Універсальною називають множину U, щоскладається із всіх можливих елементів, які володіють даною ознакою. Наприклад, множина планет Сонячної системи U = {Земля, Марс, Венера, Юпітер, Сатурн, Уран, Плутон, Меркурій, Нептун}. Помітимо, що поняття універсальної множини чітко не визначено, тобто некоректно, U можна включити в іншу множину W, і вона теж буде універсальної. Наприклад, довго вважалося, що множина дійсних чисел 
універсальна (тобто описує всю математику), поки не відкрили поле комплексних чисел 
й не зрозуміли, що не існує універсальної числової множини. Проте там, де область об'єктів не виходить за рамки якоїсь множини, іноді буває зручно оперувати із цим терміном.
Рівними називають дві множини А і В, щоскладаються з однакових елементів: 
. Наприклад, рівні множини рішень рівнянь 
і 
тому що їхнім рішенням є те саме число 6. Рівні множини букв, з яких складені слова «навіс» і «вісна». Рівними множинами є: корені рівняння 
й множина 
Тому задача «вирішити рівняння» - у реальності означає «вирішити рівняння в якійсь множині». Так, рівняння 
не має дійсних коренів: 
але має два комплексних корені 
Рівність двох множин А і В означає також, що одночасно 
й 
Інавпаки, виконання властивостей і 
означає виконання рівності А = В. Ці твердження рівносильні. Число елементів множини А називається потужністю множини й позначається 
або 
Так, потужність порожньої множини дорівнює 0: 
а потужність множини планет Сонячної системи 
або 
Введення операцій над множинами. З даних множин А і В можна побудувати нові множини за допомогою операцій об'єднання, перетинання, віднімання й ін. (табл. 1.1).
Таблиця 1.1
Основні операції над множинами
Приклад перший. Окружність — множина точок площини, рівновіддалених від даної (наприклад, точки 0), називаної центром. Математично для її знаходження треба задати рівняння рівновіддаленості 
(а це рівняння кола) і рівняння площини, що проходить через центр 0 зкоординатами 
Окружністю (Е) буде множина точок, що належать колу (L),і площини (Р),тобто їхнє перетинання: 
Тому для знаходження цих точок треба вирішити систему двох рівнянь. 
Отже, окружність
Приклад другій. Нехай 
тоді 
Зверніть увагу, що для різниці двох множин не виконується комутативний закон: 
Це стає очевидним, якщо одна множина порожня (наприклад, А),а інша — непуста.
Властивості операцій над множинами. Операції над множинами володіють рядом властивостей, схожих на властивості операцій додавання й множення чисел. Розглянемо закони, справедливі для будь-яких множин А, В, С.
1. 
— комутативний закон для операцій об'єднання й перетинання. Оскільки (а це неважко довести) цю властивість справедливо для будь-якого кінцевого числа множин, то зручно використовувати знаки 
й 
для позначення об'єднання й перетинання багатьох множин. Наприклад, 
означає об'єднання п множин поза залежністю від того, яке з них уважати першим, другим і т.д.
2. 
— сполучний закон (асоціативність) для операцій об'єднання й перетинання.
3. 
— розподільний закон (дистрибутивність) перетинання щодо об'єднання множин.
4. 
— розподільний закон об'єднання щодо перетинання множин.
5. 
— закони ідемпотентності.
6. 
і 
тобто універсальна й порожня множини є доповненнями одна другої.
7. Якщо позначити через 
всі підмножини 
множини А,то будуть справедливі рівності: 
і 
Операція доповнення володіє рядом характерних властивостей.
8. Для будь-якої множини 
справедливо (інволюція) 
9. Для будь-яких двох множин X і Y справедливо (закон де Моргана): якщо 
те 
або 
Доведемо останню властивість.
Нехай 
що рівносильно 
Це значить, що 
або 
, тобто 
або 
тому 
10. Множину А можна розбити на класи непересічних підмножин , якщо:
• об'єднання всіх підмножин збігається із множиною А: 
• перетинання будь-яких двох різних підмножин порожньо, тобто для будь-яких 
виконується 
Упорядковані елементи. Відношення на множинах (двомісні і багатомісні). Декартовий добуток. Область визначення й область значень двомісного відношення. Зворотне відношення. Композиція відношень
Двомісним, або бінарним, відношенням R називається підмножина пар 
прямого добутку 
тобто 
При цьому множину 
називають областю визначення відношення R, амножину 
- областю значень. Часто розглядають відношення R між парами елементів тої самої множини М,тоді 
Якщо а, b перебувають у відношенні R,це часто записується як аRb.
Нехай 
визначено відповідно до зображення на рис.1.1. Область визначення 
й область значень 
визначаються відповідно:
Рис. 1.2
Основні поняття. Відповідність між рівними множинами А = В називається відношенням на даній множині (А). Відношення в деяких числових множинах можуть виражатися термінами: «бути рівним», «бути більше», «бути не менше», «бути дільником» і т.д.
