| Тема | Термін здачі КПІЗ |
| І семестр | |
| Змістовий модуль 1. Елементи лінійної і векторної алгебри та аналітичної геометрії. Теми 1-4 | тиждень 5 |
| Теми 5-8 | тиждень10 |
| Змістовий модуль 2. Математичний аналіз функції однієї змінної. Теми 9-12 | тиждень 14 |
| Теми 13-17 | тиждень 17 |
| ІІ семестр | |
| Змістовий модуль 3. Функції багатьох змінних. Теми 1-3 | тиждень 4 |
| Змістовий модуль 4. Інтегральне числення. Теми 4-9 | тиждень 8 |
| Змістовий модуль 5. Диференціальні та різницеві рівняння. Ряди. Теми 10-14 | тиждень 13 |
| Теми 15-17 | тиждень 17 |
Список рекомендованих джерел
1. Апанасов П. Т., Апанасов Н. П. Сборник математических задач с практическим содержанием: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 110 с.
2. Барковський В. В., Барковська Н. В. Математика для економістів: Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1997. – 397 с.
3. Белинский В. А., Калихман И. Л., Майстров Л. Е., Митькин А. М. Высшая математика с основами математической статистики. – М.: Высш. шк., 1965. – 516 с.
4. Бугір М. К. Математика для економістів: Навчальний посібник. - Тернопіль: Підручники і посібники, 1998. – 192 с.
5. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навчальний посібник: У 2-х ч. - К.: КНЕУ, 2001. - Ч.1. - 546 с.;-К.: КНЕУ, 2002.-Ч.2.-451с.
6. Вища математика: Навч.-метод. посібник для самостійного вивчення дисципліни / К. Г. Валєєв, І. А. Джалладова, О. І. Лютий та ін. - К.: КНЕУ, 1999. - 396 с.
7. Вища математика. Підручник / Домбровський В. А., Крижанівський І. М., Мацьків Р. С. та ін.; за редакцією Шинкарика М. І. – Тернопіль: Вид-во Карп’юка, 2003. – 480 с.
8. Глаголев А. А., Солнцева Т. В. Курс высшей математики. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1971. - 656 с.
9. Гудименко Ф. С., Борисенко Д. М., Волкова В. О. та інші. Збірник задач з вищої математики: Учбовий посібник. - К.: Вид-во КДУ, 1967. - 352 с.
10. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие. - Изд. 2-е. - М.: Высш. шк., 1974.- Ч. І. – 416 с.
11. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие. - Изд. 2-е. - М.: Высш. шк., 1974.-Ч. ІІ.- 464 с.
12. Доброжицкая И. Г., Доброжицкий М. Б. Краткое руководство к решению задач по высшей математике (для техникумов).- Минск: Вышейш. шк., 1972. - 200 с.
13. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике: Учеб. пособие. - Изд. 4-е.- Харьков: Изд-во ХГУ, 1970. - Ч. І, ІІ.- 576 с.
14. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике: Учеб. пособие. - Изд. 3-е, стереотипное. Ч. ІІІ. - Изд. 2-е, стереотипное. - Ч. ІV. - Харьков: Изд-во ХГУ, 1971. - 500 с.
15. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для економических вузов. - Ч. І. Основы высшей математики: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1982.- 272 с.
16. Клюева Л. А., Тальский Д. А. Практикум по математике для заочных техникумов: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1970.- 446 с.
17. Крыньский Х. Э. Математика для економистов: Пер. с польск. Меникера В. Д. Под ред. Баренгольца М. И. – М.: Статистика, 1970. - 584 с.
18. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие. - М.: Наука, 1971. - 352 с.
19. Неміш В. М., Процик А. І., Березька К. М.Практикум з вищої математики: Навч. посібник., 3-тє видання. – Тернопіль: ТНЕУ в-во «Економічна думка» 2010. - 304 с.
20. Петров В. А. Математические задачи из сельскохозяйственной практики: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1980.- 64 с.
21. Сборник задач по курсу высшей математики: Учеб. пособие для втузов. / Кручкович Г. И., Гутарина Н. И., Дюбюк П. Е. и др. / Под ред. Крючковича Г. И. - Изд. 3-е, перераб. - М.: Высш. шк., 1973. - 576 с.
