Включення та рівність множин

Міністерство освіти та науки України

 

Київський національний університет технологій та дизайну

 

 

М.К.МОРОХОВЕЦЬ

 

Основи Дискретної математики

 

МНОЖИНИ ТА ВІДНОШЕННЯ

Конспект лекцій

Для студентів напрямку “Комп’ютерні науки” 6.0402

 

 

КИЇВ КНУТД 2005

 

УДК 51.681.3517

 

Конспект лекцій з курсу “Основи дискретної математики” для студентів спеціальності “Комп’ютерні науки” 6.0402

/ Автор М.К.Мороховець. – К.: КНУТД, 2005. – 52 с. Укр.мовою.

У даному матеріалі викладено основні відомості з теорії множин, розглядаються поняття відношення, відображення. Наводяться приклади розв’язання задач. До кожного розділу подаються задачі та вправи.

Матеріал призначено для студентів, що починають вивчати основи дискретної математики.

Бібл. 6 найм.

 

 

© Київський національний університет технологій та дизайну, 2005

Лекція 1. Поняття множини. Операції над множинами

 

 

Теорія множин як математична дисципліна створена німецьким мате-матиком Г.Кантором. Згідно з його визначенням, множиною є довільне зі-брання певних об’єктів нашої інтуїції або інтелекту, які розрізняються між со-бою, що уявляється як єдине ціле. Ці об’єкти називаються елементами, або членами множини. Зауважимо, що формулювання поняття множини не на-кладає жодних обмежень на природу предметів, що входять у множину. Мно-жина може складатися, наприклад, з білих лебедів, чорних автомобілів, пар-них чисел. Відмітимо також, що канторівське формулювання дає змогу роз-глядати множини, елементи яких з тієї чи іншої причини не можна точно вка-зати (наприклад, множина усіх раціональних чисел, множина зірок Всесвіту). Фраза «об’єкти, що розрізняються між собою» з канторівського визначення множини означає, що для будь-яких двох предметів, які вважаються елемен-тами множини, має бути спосіб вирішити являються вони різними чи однако-вими. Слово «певний» розуміють у тому сенсі, що коли дано деяку множину та деякий предмет, то можна визначити, чи є цей предмет елементом даної множини.

 

Способи подання множин

 

Множина може бути задана явно або неявно. Якщо об’єктів, що склада-ють множину, небагато, множина задається явно шляхом перерахування цих об’єктів (а точніше, їх імен). На письмі множину, елементами якої є об’єкти х ₁, х ₂,…, х_n, будемо позначати { x ₁, x ₂,…, x_n }. Таке подання множини називається явним. Приклади множин, заданих явно: {2,3,8,7} – множина, елементами якої є числа 2, 3, 7 та 8; {­,¯,,®,«} – множина, що складається із символів ­, ¯,, ®, «; {Марія, Петро, Олена, Олексій} – множина, що складається з кількох імен людей; {білий, зелений, блакитний} – множина, елементами якої є назви кольорів.

Щойно описана форма подання множин не є зручною, коли треба задати множину, що містить багато елементів, й зовсім неприйнятна, коли мова йде про множину, у якій нескінченно багато елементів. Для таких випадків використовують подання множини у формі { t (x ₁,…, x_n)| P (x ₁,…, x_n)}. Тут n – ціле додатне число, t (x ₁,…, x_n) – вираз (послідовність символів), роль якого – показати, який вигляд мають елементи заданої множини, P (x ₁,…, x_n) – твердження, яке задає необхідну й достатню умову належності об’єкта множині, x ₁,…, x_n – змінні, роль яких – позначати у t (x ₁,…, x_n) та P (x ₁,…, x_n) місця, на які підставляються імена конкретних об’єктів при побудові елементів заданої множини або при перевірці, чи належить даний об’єкт заданій множині, причому місця, позначені однаковими змінними, «займають» одні й ті самі імена. Якщо нас не цікавить будова елементів множини, будемо використовувати вираз x замість t (x ₁,…, x_n). Вираз P (x ₁,…, x_n) може бути простим або складеним реченням природної мови, рівністю, нерівністю тощо. Взагалі під P (x ₁,…, x_n) будемо розуміти скінченну послідовність зі слів, математичних виразів та символів x ₁,…, x_n таку, що якщо кожне входження x_і (i =1,…, n) у цю послідовність замінити одним й тим самим іменем деякого об’єкту, то в результаті матимемо висловлення, тобто таке твердження, яке можна охарактеризувати як істинне або хибне. Іноді сполучник «та» («й») у виразі P (x ₁,…, x_n) будемо заміняти комою. Описаний спосіб подання множини називається неявним.

