, (C Ç D)È B, (C \ B)Ç D.
11) (A \ B)¢ÈC, (A Ç C)D(B \ A)¢, (A Ç C ¢)È(C \ B ¢); U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3,5}, B ={2,3,4}, C ={1,2,5}.
12) A ¢, B ¢, C ¢, (A È B È C)¢, (A Ç B Ç C)¢; U ={ a, b, c, d,1,2,3,4}, A ={ a, b }, B ={ c, d }, C ={1,2,3,4}.
13) A È B, (B Ç C)\ A, (A È C)¢È B; U ={ a, b, c, d, e, f }, A ={ a, b, c }, B ={ c, d, f, e }, C ={ a, d, f }.
14) (A È B)Ç C, (A D C)\ B, (A Ç C)¢È(B \ A); U ={ a, b, c, d }, A ={ a, b }, B ={ b, c }, C ={ a, c, d }.
15) (A Ç B)\ C ¢, (A D B)¢È B, (C \ B)¢Ç(A \ C); U ={ a, b, c, d, e, f }, A ={ b, c, d }, B ={ b, a, f, e }, C ={ c, d, e }.
16) (A \ B)È C, (A È B)¢Ç C, A ¢D C ¢; U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3,5}, B ={2,4}, C ={2,3}.
17) A Ç B ¢, A ¢È C, (B Ç C)\ A, A D(B \ C)¢; U ={ a, b, c, d, e }, A ={ a, b, c }, B ={ c, d, e }, C ={ a, c, e }.
18) A È(B Ç C ¢), B \(A D C ¢), (A Ç B)¢È(A ¢È B ¢); U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3}, B ={1,2,4}, C ={2,5}.
19) ((A \ B)È C)¢, (A D B ¢)Ç C, (A È(B D C))¢. U ={1,2,3,4,5,6}, A ={1,2,5}, B ={2,4,5}, C ={2,3,4,6}.
20) \(B Ç )¢, (A ¢D B)È C ¢, (A È B ¢)D C; U ={1,2,3,4,5,6,9}, A ={1,3,4,5}, B ={2,4,6}, C ={2,5,9}.
X. Z
={ | Î Z, =2 y y },
={ | Î Z, =2 y -1 y },
={ | Î Z, <10}.
', ( È )', \ ', \( È ).
X. Z +:
A ={ x | x Î Z +, x =2 y y },
B ={ x | x Î Z +, x =2 y +1 y },
C ={ x | x Î Z +, x =3 y y }.
Ç , È , \.
XV. ( ):
ÇÆ, ÈÆ, \Æ, \ , Æ\ , ÆÇ{Æ}, {Æ}Ç{Æ}, {Æ,{Æ}}\Æ, {Æ,{Æ}}\{Æ}, {Æ,{Æ}}\{{Æ}}.
XV. , :
) , U, Ç Í ' È Í , Ç =Æ;
) , U, Í( È )' Í( È )', =Æ.
XVI. .
1) A D B =Æ. A Ç B A \ B?
2) A Ç B =Æ. A \ B B \ A?
3) A Í B ¢. A D B B \ A?
4) A Ç B ¢=Æ. A Ç B A È B?
5) A Í C ¢, B Í A. B \ C C \(A È B)?
6) A È B = A. A Ç B B \ A?
7) A \ B =Æ. , A Ç B, A È B, A Ç B ¢,(A Ç B ¢)¢ A ¢È B?
8) A Í B. A D B, B D A, (A \ B)Ç(A È B)?
XVI. X, Y, Z A ={ a, b, c, d }, ? ³ .
1) (X \ Y)¢\(Z \ Y)¹Æ, 2) (X È Y)\(X Ç Z)=Æ,
3) (X \ Z)Ç(Y \ Z)¹Æ, 4) (X \ Y)È Z ¢=Æ,
5) (X È Y È Z)¢\(X Ç Y Ç Z)¢=Æ, 6) Ç Y =Æ, \( \ Y)¹Æ,
7) (X D Y)\ Z =Æ, X ¹Æ, Y ¹Æ, Z ¹Æ, 8) X D Y = Z, X È Y = Z,
9) X \ Y = Z, Z Ç Y =Æ, 10) (X È Y)\ Z = Z ¢.
