Оцінка похибок результатів вимірів

Індивідуальне розрахункове завдання № 1

Математична обробка результатів експериментів

Та оцінки точності вимірів

Основні положення

Усі реальні процеси, що протікають у природі, є причиною багатьох зовнішніх і внутрішніх факторів, що діють випадково. Наприклад, процес руйнування породних зразків однієї і тієї ж літологічної різниці визначеної фаціальної належності протікає кожного разу по-різному. Це обумовлено випадковою формою структурних зв’язків, величиною вологи, що міститься у зразку, наявністю текстурних особливостей (внутрішні фактори), а також тим, що розміри випробуваних зразків, технологія їх виготовлення і швидкість навантаження трохи відрізняються (зовнішні фактори). Таким чином, процес руйнування зразків з метою одержання їх механічних характеристик – це випадковий процес. Отже для кожного випробуваного зразка у ході лабораторних досліджень одержують своє, відмінне від інших, значення механічної характеристики.

Щоб знайти вірогідні значення досліджуваної механічної характеристики необхідно виконати виміри по можливості на більшій кількості зразків. Для цього проби, що йдуть на виготовлення зразків, відбирають за визначеною методикою так, щоб вони якнайповніше являли собою всі можливі для даного породного масиву коливання мінерального складу і структурних особливостей.

 

Похибка вимірів та їх класифікація

При визначенні якого-небудь показника властивості матеріалу часто доводиться зіткатися з тим, що отримані значення цього показника мають неоднакові відхилення, що обумовлено різними причинами: неточністю вимірювальних приладів, неправильності методики вимірів, неточністю формул, помилками працівників, які роблять виміри, неминучими відхиленнями властивостей самого матеріалу. До окремої групи відносять грубі помилки чи промахи, що при обробці результатів вилучаються.

Перші дві причини, так звані систематичні помилки, можуть бути враховані заздалегідь і вилучені. Третя – випадкова помилка, на величину якої впливає безліч неконтрольованих причин: неоднорідність матеріалу, розходження у його технологічній обробці та ін.., викликає відхилення при вимірюванні в обидва боки реального значення. Ці відхилення, як правило, підкорюються нормальному закону розподілу. Відповідно до нормального закону розподілу зазначимо таке: відхилення не можуть мати той самий знак, тобто вимірювані значення бувають і більшими, і меншими від середнього; абсолютні значення відхилень чимось обмежені для більшості результатів вимірів; чим більше значення відхилення, тим рідше воно зустрічається; якщо кількість вимірів досить значна, то сума позитивних відхилень приблизно дорівнює сумі негативних.

 

За спеціальною методикою встановлюється необхідна кількість зразків, відповідно до якої з генеральної сукупності довільно відбирають визначену кількість проб. Відібрана партія проб являє собою випадкову вибірку.

Наприклад, з усіх проб, що являють собою генеральну сукупність, відбирають 7…13. З кожної проби виготовляють 3…4 зразки,максимально припустимих за даною методикою розмірів.

Ряд числових значень, отриманих при вимірюваннях, називають рядом вимірів або статистичною сукупністю.

Наприклад при визначенні міцності бетону партії бетонних виробів отримані такі значення, МПа: 21,0; 22,4; 21,4; 21,6; 25,6. Найпростіший спосіб оцінки міцності бетону в даній партії – розрахування середніх значень.

 

Оцінка похибок результатів вимірів

Середньоарифметичне значення – статистична характеристика, що описує одним числом результати деякого ряду вимірів. Середньоарифметичне значення обчислюють за формулою

, (1.1)

де , - результати окремих вимірів; n – кількість вимірів.

Для наведеного вище прикладу сума результатів усіх вимірів дорівнює 112 МПа, число вимірів n = 5. Середньоарифметичне значення міцності (середня міцність) бетону в даній партії 22,4 МПа.

Середньоарифметичне відхилення дає уявлення про середнє значення вимірюваної величини, але не відображає межі її коливання (варіювання). Так, при визначенні міцності бетону у двох партіях виробів показники мають такі значення і вимірюються в МПа: у першій – 21,0; 22,4; 21,4; 21,6; 25,6; другій – 19,0; 24,4; 20,1; 23,0; 25,5. Середня міцність в обох партіях бетону 22,4 МПа, але коливання міцності в другій партії значно більше, ніж у першій.