22. Справочное пособие по математическому анализу. Ч. І. Введение в анализ, производная, интеграл / Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г. - К.: Вища шк., 1978.- 696 с.
23. Типові індивідуальні розрахункові завдання з вищої математики: Навчальний посібник / Домбровський І.В., Лесик О.Ф., Мигович Ф.М. та ін.; за редакцією Шинкарика М.І. – Тернопіль: в-во “Підручники і посібники”, 2008.-208с.
24. Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика: Пер. с англ. со 2-го изд. - М.: “Дело ЛТД”, 1993. - 864 с.
Зразок вдповідей на завдання КПІЗ №1
Теоретичне питання 1. «Лінійна модель торгівлі».
Одним із прикладів економічних процесів, які приводять до поняття власного числа і власного вектора матриці, є процес взаємних закупок товарів. Ми будемо розглядати лінійну модель обміну, або як її називають другими словами, модель міжнародної торгівлі.
Нехай є 
держав, 
національний дохід яких дорів-
нює відповідно 
. Долю національного доходу, яку держава 
витрачає на покупку товарів у держави 
позначимо коефіцієнтами 
. Будемо вважати, що весь національний дохід витрачається на закупку товарів або всередині держави, або на імпорт із інших держав, тобто
.
Розглянемо матрицю коофіцієнтів :
Матриця А, з властивістю, що сума елементів її довільного стовпчика дорівнює 1, називається структурною матрицею торгівлі.
Для будь-якої держави 
загальна виручка від зовнішньої і внутрішньої торгівлі складає
Для збалансованості торгівлі необхідно бездефіцитність торгівлі кожної держави, тобто виручка від торгівлі кожної держави не повинна бути меншою від її національного доходу, тобто 
або 
В цій умові не може бути знака нерівності. Дійсно, додавши всі ці нерівності, коли 
міняється від 1 до і згрупувавши, одержимо
Тому що в дужках є суми елементів матриці 
по
стовпчиках, які дорівнюють 1, ми отримали суперечливу нерівність. Отже, можливий тільки знак рівності.
Введемо вектор національних доходів 
держав, одержимо матричне рівняння 
або (A-E)X=0, де 
- матриця-стовпчик із координат вектора 
Значить задача звелася до знаходження власного вектора матриці A, який відповідає власному значенню λ=1.
Задача 1. Структурна матриця торгівлі трьох країн 
має вигляд
.
Знайти співвідношення між національними доходами країн, при якому буде торгівля збалансована.
Розв’язування. Знаходимо власний вектор 
який відповідає власному значенню 
розв’язавши рівняння 
або систему рівнянь
Позначимо національні доходи відповідно 
Тоді будемо шукати власний вектор 
, який відповідає власному значенню λ=1 розв’язавши рівняння (A-E)X=0.
Тому що ранг даної системи дорівнює 2, то одна із змінних, наприклад x3=C є вільною невідомою. Решту невідомих виразимо через неї. Розв’язуючи дану систему, знаходимо, що 
тобто 
Одержаний результат означає, що збалансованість торгівлі трьох країн досягається при векторі національного доходу 
тобто при співвідношенні доходів 
або 
Завдання 2. Обчислити визначники двома способами: а) за допомогою елементарних перетворень; б) розклавши за елементами рядка (стовпця).
І спосіб:
|
(-5)
|
(-2)
Другий рядок залишаємо без змін. Додамо до елементів першого рядка відповідні елементи другого. Додамо до елементів третього рядка відповідні елементи другого, помножені на (-2), додамо до елементів четвертого рядка відповідні елементи другого, помножені на (-5). Одержаний визначник, скориставшись теоремою розкладу, розкладемо визначник за елементами першого стовпця.
ІІ спосіб:
Завдання 3. Розв’язати системи рівнянь трьома методами: а) за правилом Крамера; б) методом Гаусса; в) матричним способом.
Розв’язати за правилом Крамера систему рівнянь
.
Розв’язування. Задана неоднорідна система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими. Основний визначник цієї системи
Тому, згідно з правилом Крамера, задана система має єдиний розв’язок, який знайдемо за формулами:
, 
, 
.
Спочатку обчислимо допоміжні визначники:
,
,
.
