Лекции.Орг
 

Категории:


Универсальный восьмиосный полувагона: Передний упор отлит в одно целое с ударной розеткой. Концевая балка 2 сварная, коробчатого сечения. Она состоит из...


Макетные упражнения: Макет выполняется в масштабе 1:50, 1:100, 1:200 на подрамнике...


Искусственные сооружения железнодорожного транспорта: Искусственные сооружения по протяженности составляют в среднем менее 1,5% общей длины пути...

Передаточные функции импульсных АСУ



 

 

Представим структурную схему импульсной системы в виде, показанном на рис. 1.39.

 


Рис. 1.39. Структурная схема импульсной АСУ

 

Обычно при анализе АСУ рассматривают передаточные функции разомкнутых и замкнутых систем, а также передаточную функцию ошибки.

Передаточной функцией разомкнутой импульсной системы называют отношение изображений в смысле дискретного преобразования Лапласа выходного и входного импульсных сигналов при нулевых начальных условиях

 

, (1.43)

Аналогично

.

 

Основная задача состоит в определении W(z) по известной WПНЧ(z). Эту задачу решают в такой последовательности:

1. Находят функцию веса ПНЧ

 

. (1.44)

 

2. По функции веса находят аналитическое выражение для соответствующей дискретной функции веса .

3. Выполнив z-преобразование над , определяют

 

. (1.45)

 

Передаточная функция замкнутой системы по заданию

 

, (1.46)

причем

 

. (1.47)

 

Передаточная функция ошибки

 

. (1.48)

 

Зная эту передаточную функцию, можно найти дискретную функцию ошибки .

Пример. Определить передаточные функции импульсной системы, если

 

.

Решение. Передаточная функция приведенной непрерывной части

 

.

 

Передаточная функция разомкнутой системы

.

.

Основная передаточная функция

 

.

 

Передаточная функция ошибки

 

.

Устойчивость и качество дискретных систем

Условия устойчивости

 

 

Определения устойчивости непрерывных систем в основном применимы и к импульсным системам. Основная формулировка устойчивости такова: импульсная система устойчива, если ее собственное движение с течением времени затухает.

Решение разностного уравнения

 

, (1.49)

 

описывающего динамику замкнутой системы, состоит из двух частей

 

, (1.50)

 

где первая часть определяет свободное движение, а вторая – вынужденное движение.

Решение для дискретной функции y[nT] можно представить в виде суммы свободной и вынужденной составляющих

 

. (1.51)

 

При оценке устойчивости ИАСУ, как и в непрерывной системе, исследуется свободное движение. Оно может быть найдено при решении однородного разностного уравнения (без правой части)

 

, (1.52)

 

называемого характеристическим уравнением замкнутой ИАСУ. Это же уравнение можно получить и по передаточной функции замкнутой системы Kз(z), приравняв нулю ее знаменатель

 

. (1.53)

 

Решение уравнения (1.52) находим в виде

 

, (1.54)

 

где ci – постоянные коэффициенты, zi – корни характеристического уравнения.

Для устойчивости ИАСУ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

 

. (1.55)

 

Это возможно, когда все корни характеристического уравнения zi будут по модулю меньше единицы. Таким образом, условием устойчивости является соотношение

 

. (1.56)

 

Графически это условие можно интерпретировать, преобразовав р-плоскость в z-плоскость. Так как , то полагая p = jw, что соответствует мнимой оси, получим , что является окружностью единичного радиуса (рис. 1.40, а).

Эта связь указывает на следующее соответствие корней zi и pi:

 

при pi = 0 zi = 1;

если Re pi < 0, то | zi | < 1.

 

р
Отсюда вытекает математическая формулировка условия устойчивости: импульсная система устойчива, если все корни характеристического уравнения замкнутой системы (1.52) лежат внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат комплексной плоскости z (рис. 1.40, б).

Если хотя бы один корень лежит на окружности – система на границе устойчивости. Если хотя бы один корень лежит вне круга – система неустойчива.

 

 

Рис. 1.40. Отображение р-плоскости в z-плоскость (а),

круг единичного радиуса комплексной плоскости z (б)

 

Соответствие p-плоскости, z-плоскости и временных характеристик при различных случаях корней характеристического уравнения изображено на рис. 1.41.

       
 
р
 
 
р
 
   
р
 
 
р


Рис. 1.41. Соответствие корней характеристического уравнения p-плоскости,

z-плоскости и временных характеристик

 

Пример. Оценить устойчивость импульсной системы со структурой, представленной на рис.1.42.

       
   
р
 
р
 
 
 


Рис. 1.42. Структурная схема ИАСУ

 

Передаточная функция разомкнутой системы .

Перейдя к z-преобразованию, получим .

Передаточная функция замкнутой системы , откуда характеристическое уравнение z + (KT – 1) = 0. Здесь единственный корень z = 1 – KT. По условию устойчивости , то есть ½1 – KT½<1 и окончательно область устойчивости будет иметь вид неравенства: 0<KT<2. При всех других значениях K и T импульсная система будет неустойчивой.

В дискретных, как и в непрерывных системах, используют критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости без определения корней.

Их применение основано на формуле билинейного преобразования

 

, (1.57)

 

которое позволяет отобразить единичный круг плоскости z в левую часть комплексной плоскости w.

Такое преобразование называют также дробно-линейным преобразованием. Оно позволяет отобразить внутренности единичного круга в плоскости z на левую полуплоскость плоскости w, причем контур окружности единичного радиуса переходит при этом в мнимую ось на w-плоскости (рис. 1.43).

 

 

 


Рис. 1.43. К вопросу дробно-линейного преобразования

 

 

Пример. Характеристическое уравнение системы 1-го порядка

 

.

 

Определить условия устойчивости системы.

Решение.

С учетом формулы билинейного преобразования , запишем исходное характеристическое уравнение в следующем виде

 

,

,

.

 

Условие устойчивости

 

.

 

Пусть , тогда

 

,

,

.

 

Условие устойчивости

 

.

 

Здесь раскрывается важное свойство импульсных систем: устойчивость зависит как от общего коэффициента передачи k системы в разомкнутом состоянии, так и от периода дискретности T.

Для систем 2-го порядка необходимым и достаточным условием является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для систем 3-го и выше порядка применяют критерий Гурвица. Можно также применить критерий Михайлова.





Дата добавления: 2016-07-29; просмотров: 533 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.