.


:




:

































 

 

 

 





1. - , , U ( ' U \ ):

1) È( È )=( È , 1') Ç( Ç )=( Ç ,

2) È = È , 2') Ç = Ç ,

3) È( Ç )=( È )Ç( È ), 3') Ç( È )=( Ç )È( Ç ),

4) ÈÆ= , 4') Ç U = ,

5) È '= U, 5') Ç '=Æ.

, , = = . 3. ,

È( Ç )Í( È )Ç( È ). (*)

Î È( Ç ). , ᒺ , Î Î Ç . : Î Î Ç . , Î( È )Ç( È ), (*) . , : Î . ᒺ , ᒺ , È Y, Y . , Î : Î È Î È . , Î( È )Ç( È ). : Î Ç . Ç , Î Î . Î È Î È . , Î( È )Ç( È )., (*) .

,

( È )Ç( È È( Ç ) (**)

Î( È )Ç( È ). : Î( È ) Î( È ). ᒺ , : Î Î , Î Î . , : ) Î , ) Î Î , ) Î Î , ) Î Î . ), ) ), Î , , ᒺ , , Î È( Ç ). ) , Î Ç , Î È( Ç ). , ), ), ), ) , Î È( Ç ), , (**) 3.

.

1 1' , , ᒺ , 2 2' , 3 3' .

³ ( 1), , ᒺ , , , . È È . , . , , , 1, 2,, n, , . , 1, 2,, n, 1È 2ÈÈ n. ³ . : 1',2',, n ' 1,2,, n, ,

1È 2ÈÈ n = 1'È 2'ÈÈ n ',

1Ç 2ÇÇ n = 1'Ç 2'ÇÇ n '.

:

È( 1Ç 2ÇÇ n)=( È 1)Ç( È 2)ÇÇ( È n),

Ç( 1È 2ÈÈ n)=( Ç 1)È( Ç 2)ÈÈ( Ç n).

, 1 , - È Ç, Æ U. ( ), ( ) È Ç, Ç È, Æ U U Æ, () ( ).

, Q , È, Ç ', 1-5 1'-5', Q . ij, , () , , , . 1-5, 1'-5' . (), , () ( ). , 1-5, 1'-5', , , , Q, , , , . , Q, .

2. - U ( ' U \ ):

6) È = , 6') Ç = ,

=Æ, = U,

7) È = U Ç =Æ, = ',

8) ( ')'= ,

9) Æ'= U, 9') U '=Æ,

10) È = , 10') A Ç A = A,

11) A È U = U, 11') A ÇÆ=Æ,

12) A È(A Ç B)= A, 12') A Ç(A È B)= A,

13) (A È B)'= AB ', 13') (A Ç B)'= AB '.

2 , 1.

2 . , 10 10' , 12 12' , 13 13' .

3.

) Í ,

) Ç = ,

) È =

.

(, R 1, R 2,, Rk , - i j, i =1,, k, j =1,, k, Ri Rj, Ri Rj, Rj Ri.)

. , ) ), ) ), ) ). , ) ). Í . , , Ç Í Í Ç . - Ç Í , , Í Ç . Î , Î , , Î Ç . , Í Ç .

, ) ). Ç = . ϳ Ç È , (2), (3), (10), (2'), (12'), :

È =( Ç = È( Ç )=( È )Ç( È )=( È = Ç( È )= .

, ) ). È = . Í È , È = Í .

1-13 1'-13' , . .

. ( Ç ')'È = 'È( ')'È = È = .

: (13'), 8, (10). .

. ( Ç Ç )È( Ç '=(( È ')Ç Ç '=

=(U Ç Ç )È( Ç )'=( Ç )È( Ç )'= U.

: (3') ( ( Ç Ç )È( Ç )), 5, 4' 5. .

. ( Ç Ç Ç D ')È(AC)È(BC)È(C Ç D)= (A Ç B Ç C Ç D ')È((ABDC)=((A Ç B Ç D ')È(A Ç B Ç D ')')Ç C = C.

( (AC)È(BC)È(C Ç D)), () 8, 5 4'. , - .

 

 

: Æ . , : Î , { X. , - P() ( ()), P()={ Y | Y Í X }. , , ={ , b, }, P()={ ,{ , b },{ a, c },{ b, c },{ a },{ b },{ c },Æ}.