Наведемо приклади множин, заданих неявно: { x | x – зірка Всесвіту} – множина, елементами якої є ті й тільки ті об’єкти, що являються зірками Всесвіту; { n | n – натуральне парне число} – множина, яка містить ті й тільки ті натуральні числа, що є парними; { n | n – непарне число й n ділиться на 5} – множина непарних чисел, кратних п’яти, будь-яке число, що не має зазначених властивостей, не належить даній множині; {(x, y)| x, y – дійсні числа} – множина, що складається з двійок дійсних чисел й тільки з них; можна також сказати, що це множина усіх точок декартової площини.

Множина може мати ім’я. Зазвичай імена множин позначаються великими латинськими літерами, що можуть мати індекси. На письмі ім’я множини розміщується перед множиною й між ними ставиться знак «=». Наприклад, запис А ={ a, b, c, d } означає, що множині { a, b, c, d } дано ім’я А. Ім’я множини можна використовувати замість самої множини. Одній й тій самій множині можна дати кілька імен. Деякі множини мають усталені імена (позначення). Так, множина усіх невід’ємних цілих чисел позначається N, усіх додатних цілих чисел – N ⁺, множини усіх цілих, раціональних, дійсних чисел мають імена відповідно Z, Q, R.

Одна й та сама множина може бути задана явно й неявно. Наприклад, нехай A ={ x | x – додатне ціле число, x <10, х парне}. Можемо знайти усі такі числа, що задовольняють задані умови, отже, й задати множину А явно: А ={2,4,6,8}.

Якщо деякий об’єкт х є елементом деякої множини А, будемо писати: х Î А. Даний вираз читається: «х належить А», «х є елементом А», «А містить х». Якщо треба зазначити, що певний об’єкт х не є елементом деякої множини А, будемо писати х Ï А. Такий вираз читається: «х не належить А», «х не міститься в А», «х не є елементом А», «А не містить х». Таким чином, вираз х Î А (х Ï А) є твердженням, істинність якого залежить від того, міститься об’єкт х у множині А чи ні. Наприклад, твердження а Î{ a, b, c } правильне, тому що об’єкт а міститься у множині { a, b, c }. Твердження х Ï{ a, b, c } також правильне, оскільки множина { a, b, c } не містить об’єкта х. Твердження А Î N хибне, тому що А не є невід’ємним цілим числом, отже, не може належати множині N.

 

Включення та рівність множин

Нехай А та В – множини. Будемо говорити, що А включається у В, або А є підмножиною В (й позначати А Í В), якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, тобто для кожного х, якщо х Î А, то х Î В. Використовується також й позначення В Ê А, що означає «В включає А» (або «В є надмножиною А»). Наприклад, Z Í Q, оскільки кожне ціле число є раціональним; R Ê Z, тому що кожне ціле число є дійсним числом; множина А ={2,4,1} є підмножиною множини В ={-1, 0,1,2,3,4}, оскільки для елементів 2, 4, 1 множини А виконується: 2Î В, 4Î В, 1Î В. Якщо для множин А та В твердження А Í В не є істинним, будемо писати А Ë В. Наприклад, Q Ë Z, оскільки не кожне раціональне число є цілим; якщо X ={ а, b, c }, Y ={ b, c, d }, то Х Ë Y, тому що множина Х містить такий елемент (а саме, елемент а), якого немає у множині Y, тобто не кожен елемент множини Х є елементом множини Y (так само, як не кожен елемент множини Y належить множині Х, отже, Y Ë Х). Якщо увести позначення: (" х) – «для кожного х» (або «для довільного х»), Þ – «випливає» (або «слідує»), Û – «тоді й тiльки тоді, коли», то визначення включення множин можна записати таким чином: А Í В Û (" х) х Î А Þ х Î В.

Очевидно, що для будь-якої множини Х виконується Х Í Х. Доведемо, що для будь-яких множин X, Y, Z X Í Y, Y Í Z Þ X Í Z. Для цього достатньо показати, що (" х) х Î Х Þ х Î Z. При доведенні будемо використовувати те, що X Í Y та Y Í Z. Отже, нехай х Î Х. Оскільки X Í Y, то х Î Y, але Y Í Z, а тому х Î Z. Таким чином, ми показали, що для довільного х х Î Х Þ х Î Z. Коротко побудоване міркування можна записати так: х Î Х Þ х Î Y Þ х Î Z.

Назвемо множини X та Y рівними (й позначимо Х = Y), якщо X Í Y та Y Í Х, тобто Х = Y Û Х Í Y та Y Í Х. Наприклад, множини А ={3,7,2} та В ={7,2,3} рівні, тому що А Í В та В Í А, оскільки для елементів множини А маємо: 3Î В, 7Î В, 2Î В, а для елементів множини В маємо: 7Î А, 2Î А, 3Î А. Якщо умова рівності множин Х та Y не виконується (тобто Х Ë Y або Y Ë Х), то будемо говорити, що множини Х та Y не рівні й писати Х ≠ Y. Наприклад, якщо Х ={ a, b, c }, Y ={ d, f, a }, то Х ≠ Y, оскільки Х Ë Y (а також Y Ë Х); множини {1,2,3} та N не рівні, оскільки N Ë{1,2,3} (хоча {1,2,3}Í N).

