Уравнения движения в напряжениях

Для сплошной среды эти уравнения в векторной форме имеют вид:

В прямоугольной декартовой системе координат (х₁, х₂, х₃) в развернутом виде эти уравнения запишутся в виде

(2.1)

плюс уравнение неразрывности

В уравнениях (2.1) неизвестные величины ρ, υ₁, υ₂, υ₃, р₁₁, р₂₂, р₃₃, р₁₂=р₂₁, р₁₃=р₃₁, р₂₃=р₃₂. Всего 10 неизвестных величин и 4 уравнения. Для получения дополнительных уравнений необходимо ввести в рассмотрение конкретные свойства изучаемой среды. Математически эти свойства выражаются зависимостью между напряжениями и характеристиками деформаций, которые эти напряжения вызывают в рассматриваемой среде. Это есть реологические уравнения среды.

Для вязкой ньютоновской жидкости реологические соотношения в прямоугольной декартовой системе (х₁, х₂, х₃) имеют вид

, , ,

,

или сокращенно

Для вязкопластичной жидкости

(2.2)

A – интенсивность скоростей деформации сдвига.

Нелинейная вязкопластичная жидкость в случае одномерного движения описывается моделью Шульмана З.П. [8]:

При τ_o = 0, m = n = 1 – модель вязкой ньютоновской жидкости. При m = n = 1 – получим модель вязкопластичной жидкости (Шведова - Бингама).

Характер поведения кривой течения (псевдопластичная или дилатантная) зависит от соотношения между n и m. Пример: τ_о = 0 n = 1, при m > 1 – псевдопластичная, при m < 1 – дилатантная. Величины n, m определяются природой вещества и его структурой.

Обобщенная модель Шульмана З.П., описывающая пространственное движение нелинейновязкопластичной несжимаемой среды имеет вид. [8]:

(2.3)

§2. Уравнения движения вязкой ньютоновской несжимаемой жидкости (Уравнения Навье – Стокса)

 

Уравнения Навье – Стокса в векторной форме [3]:

(2.4)

или кратко

Уравнения (2.4) замкнутая нелинейная система четырех уравнений в частных производных второго порядка с четырьмя неизвестными функциями ; величины - заданы.

Для получения конкретных решений при интегрировании системы уравнений (2.4) должны быть использованы граничные, а в случае нестационарного движения и начальные условия.

Для идеальной жидкости основные граничные условия на омываемой жидкостью твердой поверхности заключаются в непроницаемости поверхности и совпадении нормальных к поверхности составляющих скоростей частиц жидкости и точек самой поверхности.

В случае вязкой жидкости это условие заменяется условием «прилипания» частиц жидкости к твердой стенке, то есть отсутствует скольжение жидкости по поверхности.

В число граничных условий входит задание скорости вдалеке от обтекаемого тела в случае внешнего обтекания или расхода в случае протекания жидкости сквозь канал, а также задание давления в какой – либо одной точке потока, в частности, в бесконечном удалении от обтекаемого тела.

Вопрос о существовании и единственности решений системы уравнений (2.4) при соответствующих граничных и начальных условиях в общей форме не решен. Основная трудность – наличие в левых частях уравнений движения нелинейных слагаемых, так называемых квадратичных членов инерции.

Общего метода построения решений нелинейных дифференциальных уравнений (2.4) не существует. Поэтому при изучении отдельных движений вязких жидкостей приходится идти двумя путями: первый путь – задавать виды траекторий всех частиц жидкости и находить отвечающие этим траекториям частные решения уравнений (2.4); второй путь – использовать приближенные методы, позволяющие упрощать уравнения и приспосабливать их к конкретным задачам. Задавать траекторию всех частиц жидкости можно лишь в ограниченном числе случаев, второй путь – упрощение самих уравнений движения имеет широкие возможности.

Глава III