Хевисайдом была разработана теорема разложения сложной функции на простые с последующим определением оригинала, т.е. тока или напряжения, как функции времени

Т.е. , где F₁(p) – полином числителя, F₂(p) – полином знаменателя.

Такую функцию можно разложить на элементарные дроби следующим образом:

. Здесь р_К - корни знаменателя.

Тогда оригинал легко ищется в виде суммы экспонент: . Причем коэффициенты . Разложение возможно, если старшая степень числителя меньше степени знаменателя.

Если один из корней равен 0, то

Рассмотрим пример:

Корни могут быть комплексно-сопряженными. В этом случае пользуются общей формулой, причем

, если . Здесь M_k - это модуль, а ψ_k - аргумент А _k.

Можно использовать программные средства ЭВМ (Mathcad).

Операторные передаточные функции в теории цепей

Операторная передаточная функция представляет собой отношение операторного изображения реакции электрической цепи к операторному изображению воздействия на цепь. Техническое название - операторные коэффициенты передачи.

В зависимости от вида воздействия и типа реакции различают четыре варианта коэффициентов передач:

· по напряжению:

· по току:

· по сопротивлению:

· по проводимости:

Передаточные функции по напряжению и току безразмерные, а по проводимости и сопротивлению имеют размерность См и Ом. Передаточные функции обычно определяются при нулевых независимых начальных условиях и используются для линейных цепей, где соблюдается коэффициент пропорциональности. Методика расчета основана на применении операторного метода, при этом воздействие рассматривается в общем виде, не конкретизируется, но может и конкретизироваться.

Рассмотрим следующий пример:

Определим операторный коэффициент передачи по напряжению. Для этого составляем операторную схему замещения при нулевых условиях:

Можно взять U₁(p)=1/p. Получаем:

Если есть операторные передаточные функции, то от них модно перейти к комплексным передаточным функциям, заменив p на jω, а затем определить амплитудно-частотную характеристику цепи (АЧХ), как модуль комплексной передаточной функции, и фазо частотную характеристику (ФЧХ), как аргумент комплексной функции.

АЧХ показывает, как изменяется отношение амплитуды выходного сигнала цепи к амплитуде входного при изменении частоты гармонического воздействия на цепь. ФЧХ показывает, как изменяется разность фаз выходного и входного сигнала при изменении частоты гармонического воздействия на цепь.

Рассмотри пример:

Для цепи рассмотренной ранее, где в Z₁ индуктивность, а в Z₂ такая же индуктивность и последовательно резистор получаем:

- АЧХ

- ФЧХ.

H(0)=1, H(∞)=0,5, φ(0)=0, φ(∞)=0, но в промежутке φ<0.