Основні операції над множинами. Універсальна множина. Кола Ейлера

Універсальною називають множину U, щоскладається із всіх можливих елементів, які володіють даною ознакою. Наприклад, множина планет Сонячної системи U = {Земля, Марс, Венера, Юпітер, Сатурн, Уран, Плутон, Меркурій, Нептун}. Помітимо, що поняття універсальної множини чітко не визначено, тобто некоректно, U можна включити в іншу множину W, і вона теж буде універсальної. Наприклад, довго вважалося, що множина дійсних чисел універсальна (тобто описує всю математику), поки не відкрили поле комплексних чисел й не зрозуміли, що не існує універсальної числової множини. Проте там, де область об'єктів не виходить за рамки якоїсь множини, іноді буває зручно оперувати із цим терміном.

Рівними називають дві множини А і В, щоскладаються з однакових елементів: . Наприклад, рівні множини рішень рівнянь і тому що їхнім рішенням є те саме число 6. Рівні множини букв, з яких складені слова «навіс» і «вісна». Рівними множинами є: корені рівняння й множина Тому задача «вирішити рівняння» - у реальності означає «вирішити рівняння в якійсь множині». Так, рівняння не має дійсних коренів: але має два комплексних корені Рівність двох множин А і В означає також, що одночасно й Інавпаки, виконання властивостей і означає виконання рівності А = В. Ці твердження рівносильні. Число елементів множини А називається потужністю множини й позначається або Так, потужність порожньої множини дорівнює 0: а потужність множини планет Сонячної системи або

Введення операцій над множинами. З даних множин А і В можна побудувати нові множини за допомогою операцій об'єднання, перетинання, віднімання й ін. (табл. 1.1).

Таблиця 1.1

Основні операції над множинами

 

Приклад перший. Окружність — множина точок площини, рівновіддалених від даної (наприклад, точки 0), називаної центром. Математично для її знаходження треба задати рівняння рівновіддаленості (а це рівняння кола) і рівняння площини, що проходить через центр 0 зкоординатами Окружністю (Е) буде множина точок, що належать колу (L),і площини (Р),тобто їхнє перетинання: Тому для знаходження цих точок треба вирішити систему двох рівнянь. Отже, окружність

Приклад другій. Нехай тоді

Зверніть увагу, що для різниці двох множин не виконується комутативний закон: Це стає очевидним, якщо одна множина порожня (наприклад, А),а інша — непуста.

Властивості операцій над множинами. Операції над множинами володіють рядом властивостей, схожих на властивості операцій додавання й множення чисел. Розглянемо закони, справедливі для будь-яких множин А, В, С.

1. — комутативний закон для операцій об'єднання й перетинання. Оскільки (а це неважко довести) цю властивість справедливо для будь-якого кінцевого числа множин, то зручно використовувати знаки й для позначення об'єднання й перетинання багатьох множин. Наприклад, означає об'єднання п множин поза залежністю від того, яке з них уважати першим, другим і т.д.

2. — сполучний закон (асоціативність) для операцій об'єднання й перетинання.

3. — розподільний закон (дистрибутивність) перетинання щодо об'єднання множин.

4. — розподільний закон об'єднання щодо перетинання множин.

5. — закони ідемпотентності.

6. і тобто універсальна й порожня множини є доповненнями одна другої.

7. Якщо позначити через всі підмножини множини А,то будуть справедливі рівності: і

Операція доповнення володіє рядом характерних властивостей.

8. Для будь-якої множини справедливо (інволюція)

9. Для будь-яких двох множин X і Y справедливо (закон де Моргана): якщо те або

Доведемо останню властивість.

Нехай що рівносильно Це значить, що або , тобто або тому

10. Множину А можна розбити на класи непересічних підмножин , якщо:

• об'єднання всіх підмножин збігається із множиною А:

• перетинання будь-яких двох різних підмножин порожньо, тобто для будь-яких виконується

 

Упорядковані елементи. Відношення на множинах (двомісні і багатомісні). Декартовий добуток. Область визначення й область значень двомісного відношення. Зворотне відношення. Композиція відношень

Двомісним, або бінарним, відношенням R називається підмножина пар прямого добутку тобто При цьому множину називають областю визначення відношення R, амножину - областю значень. Часто розглядають відношення R між парами елементів тої самої множини М,тоді Якщо а, b перебувають у відношенні R,це часто записується як аRb.

Нехай визначено відповідно до зображення на рис.1.1. Область визначення й область значень визначаються відповідно:

Рис. 1.2

Основні поняття. Відповідність між рівними множинами А = В називається відношенням на даній множині (А). Відношення в деяких числових множинах можуть виражатися термінами: «бути рівним», «бути більше», «бути не менше», «бути дільником» і т.д.

