Свойства открытых множеств

Функции нескольких переменных.

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных.

Примеры.

1) Площадь прямоугольника со сторонами х и у: S=xy.

2) Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами x,y,z: V=xyz.

3) По закону Ома, напряжение U в цепи электрического тока связано с сопротивлением R цепи и силой тока I зависимостью U=RI. Если считать U и R данными, то I определится как функция от U и R: I= .

Элементами арифметического пространства Rⁿ являются упорядоченные наборы из n действительных чисел (х₁,х₂,…,х_n). Эти упорядоченные наборы называются точками n-мерного пространства или n-мерными векторами.

х=(х₁,х₂,…,х_n), у=(у₁,у₂,…,у_n). х₁,х₂,…,х_n – координаты точки.

Определение. Расстояние между точками х=(х₁,х₂,…,х_n) и у=(у₁,у₂,…,у_n):

d(x,y)= (1)

Свойства расстояния:

1) d(x,y)³0, причем, d(x,y)=0 Û х=у, т.е. x_i=y_i "i=1,2,…,n.

2) d(x,y)=d(y,x) – свойство симметрии.

3) d(x,y)£d(x,z)+d(z,y) "x,y,zÎRⁿ – неравенство треугольника ( £ + ).

Пусть a(а₁,а₂,…,а_n) – произвольная точка пространства Rⁿ и пусть R>0 – некоторое число. Множество всех точек x(х₁,х₂,…,х_n):

В(a,R)={xÎRⁿ: d(x,a)<R} - открытый шар (сфера) с центром в точке а и радиуса R.

(a,R)={xÎRⁿ: d(x,a)£R} – замкнутый шар (сфера) с центром в точке а и радиуса R.

S(a,R)={xÎRⁿ: d(x,a)=R} – сфера в Rⁿ.

Следовательно, уравнение сферы в Rⁿ:

=R (2)

Определение. Пусть имеются числа a₁,…,a_n и b₁,…,b_n такие, что a₁<b₁,…,a_n<b_n. Множество всех точек M(х₁,х₂,…,х_n)ÎRⁿ, для которых

называют открытым параллелепипедом – Р.

Множество всех точек M(х₁,х₂,…,х_n)ÎRⁿ, для которых

называют закрытым параллелепипедом – .

Точка С(,…, ) – центр параллелепипеда.

Открытую сферу любого радиуса R>0 с центром в точке М₀(,…, ) можно рассматривать как окрестность этой точки. (Аналогично, в качестве окрестности можно рассматривать открытый параллелепипед с центром в точке М₀(,…, )).

Определение. Пусть Е – некоторое множество точек из Rⁿ. Множество Е называется ограниченным, если существует число R>0 такое, что все точки множества Е оказываются лежащими внутри сферы радиуса R с центром в точке О(0,…,0).

Теорема. Пусть множество Е(М)ÌRⁿ. Пусть

{x₁} - множество, которое образуют первые координаты точек МÎЕ,

…………………………………………………………………………..

{x_n} - множество, которое образуют n-е координаты точек МÎЕ.

Для того, чтобы множество Е(М) было ограниченным необходимо и достаточно, чтобы были ограниченными одновременно множества {x₁},..., {x_n}.

Доказательство. Необходимость. Пусть Е(М) – ограниченное. Следовательно, существует число R>0 такое, что d(M,O)<R "M(x₁,…,x_n)ÎE. Тогда имеем

0£êx₁ê£ <R, …, 0£êx_nê£ <R "M(x₁,…,x_n)ÎE

А это и означает, что множества {x₁},..., {x_n} ограничены.

Достаточность. Пусть множества {x₁},..., {x_n} – ограниченные. Следовательно, $С>0: êx₁ê<C, …,êx_nê<C "M(x₁,…,x_n)ÎE. Тогда <C =R

т.е., d(M,O)<R "MÎE. А это означает, что множество Е – ограниченное. ч.т.д.

Определение. Множество называется открытым, если каждая точка этого множества входит в него вместе со своей окрестностью.

Свойства открытых множеств.

1) множества Rⁿ и Æ - открытые.

2) Объединение любой системы открытых множеств – открыто (показать).

3) Пересечение конечной системы открытых множеств – открыто (показать).

Точка М₀ÎЕ называется точкой сгущения множества ЕÌRⁿ, если в каждой ее окрестности содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от М₀.

Определение. Множество FÌRⁿ называется замкнутым, если его дополнение в Rⁿ открыто (т.е. если Rⁿ\F – открыто).

Точки сгущения открытого множества, не принадлежащие ему, называются пограничными точками этого множества. Пограничные точки образуют границу множества.

Открытое множество со своей границей называется замкнутым.