Розв’язування типових прикладів

Тема 2. Визначений інтеграл

Під час розв’язування задач слід пам’ятати, що для обчислення площі, обмеженої кривими і прямими , слід використовувати формулу

_.

Ця формула залишається правильною за довільних знаків значень функцій .

Обчислюючи площі фігури, обмеженої кривою, рівняння якої задано у полярних координатах, доцільно криву нарисувати в системі координат.

Питання для самоконтролю

1. Що є інтегральною сумою функції на заданому відрізку ?

2. Дайте визначення визначеного інтеграла.

3. Який геометричний зміст визначеного інтеграла від заданої функції?

4. Перелічіть основні властивості визначеного інтеграла.

5. Напишіть формулу Ньютона–Лейбніца.

6. У чому полягає спосіб підстановки за обчислення визначеного інтеграла?

7. Який вигляд має формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла?

8. Як обчислити площу криволінійного сектора у полярних координатах?

9. Запишіть формулу для обчислення дуги кривої у декартових і в полярних координатах.

10. Запишіть формулу для обчислення об’єму тіла за відомими площами його поперечних перерізів.

11. Запишіть формулу для обчислення об’єму тіла обертання.

Розв’язування типових прикладів

Приклад 1. Знайти невизначений інтеграл .

Розв’язання. Застосуємо підстановку . Тоді і

.

Приклад 2. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Застосуємо підстановку . Тоді ;

, звідси .

Приклад 3. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Перетворимо знаменник дробу, що стоїть під інтегралом, таким способом: .

Тоді після підстановки , отримаємо:

. При цьому при обчисленні інтеграла ми скористалися заміною змінної . Тоді , звідки

.

Приклад 4. Знайти інтеграл

Розв’язання. Застосуємо формулу інтегрування частинами

.

Нехай , . Тоді , . Отже,

.

Приклад 5. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Візьмемо , . Тоді , . Звідси

.

Застосовуючи в останньому інтегралі підстановку , отримаємо

, отже,

.

Звідси

.

Приклад 6. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Розкладемо знаменник на множники

.

Тоді .

Помножимо обидві частини цієї рівності на знаменник лівої частини. Отримаємо тотожність:

.

Тепер прирівняємо коефіцієнти за однакових степенів x:

;

З другого рівняння отримаємо:

Звідси

Отже,

Виділимо повний квадрат

Після заміни змінної , , і використання виділення повного квадрата отримаємо:

Відповідь:

Приклад 7. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Із рівності

отримаємо

Прирівняємо коефіцієнти за однакових степенів x:

;

Звідси Отже,

Приклад 8. Обчислити площу, обмежену параболами (рис. 2)

;

 

.

Розв’язання. Знайдемо абсциси точок перетину заданих парабол. Для цього прирівняємо праві частини їх рівнянь:

.

Звідси

Рис. 2. Площа обмежена параболами

Для обчислення площі використовуємо формулу

де – криві, які обмежують фігуру .

У нашому випадку

 

.

 

 

Додатки

Синуси (косинуси), перша четверть

sin a

0'

6'

12'

18'

24'

30'

36'

42'

48'

54'

60'

1'

2'

3'

0о 1о 2о 3о 4о

0,0000

0,0000 0,0872

90о 89о 88о 87о 86о 85о

5о 6о 7о 8о 9о

0,0872

0,1736

84о 83о 82о 81о 80о

10о 11о 12о 13о 14о

0,1736

0,2288

79о 78о 77о 76о 75о

15о 16о 170 180 190

0,2588

0,3420

74o 73о 72о 71о 70о

20о 21о 22о 23о 24о

0,3420

0,4226

69о 68о 67о 66о 65о

25о 26о 27о 28о 29о

0,4226

0,5000

64о 63о 62о 61о 60о

30о 31о 32о 33о 34о

0,5000

59о 58о 57о 56о 55о

35о 36о 37о 38о 39о

0,5736

0,6428

54о 53о 52о 51о 50о

40о 41о 42о 43о 44о

0,6428

0,7071

49о 48о 47о 46о 45о

60'

54'

48'

42'

36'

30'

24'

18'

12'

6'

0'

cos a

1'

2'

3'

 

 

sin a

0'

6'

12'

18'

24'

30'

36'

42'

48'

54'

60'

1'

2'

3'

45о 46о 47о 48о 49о

0,7071

0,7660

44о 43о 42о 41о 40о

50о 51о 52о 53о 54о

0,7660

0,8192

39о 38о 37о 36о 35о

55о 56о 57о 58о 59о

0,8192

0,8660

34о 33о 32о 31о 30о

60о 61о 620 630 640

0,8660

0,9063

29o 28о 27о 26о 25о

65о 66о 67о 68о 69о

0,9063

0,9397

24о 23о 22о 21о 20о

70о 71о 72о 73о 74о

0,9397

0,9659

19о 18о 17о 16о 15о

75о 76о 77о 78о 79о

0,9659

0,9848

14о 13о 12о 11о 10о

80о 81о 82о 83о 84о

0,9848

0,9962

9о 8о 7о 6о 5о

85о 86о 87о 88о 89о 90о

0,9962 1,0000

1,0000

4о 3о 2о 1о 0о

60'

54'

48'

42'

36'

30'

24'

18'

12'

6'

0'

cos a

1'

2'

3'

 

Значення функції

х
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0, 054
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,5
4,0

Значення функції Лапласа Ф( х ) =

x
0,0	0,0000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,3413
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,4773
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,4986
3,5
4,0
5,0	0, 49999997
> 5	0,50000000.