Відношення в множині ліній на площині можуть виражатися термінами: «бути паралельними», «перетинатися», «стосуватися» і т.д.

Назвемо n- місцевим відношенням R на непустій множині М підмножину При п = 2 відношення R називається бінарним. Тобто бінарним відношенням між елементами множин А і В називають будь-яка підмножину R множини й записують Для відношення R зворотним є відношення Бінарні відношення прийнято записувати у вигляді де Запис читається як « і перебувають у відношенні ».

Наприклад, (паралельні прямі), (дійсні числа), і т.д.

Розглянемо приклади бінарних відношень.

У школі докладно вивчають відношення й ін.

Графіки прямих і зворотних бінарних відношень, певних на множині дійсних чисел, симетричні щодо бісектриси I і III квадрантів. Це властивість зворотних бінарних відношень використовують при побудові графіків зворотних функцій і й де (рис. 3.2, а); і де (рис. 3.2, б).

Побудова однозначної зворотної функції можливо лише для монотонних функцій, тому при побудові графіків функцій, зворотних квадратичної і тригонометричної, були уведені обмеження. Для функції зворотну будували не для всієї області визначення, а лише для ненегативних значень х, тобто на інтервалі, де функція зростає.

а) б)

Рис. 3.2. Графіки прямих і зворотних бінарних відношень:

і й

Декартів добуток. Нехай задані множини Декартівим (прямим) добутком цих множин називається множина, яка складається із всіх кортежів довжини в якій де Оскільки для завдання кортежу важливий порядок, то порядок множників важливий і в декартівому добутку.

Наприклад, декартівим добутком множин і буде множина пар

Дужки для вказівки пар опускають там, де це не може привести до затруднень:

Якщо множини й кінцеві, то їх декартів добуток може бути представлений в загальному виді таблицею зі стовпців і рядків.

Таблиця 1.5

 

		…
		…
…	…	…	…
		…

 

 

Табличне завдання декартіва добутку

 

Наприклад, декартів добуток де а можна представити у вигляді табл. 1.5.

Число елементів у декартівому добутку кінцевих множин А і В дорівнює добутку числа елементів множини А на число елементів множини В. Варіанти запису: або

Якщо то пишуть і називають n- й декартівим ступенем множини А.

Наприклад, площина є декартівим квадратом двох прямих і позначається відповідно У фізики просторово-часовий континуум є декартів добуток де — тривимірний простір, а — числова вісь часу.

Декартів добуток не володіє комутативним законом, тобто, загалом кажучи, пари (а, b)і (b, а)різні: Так, різні точки площини з координатами (5; 3) і (3; 5). Але для довільної й порожньої множин справедливо

Прикладами декартівих добутків є таблиці додавання й множення, всі можливі набори пар координат на площині, трійок координат деякої точки в просторі. Залізничний квиток теж є кортежем, а сукупність всіх квитків - декартівим добутком множин паспортів, посадкових станцій, станцій прибуття, часу й інших множин.

Якщо число елементів множини X позначити то справедливо співвідношення

Властивості бінарних відношень. Приведемо характерні властивості бінарних відношень, причому помітимо, що кожне конкретне відношення може володіти або не володіти деякими із зазначених властивостей.

1. Рефлективність: Наприклад, «бути не більше» на

2. Антирефлективність. Має місце, коли відношення не має властивість 1 для будь-яких а, наприклад «бути більше», «бути молодше» і ін.

3. Симетричність будь-яких двох елементів. Відношення R на множині М називається симетричним, якщо для будь-яких одночасно справедливо й (тобто Симетрична паралельність прямих, тому що якщо те Симетричне відношення «бути рівним» на будь-якій множині або «бути взаємо простим» на

4. Антисиметричність. Якщо для незбіжних елементів вірне відношення то хибне Антисиметричними є відношення «бути більше», «не менше» на «бути дільником» на й ін.

5. Транзитивність. Якщо й то для будь-яких Транзитивні відношення «бути більше», «бути паралельним», «бути рівним» і ін.

6. Антитранзитивність. Має місце, коли відношення не має властивість 5. Наприклад, «бути перпендикулярним» на множині прямі площини але невірно

7. Асиметричність. Для жодної пари й не виконується одночасно й

8. Зв’язність. Для будь-яких і якщо та або
Деяка властивості конкретних бінарних відношень наведені в табл. 1.6.

Розглянемо основні види бінарних відношень.