4. n . P() 2 n .

. ={ 1,, n }. Y . lY = l 1 ln n , li =1, i Î Y, li =0, xi Ï Y, i Î{1,, n }. , n =5, Y ={ x 2, x 4, x 5} { 1, 2, 3, 4, 5} lY =01011. , l 1 ln n Y n- : li =1, i Î Y, li =0, xi Ï Y. , lY =00110, Y ={ x 3, x 4}. , n- , n . 2 n, P() 2 n.

 

 

1,, k, - , = 1ÈÈ k È.

, 1={2,4}, 2={2,3,5}, 3= X 4={1,2,4} ={1,2,3,4,5}, 1Í , 2Í , 3Í , 4Í , = 1È 2È 3È 4. Y 1={1,2}, Y 2={2,4}, Y 3={2,3}, Y 4={1,2,3} ( ), Y 1È Y 2È Y 3È Y 4. Z 1={1,2,5,6}, Z 2={2,3,5}, Z 3={1,4} , (Z 1Ë ).

, .

, {{1}, {2,3}, {4,6}, {5}} ={1,2,3,4,5,6}. {{1,4}, {2,3}, {4,6}, {1,5}} , , , {1,4} {4,6} . {{1,4}, {2}, {6}, {3}} , {1,4}, {2}, {6}, {3} .

 

 

. :

1) { x | x =2 y +1, y Î N }, 2) { x | x =2 y -1, y Î N },

3) { x | 10< x <100, x =5 y, y Î N }, 4) { x | x =2 y, y Î N },

5) { x | x = y 2, y Î N, 1£ y £10}, 6) { x | x = y 2, y Î N },

7) {(x, y, z)| x, y, z Î R, x 2+ y 2+ z 2>1}, 8) { x | 10 y +9, y Î N },

9) { x | x =2 y -1, y Î N, 1£ y £100}, 10) { x | x =2 y +1, y Î N, 1£ y £10},

11) {(x, y, z)| x, y, z Î R, x 2+ y 2+ z 2=1}, 12) { x | 1£ x £100, x Î N },

13) { x | x =3 y x =5 z, y, z Î N }, 14) { x | x =100 y +7, y Î N, y ¹0},

15) { x | x =11 y x =7 z, y, z Î N }, 16) { x | x =3 y +1, y Î N, 1£ y £35},

17) {(x, y)| a £ x £ b, a £ y £ b, a, b Î R }, 18) {(x, y)| x 2+ y 2>1, x, y Î R },

19) { x | x =100 y, x <1000, y Î N }, 20) { x | x = y 2, y Î N, y £3},

21) {(x, y, z)| x, y, z Î R, x 2+ y 2+ z 2<1}, 22) { x | x =5 y, y Î N },

23) { x | x Î Z, x >5 x <0}, 24) { x | x Î Z, x ¹3 k, k Î N },

25) { x | x Î N, x 2 x 5}.

. B .

1) A ={2,4,6}, B ={ x | x =2 y +1, y Î A }.

2) A ={1,2,3}, B ={ x | x = z 3+1, z Î A }.

3) A ={1,2,3,4}, B ={ x | x =2 y +3 z, y, z Î A }.

4) A ={0,1,2}, B ={ x | x = y - z, y, z ÎA}.

5) A ={4,8,9,15,16}, B ={ x | x = y 2 + z - y, z, y, y 2 Î A }.

6) A ={2,3,4}, ={ y | y = x 2+ z, x, z Î }.

7) A ={0,1,2}, B ={ x | x = y +2 z, y, z Î A }.

8) A ={0,2,3}, B ={ x | x =2(y - z), y, z Î A }.

9) A ={0,1,4,5,9,10}, B ={ x | x = y 2+3 z +3, y 2, z Î A }.

10) A ={1,2,3,4}, B ={ x | x =2 y +3 z +1, y, z ÎA}.

11) A ={2,4,6}, B ={ x | x =3 y - z +2, y, z Î A }.

12) A ={1,2,3}, B ={ x | x = y 2+ z 2, y, z Î A }.

13) A ={1,2,3}, B ={ x | x =2 y + z -2, y, z Î A }.