XVIII. A, B, C, ? ³ .
1) A È B È C = U, A ¢= B È C C ¢= A È B, 2) A Í B Í A A ¹ B,
3) (C Ç A)È(A Ç B)=Æ, A Ç(B È C)¹Æ, 4) A Í B A Ç C Í B Ç C,
5) A Ç B Í C ¢, A È C Í B, A Ç C =Æ, 6) Í , Î , Î ,
7) A Í(B È C)¢, B Í (A È C)¢ B ¹Æ, 8) A Í B (C \ B)Í(C \ A),
9) A \ C =Æ, B \ C =Æ, (A È B)\ C ¹Æ, 10) A D B = C B D C = A,
11) A È(B È C)=Æ, a (A È B)È C ¹Æ, 12) = ¢ Ç ¹Æ,
13) A Ç B ¹Æ, A Ç C =Æ, (A Ç B)\ C =Æ, 14) (A \ B)\ C =Æ, a A \(B \ C)¹Æ,
15) A Ç B ¹Æ, B Ç C =Æ, A Ç C ¹Æ, 16) Ë D =Æ,
17) A È B È C = U, A ¢= B È C C ¢= A È B, 18) Í , ≠ , Í ,
19) A Ç B =Æ, A Ç C ¹Æ, (A Ç C)\ B =Æ, 20) Ç =Æ, \ =Æ, Í ,
21) A Ç B =Æ, A \ C ¹Æ, (A D C)Ç B ¹Æ, 22) D Í , Ç Í D .
XX. 1.
XX. 2, . , 1. , .
XX. , - , ,
1) A Í B Þ A È C Í B È C, 2) A Í B Þ (A \ C)Í(B \ C),
3) A Í B Þ (C \ B)Í(C \ A), 4) A Í B Û (B \ A)È A = B,
5) A È B = A Ç B Þ A = B, 6) A Í B È C Þ A \ B Í C,
7) È =ÆÛ =Æ =Æ, 8) A Ç B =Æ Þ A D B Í A È B,
9) C Í B Þ B ¢\ A Í C ¢\ A, 10) A Ç B Í C Û A Í B ¢È C,
11) A Ç B Í C ¢ A È C Í B Þ A Ç C =Æ, 12) A D B =Æ Û A = B,
13) A \ B =Æ Þ A \ B ¢= A, 14) A Í B È C Û A Ç B ¢Í C,
15) (A \ B)È B = A Û A ¢Í B ¢, 16) A D B = C Û B D C = A,
17) (A È B)D(C È D) Í (A D C)È(B D D), 18) A Í B Þ A ¢Ç B ¢= B ¢,
19) A Ç B =Æ Þ A È B = A D B, 20) B Í A Û (A \ B)È B = A,
21) (A Ç B)È C = A Ç(B È C) Û C Í A, 22) A Ç B = A Þ A ¢È B = U,
23) A = B ¢ Û A Ç B =Æ A È B = U, 24) A \ B =Æ Û A ¢È B = U,
25) A Ç C ¢Í B Þ A Í C È B, 26) A Í B ¢ Þ (A \ C)Í(B ¢\ C),
27) A = B Þ A \ B =Æ, 28) A = B Þ A È B ¢= U,
29) A È B = B Û A ¢È B = U, 30) A Ç B = A Û A \ B =Æ.