Тепер знаходимо
.
Отже, розв’язком заданої системи буде (2; -2; 1).
Розв’язати матричним способом систему рівнянь
.
Розв’язування. Основною матрицею заданої системи буде матриця
.
Визначник цієї матриці
Для запису оберненої матриці 
знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці 
:
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
.
Матриця, складена з алгебраїчних доповнень, має вигляд
.
Приєднана до матриці буде
.
Отже, обернена матриця має вигляд:
.
Розв’язок вихідної системи знаходимо за формулою 
, тобто
.
Розв’язком системи буде: 
Завдання 4. Для виготовлення чотирьох видів продукції 
використовують три види сировини 
. Запаси сировини та норми витрат наведені в таблиці:
| Вид сировини | Запаси сировини | Витрати сировини на одиницю продукції | |||
| P1 | P2 | P3 | P4 | ||
| S1 | |||||
| S2 | |||||
| S3 |
Визначити кількість продукції P1, P2,P3, P4, яку можна виготовити, якщо сировину буде повністю вичерпано. Вказати базовий розв’язок.
Розв’язування: Якщо вважати, що 
, 
, 
, 
– це кількість одиниць продукції Р1, Р2, Р3, Р4, то дану задачу можна записати в вигляді системи лінійних рівнянь:
,
що представляє собою математичну модель даної економічної задачі.
Розв’яжемо її методом Жордана-Гаусса, використовуючи таблиці:
Табл. 1. В першому рядку за ключовий елемент вибираємо 1. Цей рядок називається ключовим рядком. Переписуємо його без змін першим рядком другої таблиці. До відповідних елементів другого і третього рядків додаємо елементи першого помножені на “-2”. Результати записуємо другим і третім рядком таблиці 2.
| х1 | х2 | х3 | х4 | ві | |
| 1 | |||||
| -5 | -2 | -7 | -7 | ||
| -4 | -3 | -2 | -7 | ||
| 4/5 | 7/5 | 14/5 | |||
| 2/5 | 1/5 | 7/5 | |||
| -7/5 | -6/5 | -7/5 | |||
| 5/7 | |||||
| -1/7 | |||||
| 6/7 |
Табл. 2. В якості ключового елемента вибираємо “-5”. Результат ділення другого рядка на ключовий елемент, записуємо другим рядком третьої таблиці. Помноживши другий рядок таблиці 3 на “-3”, а потім на ”4”, додаючи отримані рядки відповідно до першого і третього рядків другої таблиці, отримуємо перший і третій рядки третьої таблиці, в яких відбувся процес виключення невідомої .
Табл. 3. В третьому рядку ключовий елемент (-7/5) є коефіцієнтом при невідомій . Тому ділимо третій рядок третьої таблиці на ключовий елемент (-7/5) і записуємо отриманий рядок третім рядком четвертої таблиці. Нам залишається виключити невідому з перших двох рядків третьої таблиці. Для цього третій рядок множимо спочатку на (-4/5) і додаємо до першого рядка третьої таблиці, а потім, множимо на (-2/5) і додаємо до другого рядка третьої таблиці. Результати дій записуємо першим і другим рядком четвертої таблиці. Таким чином ми отримали результуючу четверту таблицю, в якій кожний рядок має лише дві із чотирьох невідомих. Ця таблиця є розширеною матрицею системи рівнянь: 
В останній системі рівнянь 
називаються базисними змінними, оскільки матриця, складена з коефіцієнтів при них є одиничною. Невідома називається вільною, тому що може приймати будь-які значення. Але в нашій задачі невідомі 
(і =1, 2, 3, 4) виражають кількість реалізованої продукції, тому вони повинні бути невід’ємними, тобто 
≥ 0. А значить
Будь-якому значенню 
відповідає невід'ємний розв’язок, який задовольняє умові задачі. Отже, для 
, 
, 
, 
- базовий розв’язок.