14) A ={1,4,7}, B ={ x | x =5 y - z +2, y, z Î A }.

15) A ={0,1,2,3}, B ={ x | x =2 y +5 z -1, y, z Î A }.

16) A ={-1,1,-2,2,}, B ={ x | x = y 2+5 z +1, y, z Î A }.

17) A ={1,3,5,7}, B ={ x | x =2 y +3 z, y, z Î A }.

18) A ={-3,0,1,2}, B ={ x | x = y - z, y, z Î A }.

19) A ={4,8,9,15,16}, B ={ x | x = y 2+ z + y, z, y, y 2 Î A }.

20) ={2,3,5,7}, B ={ x | x = z 2+ y -4, z =- y +3, y ÎA}.

. , , . ³ .

1) ÆÍ{ a, b, c }, 2) ÆÎ{ a, b, c }, 3) { a }Î{ a, b, c },

4) { a, c }Í{ a, b, c }, 5) {1,2}Î{1,2,3}, 6) 0ÎÆ,

7) Æ={0}, 8) {{Æ}}Î{{{Æ}}}, 9) ÆÍ{0},

10) {Æ}Í{2,3,1}, 11) a Î{ b, a, c }, 12) {{ b }}Í{ a, b, c },

13) a Î{ a 1, a 2, a 3}, 14) {{ }}Î{ , , z }, 15) { a }Î{ b, d, ac },

16) { d, b }Í{ b, d, ac }, 17) ÆÎ{{Æ},1,2}, 18) 1Î{{1,2},0},

19) { a,Æ}Í{ a, b, c }, 20) {{0,1}}Í{0,1,2}.

V. , :

1) {{ x },{ y },{ z }} { x, y, z }, 2) { a, b } {{ a, b }},

3) {1,2,3} {{1,2},{1,3},{1,2,3}}, 4) { b, c, d } { d,{ b, c }},

5) { x, y, z } {{ x, y, z }}, 6) { a, b,{ a, b }} { x, y,{ x, y }},

7) { a, c, e, f } { a, b, e, f }, 8) { a, , , } {a,b,g,d},

9) {{ a, b },{ b, c, d }} {{ a, c },{ b, d, a }}, 10) { x, y, z } { , , },

11) {1,{2,Æ},{3}} {1,{2},{3},Æ}, 12) { a, b,{ a, b }} { x, y,{ x, y }},

13) { a, b, c } {{ a, b },{ a, c },{ b, c }}, 14) {{ a, b }, a,{ a, c }} { a, b, c },

15) {{1,3},3,4} {{3,4},1,3}, 16) {1,2,{ Æ}} {1,2},

17) {{ a, b },{ b, c, d }} {{ a, c },{ b, d, a }}, 18) { a, c, e, f } { a, b, e, f }.

V. .

1) { x | x Î Z, x =6 y y }={ x | x Î Z, x =2 u x =3 v u v }.

2) { x | x Î R, x = y 2 y }={ x | x Î R, x ≥0}.

3) { x | x Î Z, x =6 y y }Í{ x | x Î Z, x =2 y y }.

VI. , , , .

1) Í , Ì Þ Ì , 2) Ì , Í Þ Ì, 3) Ì , Ì Þ Ì .

VII. - , , ?

1) A ¹ B B ¹ C Þ A ¹ C, 2) A Í B, B Î C Þ A Î C,

3) A Î B, B Î C Þ A Î C, 4) A Ï B, B Ï C Þ A ÏC,

5) A Ï B, B Ë C Þ A Ï C, 6) A Í B, B Î C Þ A Ï C.

VIII. , .

IX. :

1) 4 {*,?,!}, ?

2) 6 { a, b, c }?

3) 2 {Æ,{Æ}}, ? ³- .

X. 1, 2,, n . , 1Í 2ÍÍ n Í 1 Û 1= 2== n.

X. U, A, B, C.

1) (A È B)Ç(A \ B), (B \ AA, A D(A Ç B); A ={1,2,3,4}, B ={ c, d }.

2) A Ç(B \ A), (A Ç B)D(B È A); A ={3,4,5}, B ={5,6,7,8}.

3) (B È C)\ A, (A Ç B)D C, (C \ BA; A ={1,2,3,4,5}, B ={2,3,4}, C ={1,3,5}.