XX. È È = U, , , . , ¢= È , ¢= È , ¢= È .
XXIII. :
1) (A Ç B)¢=(A Ç B ¢)È(A ¢Ç B)È(A ¢Ç B ¢), 2) A Ç B = A \(A \ B),
3) (A È B)\ C =(A \ C)È(B \ C), 4) A D B = B D A,
5) (A Ç B)\ C =(A Ç B)\(A Ç C), 6) (A È B ¢)Ç(A È B)= A,
7) (A Ç B)È(A Ç B ¢)=(A È B)Ç(A È B ¢), 8) (A È B)Ç A = A,
9) A \(B \ C ¢)=(A \ B)È(A \ C), 10) (A È B)È(A ¢Ç B ¢)= U,
11) A \(B Ç C ¢) = (A \ B)È(A \C¢), 12) A D U = A ¢,
13) A Ç(B \ C)=(A Ç B)\(A \ C ¢), 14) A Ç(B \ C)=(A Ç B)\ C,
15) A \(B È C)=(A \ C)\(B \ C), 16) A Ç(B \ A)= Æ,
17) (A ¢È B)Ç A = A Ç B, 18) (A Ç B)È(A Ç B ¢)= A,
19) (A È B)Ç(A ¢Ç B ¢)=Æ, 20) A \ B =(A È B)D B,
21) A \(B Ç C)=(A \ B)È(A \ C), 22) (A ¢È B)Ç A = A Ç B,
23) A È B =(A D B)D(A Ç B), 24) A È(B \ A)= A È B,
25) A È B =(A D B)È(A Ç B), 26) A Ç(B \ C)= Ç( \ C),
27) A \ B =(A È B ¢)D(A D B ¢), 28) (A Ç B)È A = A,
29) A Ç(B D C)=(A Ç B)D(A Ç C), 30) A \ B = A D(A Ç B),
31) A È B = A D(B D(A Ç B)), 32) A Ç B ¢= A D(B \ A ¢),
33) A È B =(A D B)D(A \(A \ B)), 34) ( D )D = ,
35) A D A ¢= U, 36) A D A =Æ,
37) (A È B)Ç A =(A Ç B)È A, 38) A D(A D B)= B,
39) A È B =(A D B)È(A \ B ¢), 40) A È B = A È(A ¢\ B ¢),
41) A Ç B =(A È B)D(A D B), 42) A D(B D C)=(A D B)D C,
43) (A Ç B)\(A È B)= A Ç((A ¢È B)Ç(A ¢È B ¢)), 44) DÆ= ,
45) (A Ç B)È(C Ç D)=(A È C)Ç(B È C)Ç(A È D)Ç(B È D).
XXV. :
1) {C,T,O}, 2) {+,-,´,/},
3) { x, xy }, 4) { a, A },
5) { x, y,{ x }}, 6) {1,{1},{{1}}},
7) {{1,2}, {2,3}, {4,5}}, 8) {{0,2}, {2,4}, {4,6}},
9) {01,{0},1}, 10) { x, a,{ x },{ a }},
11) { X,Ç, Y }, 12) {1,2,Æ,{3}},
13) {0,{{Æ}},Æ}, 14) {{Æ}, a, ba },
15) {Æ,{1,2},12}, 16) {ÆÆ,1,2},
17) { x { x }, y, z }, 18) { A,{Æ, A }, B },
19) {Æ, X Î Y, A Í B }, 20) {{ x, y }, (x, y)}.
XXV. U ={1,2,3,4,5,6}, A ={2,5,6}, B ={1,3,4,5,}, C ={1,2,4,6}. P(A Ç C), P((A \ B)È C '), P(B D C), P(C 'Ç B), P(B Ç A '), P(A D B '), P((B \ C)DA'), P((A \ C)D(C \ B)).
XXVI. , - ,
1) ( È )={ X È Y | X Î (), Y Î ()}, 2) ( Ç )= ()Ç ().
XXVII. ,
1) (ÈiÎI i)={ÈiÎI : i Î (i)}, 2) (ÇiÎI i)=ÇiÎI B (Ai).
XXVII. { a, b, c, d, e, f } ( ), .
XXX. 10 {1,2,3}?
XXX. {1,2,3}.
XXX. {1,2,3,4}?
XXXII. N, Z, Q, R.