Завдання 6. Знайти рівняння висоти 
трикутника 
якщо відомо, що 
Розв’язування. Запишемо рівняння сторони 
як рівняння прямої, що проходить через дві точки 
і 
за формулою:
,
тобто 
, або 
. Тут 
. З умови перпендикулярності двох прямих і 
, маємо 
. Отже, рівняння шуканої висоти буде: 
або 
Завдання 7. Написати канонічне рівняння гіперболи, що проходить через точки 
Розв’язування. Канонічне рівняння гіперболи знайдемо, використавши формулу 
. Оскільки точки 
і 
лежать на гіперболі, то їх координати задовольняють це рівняння. Звідси:
, 
Після алгебраїчного віднімання одержимо 
Із першого рівняння системи маємо:
отже, 
Тоді шукане рівняння гіперболи:
Завдання 8. Завод виробляє вироби і продає їх по 2 гривні за кожний. Керівництво заводу встановило, що сума 
загальних щотижневих витрат (у гривнях) на виготовлення виробів кількістю 
(тисяч одиниць) має таку закономірність:
Визначити щотижневу кількість виготовлення та продажу виробів , що забезпечує рівновагу витрат і доходу.
Розв’язування. Дохід від продажу тисяч виробів вартістю 2 гривні за кожний буде: 
Для рівноваги доходу та витрат треба, щоб виконувалась рівність: 
тобто 
Ця задача має дві точки рівноваги. Завод може виробляти 2000 (
) виробів з доходом і витратами 4000 гривень, або 5000 (
) виробів з доходом і витратами 10 000 гривень.
Розглянемо на цьому прикладі можливості заводу. Позначимо щотижневий прибуток через 
Тоді:
Звідси випливає, що при або маємо 
тобто ці значення будуть точками рівноваги.
Якщо 
тоді 
маємо 
тобто завод одержить прибуток. При інших значеннях 
тобто коли 
будемо мати 
- завод несе збитки.
Завдання 9. Знайти 
.
Розв’язування. При 
чисельник і знаменник дробу мають границю, що дорівнює нулю. Перенесемо ірраціональність у знаменник, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз до чисельника, тобто на 
, одержимо:
Завдання 10. У місті проживає 249 тис. мешканців. Щорічно народонаселення збільшується на 1,7%. Яка кількість жителів буде в цьому місті через 12 років?
Розв’язування. Використаємо формулу зростання за складними процентами:
.
Отже, через 12 років у місті буде 305 тис. жителів.
Завдання 11. Кожного місяця студент вносить 100 гривень на свій рахунок накопичення з одержанням прибутку 5% щомісячно. Обчислити величину його накопичення після здійснення 12 внеску.
Розв’язування. Оскільки табличне значення 
рівне 
, то
грн..
Завдання 12. В день 55-річчя працівниця фірми “Остер” відкрила рахунок ренти в страховій компанії “УНІВЕРСАЛЬНА” за умови щорічного отримання у свій день народження 1000 грн. протягом 15 років. Яку суму внесено на рахунок ренти, якщо кошти прийнято з 5% щорічним зростанням?
Розв’язування. Використаємо формулу 
. В нашій задачі регулярні виплати 
грн.. Коефіцієнт 
взято із таблиці Д8 і рівний 
. Значить 
грн..
Отже, працівниця фірми повинна покласти на рахунок ренти 10379,66 грн., щоб одержувати по 1000 грн. щорічно протягом 15 років.
Завдання 13. На час навчання студент університету отримав з фонду навчання в борг 8000 грн. Цей кредит йому надано із 8% щорічного зростання і умовою щорічного повернення боргу в кінці кожного року після закінчення університету протягом 15 років.
Скільки коштів повинен повертати студент кожного року після закінчення університету?
Розв’язування. Шукана величина P щорічної сплати боргу
студентом знаходиться за формулою 
.
В даному випадку борг 
грн., час його повернення 
, відсоток зростання 
, 
. Із таблиці Д 8 знаходимо 
Тому
грн..
Отже, для погашення боргу студент повинен в кінці кожного року сплачувати фонду навчання 934,64 грн.
Завдання 14. Знайти похідні функцій:
а) 
; б) 
.
Розв’язування.
а) Використаємо правило диференціювання для суми двох диференційованих функцій, а потім знайдемо похідні складних функцій:
б) Задану функцію прологарифмуємо, а тоді знайдемо похідну складної функції:
Завдання 15. Обчислити 
.
Розв’язування. Безпосередньою за допомогою підстановки можна переконатися, що маємо невизначеність виду 
Застосуємо правило Лопіталя:
Завдання 16. Обчислити 
.