4) ( Ç )\ , ( È , ( \ )Ç( È ); ={ a, b, c, d }, ={ b, c, f }, ={ a, c, e, f }.

5) A È B, A Ç B, A D B, A \ B, B \ A; A ={,¯,,}, B ={,:,¯,?}.

6) ( È )Ç( D ), D( È ), ( D )\ ; ={1,2,3}, ={5,6,7}.

7) A È B, A Ç B, A \ B, B \ A; A ={1,2,3}, B ={ x: x =2 y + z, y, z Î A }.

8) A Ç A 1, A \ A 1, A È A 1, A D A 1; ={ x: x , 10}, A 1={10,20,30,40,50}.

9) A È B, A Ç B, A \ B, B \ A; A ={1,2,4}, B ={ x: x =2 y - z, y, z Î A }.

10) A ={ a, b, c, d }. B, C, D A, B D C = D, B \ D, (C Ç DB, (C \ BD.

11) (A \ B)¢ÈC, (A Ç C)D(B \ A)¢, (A Ç C ¢)È(C \ B ¢); U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3,5}, B ={2,3,4}, C ={1,2,5}.

12) A ¢, B ¢, C ¢, (A È B È C)¢, (A Ç B Ç C)¢; U ={ a, b, c, d,1,2,3,4}, A ={ a, b }, B ={ c, d }, C ={1,2,3,4}.

13) A È B, (B Ç C)\ A, (A È C)¢È B; U ={ a, b, c, d, e, f }, A ={ a, b, c }, B ={ c, d, f, e }, C ={ a, d, f }.

14) (A È BC, (A D C)\ B, (A Ç C)¢È(B \ A); U ={ a, b, c, d }, A ={ a, b }, B ={ b, c }, C ={ a, c, d }.

15) (A Ç B)\ C ¢, (A D B)¢È B, (C \ B)¢Ç(A \ C); U ={ a, b, c, d, e, f }, A ={ b, c, d }, B ={ b, a, f, e }, C ={ c, d, e }.

16) (A \ BC, (A È B)¢Ç C, A ¢D C ¢; U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3,5}, B ={2,4}, C ={2,3}.

17) A Ç B ¢, A ¢È C, (B Ç C)\ A, A D(B \ C)¢; U ={ a, b, c, d, e }, A ={ a, b, c }, B ={ c, d, e }, C ={ a, c, e }.

18) A È(B Ç C ¢), B \(A D C ¢), (A Ç B)¢È(A ¢È B ¢); U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3}, B ={1,2,4}, C ={2,5}.

19) ((A \ BC)¢, (A D B ¢)Ç C, (A È(B D C))¢. U ={1,2,3,4,5,6}, A ={1,2,5}, B ={2,4,5}, C ={2,3,4,6}.

20) \(B Ç )¢, (A ¢D BC ¢, (A È B ¢)D C; U ={1,2,3,4,5,6,9}, A ={1,3,4,5}, B ={2,4,6}, C ={2,5,9}.

X. Z

={ | Î Z, =2 y y },

={ | Î Z, =2 y -1 y },

={ | Î Z, <10}.

', ( È )', \ ', \( È ).

X. Z +:

A ={ x | x Î Z +, x =2 y y },

B ={ x | x Î Z +, x =2 y +1 y },

C ={ x | x Î Z +, x =3 y y }.

Ç , È , \.

XV. ( ):

ÇÆ, ÈÆ, \Æ, \ , Æ\ , ÆÇ{Æ}, {Æ}Ç{Æ}, {Æ,{Æ}}\Æ, {Æ,{Æ}}\{Æ}, {Æ,{Æ}}\{{Æ}}.

XV. , :

) , U, Ç Í ' È Í , Ç =Æ;

) , U, Í( È )' Í( È )', =Æ.

XVI. .

1) A D B =Æ. A Ç B A \ B?

2) A Ç B =Æ. A \ B B \ A?

3) A Í B ¢. A D B B \ A?

4) A Ç B ¢=Æ. A Ç B A È B?

5) A Í C ¢, B Í A. B \ C C \(A È B)?

6) A È B = A. A Ç B B \ A?

