Рассмотрим установившееся ламинарное вращательное движение вязкой жидкости в кольцевом зазоре между двумя соосными цилиндрами бесконечной высоты. При этом жидкость движется по круговым траекториям, плоскости которых перпендикулярны оси цилиндров. Схема движения имеет вид, представленный на рисунке 3.4.
Выделим в потоке элемент радиуса r и толщиной dr (рис 3.5). Если бы жидкость вращалась как твердое тело с угловой скоростью 
, то за время dt тока А перешла бы в положение 
. В действительности за счет деформации жидкости эта точка переходит в положение 
и угол скашивания 
равен:
(3.55)
Очевидно, что путь 
равен:
а
где 
- угловая скорость частиц, лежащих на окружности радиуса 
.
Подставив полученные отношения в формулу (3.55), получим
откуда после перехода к пределу при 
имеем
(3.56)
то есть формулу для определения скорости сдвига при вращательном течении жидкости в кольцевом зазоре.
Рассмотрим выделенный в потоке элемент радиуса r, толщиной dr и высотой h. Сила, приложенная к цилиндрической поверхности радиуса r равна 
, а к поверхности радиуса 
равна 
.
Так как выделенный элемент вращается с постоянной по времени угловой скоростью , то сумма моментов сил, приложенных к этому элементу, равна нулю, то есть
(3.57)
После элементарных преобразований и переходя к пределу при dr 
0, из (3.57) получим
(3.58)
или, после интегрирования
(3.59)
Для определения константы интегрирования С обозначим момент сил трения на внутреннем цилиндре радиуса 
и единичной длины через М. Тогда
(3.60)
где 
- напряжение трения на радиусе 
.Из формулы (3.59) следует, что
а из формулы (3.60)
Приравняв эти выражения, получим
(3.61)
Подставив выражение (3.61) в формулу (3.59), получим окончательно
(3.62)
Подставив соотношения (3.56) и (3.62) в соотношение 
, получим
(3.63)
то есть дифференциальное уравнение вращательного движения жидкости в кольцевом зазоре.
Для интегрирования этого уравнения примем, что внутренний цилиндр покоится, а внешний вращается с угловой скоростью 
. Тогда скорость течения на поверхности внутреннего цилиндра радиуса равна
(3.64)
а на поверхности внешнего цилиндра радиуса 
-
(3.65)
Так как угловая скорость равна
то из уравнения (3.63) имеем
(3.66)
Формула (3.66) может быть представлена в виде
(3.67)
где
(3.68)
Полученное выражение дает закон распределения скорости течения в кольцевом зазоре между двумя соосными цилиндрами. Положим в этом отношении r=Rе и, соответственно, 
, найдём
или, использовав формулы (3.64) и (3.65)
(3.69)
то есть получим формулу для определения угловой скорости вращения внешнего цилиндра.
Рассмотрим теперь течение вязкопластичной жидкости (жидкости Бингама – Шведова) в кольцевом зазоре. Так как 
, то в соответствии с формулой (3.62) всегда 
. Поэтому до тех пор пока 
, то есть 
, сдвига не происходит, то есть =0, и жидкость между цилиндрами неподвижна.
При М > М0 имеем 
. Пусть 
. Так как вдоль радиуса M=const, то из формулы (3.62) следует, что
где - 
- радиус на котором 
. Тогда, очевидно, при 
, а при 
.
Следовательно, в интервале 
будет происходить сдвиговое течение, а при 
жидкость будет вести себя как твердое тело, то есть вращаться с постоянной угловой скоростью.
Из формул (3.67 – 3.69) получим с учетом соотношения (3.62) при 
при 
В соответствии с формулой (3.62)
то есть с ростом момента М величина , и, следовательно, область, охваченная сдвиговым течением, также возрастает.
При 
сдвиговым течением охвачена вся область и в соответствии с формулой (3.69)
Если в кольцевом зазоре находится степенная жидкость, то полагая
из формул (3.67) и (3.68) получим соотношения