Розв’язування. У даному випадку використаємо правило Лопіталя два рази, оскільки дане відношення і відношення похідних призводить до невизначеності виду 
. Отже,
Завдання 17. Знайти еластичність попиту 
стосовно ціни 
Розв’язування. Знайдемо еластичність попиту:
При 
маємо 
Це означає, що попит є еластичним. При ціні 5 грн. підвищення її на 1% приведе до зниження попиту на 2%.
Завдання 18. Підприємство за місяць виготовляє х одиниць продукції. Сумарні витрати виробництва описуються функцією 
, 
- залежність між питомою ціною і кількістю одиниць продукції х, яку можна продати по цій ціні. Розрахувати, за яких умов прибуток буде максимальним. Визначити маржинальні і сумарні витрати, прибуток при цих умовах.
Розв’язування. Прибуток 
визначається як різниця між доходами і сумарними витратами виробництва 
.
В нас дохід - 
сумарні витрати - 
прибуток 
- 
Знайдемо маржинальний прибуток - 
.
Максимальний прибуток буде тоді, коли 
оскільки 
При цьому 
; 
; 
.
Отже, щоб прибуток був максимальним, треба випускати 120 од. продукції.
Маржинальні витрати - 
сумарні витрати
.
Максимальний прибуток
.
Завдання 19. При відомій функції попиту 
і пропозиції S=S(p)=р+1, де Q і S -кількість товару; p -ціна товару.
Знайти:
а) рівноважну ціну;
б) еластичність попиту і пропозиції для рівноважної ціни;
в) зміну доходу при підвищенні ціни на 5% від рівноважної.
Розв’язування.
а) рівноважна ціна – ціна, при якій попит і пропозиція врівноважуються. Тому, рівноважна ціна визначається з рівняння 
р=3 грн.
б) знаходимо еластичність попиту і пропозиції за формулами:
В даному випадку
Для рівноважної ціни р=3 маємо 
Знайдені значення еластичності за абсолютною величиною менші за 1, тоді і попит, і пропозиція даного товару при рівноважній ціні нееластичні відносно ціни, тобто зміна ціни не призведе до різкої зміни попиту і пропозиції. Так, при підвищенні ціни на 1%, попит зменшиться на 0,75%, а пропозиція підвищиться на 0,75%.
в) при підвищенні ціни p на 5% від рівноважної, попит зменшиться на 
, а дохід зросте на 3,75%.
Завдання 20. Дослідити функцію 
і побудувати її графік.
Розв’язування. Задана функція є дробово-раціональною, тому визначена на всій числовій осі, крім точки 
в якій знаменник перетворюється в нуль, тобто
.
Функція є неперервною у своїй області визначення, крім точки де вона має розрив другого роду.
Оскільки 
, то 
і 
тобто функція не характеризується властивостями парності чи непарності: не є ні парною, ні непарною. Графік не буде симетричним ні відносно осей координат, ні відносно початку координат.
Задана функція не є періодичною, оскільки
.
Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат. При 
одержимо 
тобто 
У цій точці графік перетинає дві координатні осі.
Знайдемо асимптоти графіка функції. Однобічні границі функції в точці розриву будуть
, 
.
Отже, пряма 
є вертикальна асимптота. Горизонтальної асимптоти графік не має, оскільки
.
Похилі асимптоти мають рівняння 
. Тут 
, 
.
У нашому випадку:
;
Тобто 
є асимптотою кривої.
Знайдемо інтервали зростання, спадання і екстремум функції. Похідна функції буде
.
Похідна не існує в точці і дорівнює нулю, коли 
тобто при 
і 
Отже, критичними точками першого роду будуть лише точки і 
бо не належить області визначення функції.
Складаємо таблицю з урахуванням точки розриву і критичних точок.
|
| 
| 
| 
|
| 
|
| 
|
| + | - | не існує | + | + | ||
    
|
| 
| не існує | Екстремуму немає |
Отже, на інтервалах 
і 
функція зростає, а в інтервалі 
– спадає.
Екстремальним значенням функції буде
.
Знайдемо інтервали опуклості та угнутості графіка, точку перегину.
Друга похідна дорівнює
Усі можливі точки перегину знаходимо з рівняння 
, тобто є критичною точкою другого роду.