Середньоквадратичне відхилення S служить характеристикою середньої мінливості досліджуваної величини. Його виражають у тих же одиницях,що і середньоарифметичне значення, тобто

, (1.2)

де - сума квадратів відхилень усіх вимірів від середньоарифметичного; n – кількість вимірів.

Знак “плюс” чи “мінус” у формулі показує,що відхилення від середньоарифметичного може бути як в один, так і в другий бік.

Квадрат середньоквадратичного відхилення називається дисперсією.

На практиці для характеристики розкиду вимірів часто використовується поняття розмах (вимірювання) R, що являє собою різницю між максимальним і мінімальним значенням в ряді вимірів:

R = Xmax – Xmin.

Так для першої партії бетону R1 =

Для другої – R2 =

Розмах використовують, головним чином, при аналізі результатів невеликої кількості вимірів (до 10), щоб полегшити обчислення середньоквадратичного відхилення, яке становить

S =

Тут d – коефіцієнт, що залежить від кількості вимірів, прийнятий за даними таблиці 1.

n
d	1,31	1,69	2,06	2,33	2,53	2,70	2,85	2,97

Наприклад для першої та другої партії бетону при кількості вимірів 5 значення d складає 2,33. Тоді середньоквадратичне відхилення обчислюється за формулою (1.4).

 

При обробці даних досліджень при n >10 середньоквадратичне відхилення розраховується за формулою (1.2). Для зручності обчислень використовують таблицю, складену з 3 граф. У першій графі (позначеній Х) записують отримані результати; у другій (позначеній ) – відхилення окремих результатів (зі знаком «+» чи «-») від середньоквадратичного (Х), у третій (позначеній 2) – квадрати цих відхилень (зі знаком «+»). Необхідно пам’ятати, що сума відхилень зі знаком «+» має дорівнювати сумі відхилення зі знаком «-».

Середньоквадратичне відхилення – одна з найбільш важливих статистичних характеристик. Однак її абсолютне значення не дозволяє порівняти ступінь мінливості досліджувальної властивості в декількох групах матеріалів. Наприклад, у результаті випробування двох партій бетону на стиск отримано (Х1) = (S1) = і (Х2) = (S2) =

Порівнюючи абсолютні значення середньоквадратичного відхилення, можна зробити висновок, що межа міцності при стиснені у першій партії більш мінлива ніж у другій. Але якщо обидва середньоквадратичних відхилення виразити у відсотках, то для першої партії одержимо (S1\(X1)) *100% =

А для другої – (S2\(X2)) *100% =

Але якщо обидва середньоквадратичних відхилення виразити у відсотках, то для першої партіЇ одержимо (S₁/<X₁>) 100%= %, а для другої – (S₂/<X₂>)∙100%= %, тобто відносна мінливість у другій партії більша, ніж у першій. Показник відносної мінливості η, названий коефіцієнтом варіації, обчислюють так:

η₀₌ ∙100%=

При обробці експериментальних даних у деяких випадках окремі результати вимірів мають значно більші відхилення від середнього, ніж інші. У подібних ситуаціях насамперед перевіряють, чи не допущена помилка в процесі експериментального визначення. Якщо вдається точно встановити причину такого відхилення, то результат необхідно виключити з розрахунків. Однак бувають випадки, коли не вдається встановити причину значного відхилення кількості, а підозри в його помилковості залишаються. Тоді перевіряють приналежність передбаченої кількості до досліджуваного статичного ряду. У стандартах ця операція називається перевірка анормальності. Результати випробувань приймають анормальними і не враховують у подальших розрахунках яко величина

T_k= =

не перевищує припустимих значень з табл. 2.

Таблиця 2

Кількість результатів випробувань
Tk	1,15	1,46	1,67	1,82	1,94	2,03	2,11	2,18

При наявності в ряді вимірів двох підозрюваних у грубій помилковості чисел спочатку роблять розрахунки для того значення, що має більш різке відхилення, і вже після виключення його – для іншого.