В случае дискретных систем с коррекцией на входе непрерывной части (см. рис. 1.50) структурную схему сводят к эквивалентной непрерывной схеме на основании следующих преобразований
(1.62)
Моделью идеального импульсного элемента (ИИЭ) можно считать
(1.63)
Для экстраполятора нулевого порядка 
Согласно выражению (1.34), 
.
Если 
, то 
, 
и передаточная функция импульсного элемента
. (1.64)
Таким образом, реальный импульсный элемент с устройством хранения информации вносит запаздывание, равное 
. Преобразованная таким образом структурная схема показана на рис. 1.51.
На практике при моделировании применяют более точное выражение
. (1.65)
Как следует из (1.65), эта передаточная функция соответствует неминимально-фазовому звену.
 |
Рис. 1.51. Преобразованная структурная схема дискретной системы
При принятии решения о замене дискретной системы эквивалентной непрерывной системой необходимо сравнить значение периода дискретизации Т с рядом величин, влияющих на процессы в системе. Эквивалентирование возможно при выполнении ряда условий:
1. 
, где 
– наибольшая частота возмущающих и задающих сигналов. Обычно принимают 
.
2. 
, где 
– время регулирования, а п – порядок системы.
3. В следящих системах с учетом динамической точности 
, где 
– заданная ошибка слежения, 
– максимальное ускорение входного сигнала.
4. С учетом ухудшения запаса устойчивости 
, где 
– рабочая частота сигналов в системе.
5. С учетом показателя колебательности 
.
Из всех ограничений выбирают наиболее жесткое.
После этого осуществляется расчет коррекции методами непрерывных систем. Правильность выбора величины периода дискретизации подтверждается результатами компьютерного моделирования системы.
Пример.
Оценить влияние величины периода дискретизации Т на процессы в системе путем моделирования на ПЭВМ [5]. Структура скорректированной системы приведена на рис. 1.52. Схема моделирования в Simulink – на рис. 1.53.
 |
Рис. 1.52. Структурная схема скорректированной дискретной системы
Рис. 1.53. Схема моделирования скорректированной дискретной системы
В результате исследования системы при Т = 0,002 с кривые переходного процесса в непрерывной системе (без элемента 
) и с учетом дискретизации (при наличии ) практически совпали (рис. 1.54). При Т» 0,01 с в системе значительно возрастает перерегулирование (рис. 1.55, а), а при Т = 0,03 – процесс колебательный, расходящийся (рис. 1.55, б).
Рис. 1.54. Переходной процесс в непрерывной и в дискретной системе
при Т = 0,002 с
| 
|
Рис. 1.55. Переходные процессы в дискретной системе:
а – при Т = 0,01 с; б – при Т = 0,03 с
Величина Т = 0,002 с соответствует условию 
, где 
. В данной системе частота среза 
.
Цифровые ПИД-регуляторы
Рассмотрим последовательность синтеза корректирующего устройства дискретной системы в виде ПИД-регулятора.
Если непрерывный ПИД-регулятор описывается передаточной функцией
(1.66)
и непрерывным уравнением 
, то цифровой ПИД-регулятор описывается дискретной передаточной функцией и разностным уравнением. Получим дискретную передаточную функцию интегратора, который описывается уравнением
, (1.67)
что соответствует правилу прямоугольников (метод Эйлера) численного интегрирования.
Применив к уравнению (1.67) z–преобразование, получим 
, а при нулевых начальных условиях
. (1.68)
Дифференцирование описывается разностным уравнением
, (1.69)
а передаточная функция будет иметь вид
. (1.70)
Объединяя передаточные функции пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего звеньев, получим передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора
. (1.71)
Этой передаточной функции соответствует разностное уравнение
. (1.72)
Пример.
Пусть при коррекции непрерывной системы получен ПИД-регулятор с передаточной функцией 
. Необходимо записать передаточную функцию дискретного регулятора с периодом дискретизации Т = 0,01 с.
Так как 
, а 
, то 
.