Складаємо таблицю з урахуванням точки розриву і
|
| 
|
| 
|
|
|
| - | не існує | - | + | |
| 
| не існує |
| Точка перегину | 
|
Одержимо 
Таким чином, найменшого значення функція досягає на правому кінці відрізка в точці і дорівнює –99, а найбільшого – у критичній точці і дорівнює 1.
Отже, на інтервалах і графік функції опуклий, а на інтервалі - угнутий. Значення функції в точці перегину буде 
За одержаними результатами будуємо графік заданої функції.
- 3
0 
Завдання 21. Під яким кутом 
потрібно збити три однакових дошки, щоб одержати водонапійний жолоб найбільшої місткості.
Розв’язування. Найбільшу місткість буде мати жолоб тоді, коли поперечний переріз буде найбільшим. У цій задачі поперечний переріз має форму рівносторонньої трапеції.
Позначимо через 
і врахуємо, що ширина кожної дошки дорівнює 
Тоді висота трапеції 
. Окрім цього, 
, тому
Е К
А Д
В С
Площа трапеції дорівнює
Похідна функції
Оскільки похідна на інтервалі 
перетворюється в нуль тільки при 
, а 
, 
, 
, то 
приймає найбільше значення при , тобто при 
.
Крім цього,
При маємо 
, тобто 
Це означає, що при функція 
досягає максимуму. Отже, якщо три дошки збити під кутом , то водонапійний жолоб матиме найбільшу місткість.
Завдання 22. Нехай виробнича функція визначається функцією Кобба-Дугласа. Щоб збільшити випуск продукції на
5%, треба збільшити фонди на 10% або чисельність робітників на 15%. В 2006 році один робітник за місяць виготовляв продукції на 2000 грн., а всього робітників було 1000. Основні фонди оцінювались в 4 млн. грн. Записати виробничу функцію, величину середньої фондовіддачі і середньої продуктивності праці, еластичність випуску по праці і по фондах.
Розв’язування. Еластичність випуску по праці 
а по фондах 
Отже, функція Кобба-Дугласа має вигляд: 
,
Підставляючи інші величини, одержимо:
, тобто 
Отже, шукана виробнича функція 
Середня фондовіддача дорівнює 
, а середня
продуктивність 
, 
.
Завдання 23. Величина товарообміну (тисяч гривень) і витрати на обіг 
(гривень) подані у таблиці
| х | ||||||
| у | 628,5 | 788,5 |
Знайти аналітичну залежність між та .
Розв’язування. Спочатку побудуємо у прямокутній системі координат задані таблицею точки.
Рисунок дає змогу зробити висновок про існування лінійної залежності між і , тобто у вигляді 
Параметри 
знаходимо із системи лінійних рівнянь:
.
Будуємо розширену таблицю:
| 
| 
| 
| |
| 628,5 788,5 | ||||
|
За таблицею складаємо систему рівнянь при 
:
або 
.
Розв’язавши цю систему, маємо 
Одержали функціональну залежість вигляду 
Завдання 24. Мале підприємство виробляє товари А і В. Загальні щоденні витрати V (у гривнях) на виробництво х одиниць товару А та у одиниць товару В відомі: V=320 – 14х-10у+ 0, 2 х2+ 0, 1 у2. 1)Визначити кількість одиниць товарів А і В, яку потрібно виробляти, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними.
Розв’язування. Загальна функція витрат відома: V=320–14x–10y+0, 2х2+0,1 у2. Щоб знайти кількість одиниць товарів х товару А і у товару В, необхідно дослідити цю функцію на екстремум.
Знайдемо частинні похідні І-го порядку 
Прирівнюючи їх до нуля, 
одержимо систему рівнянь 
Знайдемо частинні похідні II порядку: 
Обчислимо D=АС-В2=0, 4 
0, 2-0=0, 08 > 0 і А=0, 4 > 0
Отже, функція витрат при х =35, у=50 досягає мінімуму. Це означає, що для того, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними, необхідно виробити 35 одиниць товару А і 50
одиниць товару В.
Завдання 25. Знайти невизначений інтеграл 
.
Розв’язування. Зробимо підстановку 
тоді 
Тому