Множина Х називається власною підмножиною множини Y, або Х строго включається в Y (позначається Х Ì Y), якщо Х Í Y, але Х ≠ Y, тобто Х Ì Y Û Х Í Y та Х ≠ Y. Наприклад, якщо А ={ a, b, c }, В ={ a, b, c, d }, то А Ì В, оскільки для елементів множини А маємо: а Î B, b Î B, c Î B, отже, А Í В, але В Ë А, тому В ≠ А. Також Z Ì Q, оскільки не кожне раціональне число є цілим (й тому Q Ë Z), тобто Z ≠ Q, хоча Z Í Q.

Через Æ позначимо множину, що не містить жодного елементу, тобто (" х) х ÏÆ. Така множина називається порожньою множиною. З визначення порожньої множини випливає, що ÆÍ А для будь-якої множини А. Дійсно, оскільки Æ не має елементів, то умова х ÎÆ Þ х Î А не порушується для жодного х. Зауважимо, що множина {Æ} не є порожньою, оскільки містить один елемент (порожню множину), отже, Æ≠{Æ}, але ÆÎ{Æ}. Для множини A ={ a, b, c } маємо ÆÏ А, тому що серед елементів множини А немає елемента Æ.

 

Операції над множинами

 

Об’єднанням множин А та В (позначається А È В) називається множина усіх об’єктів, що є елементами множини А або В, тобто

А È В = { х | х Î А або х Î В }.

Тут сполучник «або» використовується у тому розумінні, що елемент множини А È В може належати обом множинам (А та В).

Наведемо приклади об’єднання множин. Нехай А ={1,4,5,8,9}, В ={3,4,6}. Тоді А È В ={1,3,4,5,6,8,9}. Елемент 4 з об’єднання А È В належить обом множинам А та В, кожен з інших елементів з А È В належить лише одній з цих множин. Розглянемо тепер А È А. За визначенням об’єднання множин маємо: А È А = А. Дійсно, жоден елемент, що не належить множині А, не може належати й множині А È А. Нехай А ={ х | x – натуральне парне число}, В ={ x | x Î Z, x <-5}. Тоді А È В – це множина, елементами якої є усі від’ємні цілі числа, менші ніж -5, й усі натуральні парні числа.

Перетином множин А та В (позначається А Ç В) називається множина усіх об’єктів, що є елементами обох множини А й В, тобто

А Ç В = { х | х Î А та х Î В }.

Нехай, наприклад, А ={2,5,6,8,0}, В ={3,4,5,6}. Тоді А Ç В ={5,6}, оскільки елементи 5 та 6 й тільки вони є спільними для множин А та В. Розглянемо множини С ={1,2,3} та D ={4,5,6}. Очевидно, не існує жодного елементу, який би належав як множині С, так й множині D. Отже, множина С Ç D не містить жодного елементу, тобто є порожньою: С Ç D =Æ. Розглянемо перетин множин X ={ x | x Î N, х <100} та Y ={ х | x – непарне додатне число}. Х Ç Y – це множина непарних додатних чисел, що не перевищують 100.

Будемо говорити, що множини А та В не перетинаються, якщо А Ç В =Æ. Наприклад, не перетинаються множина від’ємних цілих чисел та множина натуральних парних чисел. Якщо А Ç В ≠Æ, то множини А та В є такими, що перетинаються. Наприклад, множини Z та N є такими, що перетинаються, оскільки вони мають спільні елементи.

Різницею множин А та В (позначається А \ В) називається множина, що складається з тих елементів множини А, які не належать множині В, тобто

А \ В ={ x | x Î A, x Ï B }.

Наприклад, якщо А ={2,5,6,8}, В ={3,5,8,9,0}, то А \ В ={2,6}. Нехай Х ={1,3,4,6}, Y ={4,5,6,1,2,3}; тоді Х \ Y =Æ, оскільки у множині Х немає таких елементів, які б не належали Y. Нехай Р – множина усіх непарних натуральних чисел, тоді N \ Р – це множина усіх невід’ємних парних цілих чисел.

Абсолютним доповненням (доповненням) множини А (позначається А ') називається множина тих об’єктів, які не належать множині А, тобто

А '={ х | х Ï А }.

Множина В \ А називається ще відносним доповненням множини А до множини В.