Відношення в множині ліній на площині можуть виражатися термінами: «бути паралельними», «перетинатися», «стосуватися» і т.д.
Назвемо n- місцевим відношенням R на непустій множині М підмножину 
При п = 2 відношення R називається бінарним. Тобто бінарним відношенням між елементами множин А і В називають будь-яка підмножину R множини 
й записують 
Для відношення R зворотним є відношення 
Бінарні відношення прийнято записувати у вигляді 
де 
Запис читається як «
і 
перебувають у відношенні 
».
Наприклад, 
(паралельні прямі), 
(дійсні числа), 
і т.д.
Розглянемо приклади бінарних відношень.
У школі докладно вивчають відношення 
й ін.
Графіки прямих і зворотних бінарних відношень, певних на множині дійсних чисел, симетричні щодо бісектриси I і III квадрантів. Це властивість зворотних бінарних відношень використовують при побудові графіків зворотних функцій 
і 
й 
де 
(рис. 3.2, а); 
і 
де 
(рис. 3.2, б).
Побудова однозначної зворотної функції можливо лише для монотонних функцій, тому при побудові графіків функцій, зворотних квадратичної і тригонометричної, були уведені обмеження. Для функції 
зворотну будували не для всієї області визначення, а лише для ненегативних значень х, тобто на інтервалі, де функція зростає.
а) б)
Рис. 3.2. Графіки прямих і зворотних бінарних відношень:
і 
й 
Декартів добуток. Нехай задані множини 
Декартівим (прямим) добутком цих множин називається множина, яка складається із всіх кортежів 
довжини 
в якій 
де 
Оскільки для завдання кортежу важливий порядок, то порядок множників важливий і в декартівому добутку.
Наприклад, декартівим добутком множин 
і 
буде множина пар 
Дужки для вказівки пар опускають там, де це не може привести до затруднень: 
Якщо множини 
й 
кінцеві, то їх декартів добуток може бути представлений в загальному виді таблицею зі 
стовпців і 
рядків.
Таблиця 1.5
| 
| … | 
|
| 
| … | 
|
| … | … | … | … |
| 
| … | 
|
Табличне завдання декартіва добутку 
|
| 
| |||
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
Наприклад, декартів добуток 
де 
а 
можна представити у вигляді табл. 1.5.
Число елементів у декартівому добутку кінцевих множин А і В дорівнює добутку числа елементів множини А на число елементів множини В. Варіанти запису: 
або 
Якщо 
то пишуть 
і називають n- й декартівим ступенем множини А.
Наприклад, площина є декартівим квадратом двох прямих і позначається відповідно 
У фізики просторово-часовий континуум є декартів добуток 
де 
— тривимірний простір, а 
— числова вісь часу.
Декартів добуток не володіє комутативним законом, тобто, загалом кажучи, пари (а, b)і (b, а)різні: 
Так, різні точки площини з координатами (5; 3) і (3; 5). Але для довільної й порожньої множин справедливо 
Прикладами декартівих добутків є таблиці додавання й множення, всі можливі набори пар координат на площині, трійок координат деякої точки в просторі. Залізничний квиток теж є кортежем, а сукупність всіх квитків - декартівим добутком множин паспортів, посадкових станцій, станцій прибуття, часу й інших множин.
Якщо число елементів множини X позначити 
то справедливо співвідношення 
Властивості бінарних відношень. Приведемо характерні властивості бінарних відношень, причому помітимо, що кожне конкретне відношення може володіти або не володіти деякими із зазначених властивостей.
1. Рефлективність: 
Наприклад, «бути не більше» на 
2. Антирефлективність. Має місце, коли відношення не має властивість 1 для будь-яких а, наприклад «бути більше», «бути молодше» і ін.
3. Симетричність будь-яких двох елементів. Відношення R на множині М називається симетричним, якщо для будь-яких 
одночасно справедливо 
й 
(тобто 
Симетрична паралельність прямих, тому що якщо 
те 
Симетричне відношення «бути рівним» на будь-якій множині або «бути взаємо простим» на 
4. Антисиметричність. Якщо для незбіжних елементів 
вірне відношення то хибне 
Антисиметричними є відношення «бути більше», «не менше» на 
«бути дільником» на 
й ін.
5. Транзитивність. Якщо й 
то 
для будь-яких 
Транзитивні відношення «бути більше», «бути паралельним», «бути рівним» і ін.
6. Антитранзитивність. Має місце, коли відношення не має властивість 5. Наприклад, «бути перпендикулярним» на множині прямі площини 
але невірно 
7. Асиметричність. Для жодної пари й не виконується одночасно й
8. Зв’язність. Для будь-яких і 
якщо 
та або
Деяка властивості конкретних бінарних відношень наведені в табл. 1.6.
Розглянемо основні види бінарних відношень.