7) A \ B =Æ. , A Ç B, A È B, A Ç B ¢,(A Ç B ¢)¢ A ¢È B?

8) A Í B. A D B, B D A, (A \ B)Ç(A È B)?

XVI. X, Y, Z A ={ a, b, c, d }, ? ³ .

1) (X \ Y)¢\(Z \ Y)¹Æ, 2) (X È Y)\(X Ç Z)=Æ,

3) (X \ Z)Ç(Y \ Z)¹Æ, 4) (X \ YZ ¢=Æ,

5) (X È Y È Z)¢\(X Ç Y Ç Z)¢=Æ, 6) Ç Y =Æ, \( \ Y)¹Æ,

7) (X D Y)\ Z =Æ, X ¹Æ, Y ¹Æ, Z ¹Æ, 8) X D Y = Z, X È Y = Z,

9) X \ Y = Z, Z Ç Y =Æ, 10) (X È Y)\ Z = Z ¢.

XVIII. A, B, C, ? ³ .

1) A È B È C = U, A ¢= B È C C ¢= A È B, 2) A Í B Í A A ¹ B,

3) (C Ç A)È(A Ç B)=Æ, A Ç(B È C)¹Æ, 4) A Í B A Ç C Í B Ç C,

5) A Ç B Í C ¢, A È C Í B, A Ç C =Æ, 6) Í , Î , Î ,

7) A Í(B È C)¢, B Í (A È CB ¹Æ, 8) A Í B (C \ B)Í(C \ A),

9) A \ C =Æ, B \ C =Æ, (A È B)\ C ¹Æ, 10) A D B = C B D C = A,

11) A È(B È C)=Æ, a (A È BC ¹Æ, 12) = ¢ Ç ¹Æ,

13) A Ç B ¹Æ, A Ç C =Æ, (A Ç B)\ C =Æ, 14) (A \ B)\ C =Æ, a A \(B \ C)¹Æ,

15) A Ç B ¹Æ, B Ç C =Æ, A Ç C ¹Æ, 16) Ë D =Æ,

17) A È B È C = U, A ¢= B È C C ¢= A È B, 18) Í , , Í ,

19) A Ç B =Æ, A Ç C ¹Æ, (A Ç C)\ B =Æ, 20) Ç =Æ, \ =Æ, Í ,

21) A Ç B =Æ, A \ C ¹Æ, (A D CB ¹Æ, 22) D Í , Ç Í D .

XX. 1.

XX. 2, . , 1. , .

XX. , - , ,

1) A Í B Þ A È C Í B È C, 2) A Í B Þ (A \ C)Í(B \ C),

3) A Í B Þ (C \ B)Í(C \ A), 4) A Í B Û (B \ AA = B,

5) A È B = A Ç B Þ A = B, 6) A Í B È C Þ A \ B Í C,

7) È =ÆÛ =Æ, 8) A Ç B =Æ Þ A D B Í A È B,

9) C Í B Þ B ¢\ A Í C ¢\ A, 10) A Ç B Í C Û A Í B ¢È C,

11) A Ç B Í C ¢ A È C Í B Þ A Ç C =Æ, 12) A D B =Æ Û A = B,

13) A \ B =Æ Þ A \ B ¢= A, 14) A Í B È C Û A Ç B ¢Í C,

15) (A \ BB = A Û A ¢Í B ¢, 16) A D B = C Û B D C = A,

17) (A È B)D(C È D) Í (A D C)È(B D D), 18) A Í B Þ A ¢Ç B ¢= B ¢,

19) A Ç B =Æ Þ A È B = A D B, 20) B Í A Û (A \ BB = A,

21) (A Ç BC = A Ç(B È C) Û C Í A, 22) A Ç B = A Þ A ¢È B = U,

23) A = B ¢ Û A Ç BA È B = U, 24) A \ B =Æ Û A ¢È B = U,

25) A Ç C ¢Í B Þ A Í C È B, 26) A Í B ¢ Þ (A \ C)Í(B ¢\ C),

27) A = B Þ A \ B =Æ, 28) A = B Þ A È B ¢= U,

29) A È B = B Û A ¢È B = U, 30) A Ç B = A Û A \ B =Æ.