Покажемо, що В \ А = В Ç А '. Для цього треба довести, що В \ А Í В Ç А ' та В Ç А 'Í В \ А. Покажемо, що В \ А Í В Ç А '. Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо: х Î В \ А Þ х Î В та х Ï А Þ х Î В та х Î А ' Þ х Î В Ç А ', отже, доведено, що х Î В \ А Þ х Î В Ç А ', а це означає, що В \ А Í В Ç А '. Тепер покажемо, що В Ç А 'Í В \ А: х Î В Ç А ' Þ х Î В, х Î А ' Þ х Î В, х Ï А Þ х Î В \ А, отже, х Î В Ç А ' Þ х Î В \ А.

Симетричною різницею множин А та В (позначається А D В або А + В) називається множина, елементи якої належать або тільки множині А, або тільки множині В, але не обом множинам А та В, тобто

А D В =(А \ В)È(В \ А).

Наприклад, нехай А ={1,2,3,4}, В ={3,4,6,7}, тоді А D В ={1,2,6,7}. Якщо А ={ х | х Î N, 1< х <101}, В ={ x | x Î N, х <100}, то А D В ={0,1,100}.

Розглянемо ще кілька прикладів доведення тверджень про множини.

І. Доведемо, що якщо А Í В, то А Ç С Í В Ç С (або, більш коротко, АÍ В Þ А Ç С Í В Ç С) для будь-яких множин А, В, С.

Нам треба показати, що А Ç С Í В Ç С за умови А Í В. Іншими словами, при доведенні включення А Ç С Í В Ç С ми можемо використовувати не лише загальні відомості про множини (такі, наприклад, як означення підмножини, операцій над множинами), а й те, що А Í В. Отже, нехай х Î А Ç С. Тоді, виходячи з означення операції перетину множин, маємо: х Î А та х Î С. Оскільки А Í В, то з х Î А випливає х Î В. Тепер з того, що х Î В та х Î С, випливає х Î В Ç С.

ІІ. Доведемо, що для будь-яких множин А та В

A Í B È C Û A Ç B ¢Í C.

Для доведення треба показати, що А Í В È С Þ А Ç В 'Í С та А Ç В 'Í С Þ А Í В È С. Покажемо спочатку, що А Í В È С Þ А Ç В 'Í С. Для цього доведемо включення А Ç В 'Í С, користуючись тим, що А Í В È С. Отже, нехай х Î А Ç В '. Звідси маємо: х Î А та х Î В ' (тобто х Ï В). Оскільки А Í В È С, то х Î В È С, отже, х Î В або х Î С. Але раніше ми одержали, що х Ï В. Тоді залишається тільки можливість х Î С. Таким чином, ми показали, що х Î А Ç В ' Þ х Î С, а це означає, що А Ç В 'Í С. Далі доведемо, що А Ç В 'Í С Þ А Í В È С. Для доведення треба показати, що А Í В È С за умови А Ç В 'Í С. Нехай х Î А. Якщо В – довільна множина, то х Î В або х Ï В. Розглянемо кожен з цих випадків. Нехай х Î В. Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, що х є елементом множини, яка є об’єднанням множини В з будь-якою множиною. Отже, х Î В È С. Розглянемо тепер другий випадок, тобто х Ï В. Тоді х Î В ', а оскільки х Î А, то х Î А Ç В '. Але відомо, що А Ç В 'Í С, значить х Î С, звідки випливає, що х Î В È С. Коротко доведення можна записати таким чином.

(Þ) х Î A Ç B ¢ Þ х Î А, х Î В ' Þ х Î А, х Ï В Þ х Î В È С, х Ï В Þ х Î В або х Î С, х Ï В Þ х Î С.

(Ü) х Î А Þ х Î А, х Î В або х Ï В Þ 1) х Î А, х Î В або 2) х Î А, х Ï В.

1) х Î А, х Î В Þ х Î В Þ х Î В È С.

2) х Î А, х Ï В Þ х Î А, х Î В ' Þ х Î А Ç В ' Þ х Î С Þ х Î В È С.

Доведення завершено.

Якщо усі множини, що розглядаються при розв’язанні якоїсь задачі або при якихось міркуваннях, є підмножинами деякої множини U, то таку множину U називають універсальною множиною (універсумом). Наприклад, для елементарної арифметики універсальною множиною є Z. Для графічного зображення підмножин деякої універсальної множини U використовують так звані діаграми Венна, або кола Ейлера. Діаграма Венна є схематичним зображенням множин у вигляді точкових множин: універсальна множина зображується множиною точок деякого прямокутника, а її підмножина А – у вигляді кола або якоїсь іншої простої області усередині цього прямокутника. Доповнення множини А (до U) зображується тією частиною прямокутника, що лежить за межами кола, що зображує А. Множини, що не перетинаються, зображуються областями, що не перекриваються. Якщо А Í В, то на діаграмі Венна та область, що зображує множину А, цілком лежить усередині області, що зображує множину В. Діаграми Венна є корисним допоміжним засобом при вивченні операцій над множинами.