XX. È È = U, , , . , ¢= È , ¢= È , ¢= È .

XXIII. :

1) (A Ç B)¢=(A Ç B ¢)È(A ¢Ç B)È(A ¢Ç B ¢), 2) A Ç B = A \(A \ B),

3) (A È B)\ C =(A \ C)È(B \ C), 4) A D B = B D A,

5) (A Ç B)\ C =(A Ç B)\(A Ç C), 6) (A È B ¢)Ç(A È B)= A,

7) (A Ç B)È(A Ç B ¢)=(A È B)Ç(A È B ¢), 8) (A È BA = A,

9) A \(B \ C ¢)=(A \ B)È(A \ C), 10) (A È B)È(A ¢Ç B ¢)= U,

11) A \(B Ç C ¢) = (A \ B)È(A \C¢), 12) A D U = A ¢,

13) A Ç(B \ C)=(A Ç B)\(A \ C ¢), 14) A Ç(B \ C)=(A Ç B)\ C,

15) A \(B È C)=(A \ C)\(B \ C), 16) A Ç(B \ A)= Æ,

17) (A ¢È BA = A Ç B, 18) (A Ç B)È(A Ç B ¢)= A,

19) (A È B)Ç(A ¢Ç B ¢)=Æ, 20) A \ B =(A È B)D B,

21) A \(B Ç C)=(A \ B)È(A \ C), 22) (A ¢È BA = A Ç B,

23) A È B =(A D B)D(A Ç B), 24) A È(B \ A)= A È B,

25) A È B =(A D B)È(A Ç B), 26) A Ç(B \ C)= Ç( \ C),

27) A \ B =(A È B ¢)D(A D B ¢), 28) (A Ç BA = A,

29) A Ç(B D C)=(A Ç B)D(A Ç C), 30) A \ B = A D(A Ç B),

31) A È B = A D(B D(A Ç B)), 32) A Ç B ¢= A D(B \ A ¢),

33) A È B =(A D B)D(A \(A \ B)), 34) ( D )D = ,

35) A D A ¢= U, 36) A D A =Æ,

37) (A È BA =(A Ç BA, 38) A D(A D B)= B,

39) A È B =(A D B)È(A \ B ¢), 40) A È B = A È(A ¢\ B ¢),

41) A Ç B =(A È B)D(A D B), 42) A D(B D C)=(A D B)D C,

43) (A Ç B)\(A È B)= A Ç((A ¢È B)Ç(A ¢È B ¢)), 44) DÆ= ,

45) (A Ç B)È(C Ç D)=(A È C)Ç(B È C)Ç(A È D)Ç(B È D).

XXV. :

1) {C,T,O}, 2) {+,-,´,/},

3) { x, xy }, 4) { a, A },

5) { x, y,{ x }}, 6) {1,{1},{{1}}},

7) {{1,2}, {2,3}, {4,5}}, 8) {{0,2}, {2,4}, {4,6}},

9) {01,{0},1}, 10) { x, a,{ x },{ a }},

11) { X,Ç, Y }, 12) {1,2,Æ,{3}},

13) {0,{{Æ}},Æ}, 14) {{Æ}, a, ba },

15) {Æ,{1,2},12}, 16) {ÆÆ,1,2},

17) { x { x }, y, z }, 18) { A,{Æ, A }, B },

19) {Æ, X Î Y, A Í B }, 20) {{ x, y }, (x, y)}.

XXV. U ={1,2,3,4,5,6}, A ={2,5,6}, B ={1,3,4,5,}, C ={1,2,4,6}. P(A Ç C), P((A \ BC '), P(B D C), P(CB), P(B Ç A '), P(A D B '), P((B \ C)DA'), P((A \ C)D(C \ B)).

XXVI. , - ,

1) ( È )={ X È Y | X Î (), Y Î ()}, 2) ( Ç )= ( ().

XXVII. ,

1) iÎI i)={ÈiÎI : i Î (i)}, 2) iÎI i)=ÇiÎI B (Ai).

XXVII. { a, b, c, d, e, f } ( ), .

XXX. 10 {1,2,3}?

XXX. {1,2,3}.

XXX. {1,2,3,4}?

XXXII. N, Z, Q, R.

 

 





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: 2016-07-29; !; : 826 |


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