Найдем изображение единичной ступенчатой функции Хевисайда и экспоненты

Изображение производной и интеграла по времени

Используя эти свойства можно от интегральных и дифференциальных уравнений перейти к алгебраическим.

В ТЦ рассматривают основные законы но переводят их в операторную форму, для так называемых операторных схем замещения электрической цепи.

Законы Кирхгофа в операторной форме

Поскольку интегрирование – функция линейная и сумма интегралов соответствует интегралу суммы, то формально законы Кирхгофа можно записывать в операторном виде для операторных токов и напряжений, аналогично комплексной форме.

Рассмотрим 1 закон Кирхгофа

i₁(t)-i₂(t)-i₃(t)=0

I₁(p)-I₂(p)-I₃(p)=0

Для напряжений аналогично.

U₁(p)+U₂(p)…..= 0

При записи может использоваться E(p) – операторная ЭДС или операторное изображение ЭДС.

Операторные схемы замещения реактивных элементов ЭЦ

1) Индуктивный элемент

Из математики известно, что

В этом случае: U_L(p)=L∙(p∙I_L(p)-i_L(0))=pL∙I_L(p)-L∙i_L(0).

Здесь pL=Z_L(p) –можно представить как операторное сопротивление индуктивности. Второе слагаемое отражает начальные условия или запасы энергии в индуктивности.

Таким образом, операторная схема замещения индуктивного элемента выглядит следующим образом:

2) Емкостной элемент

Из математики известно, что . Тогда для данного случая получаем: . Здесь первое слагаемое отражает начальные условия или запасы энергии в емкости, а 1/pC= Z_C(p) - операторное сопротивление емкости.

Таким образом, операторная схема замещения емкостного элемента выглядит следующим образом:

Закон Ома в операторном виде выполняется для резистора всегда

I_R(p)=U_R(p)/R, а для индуктивных и емкостных элементов только при нулевых начальных условиях.

После составления операторной схемы замещения цепи к ней можно применять любые методы расчета в операторной форме: МТВ, МКТ, МУН и др.

Применение операторного метода к параллельной LC-цепи

Здесь включаемый источник эдс и нулевые независимые начальные условия.

В полученной схеме можно рассчитать любой операторный ток.

Сделаем проверку. Должны выполняться следующие условия: . В данном случае . Произведя проверку, получаем тождество. Следовательно, решение верное. Но теперь необходимо найти ток, как функцию времени. Этому будут посвящены следующие темы.

Нахождение функции времени в операторном методе

Технически это значит нахождение откликов или реакций электрической цепи при каких-то коммутациях, т.е. зависимости токов или напряжений в электрических цепях. В общем, это математическая процедура нахождения оригинала по операторному изображению.

Теоретически можно выделить три способа:

· по обратному преобразованию Лапласа.

· табличным способом – подгонка операторного изображения под какие-то стандартные табличные функции.

Оригинал Изображение

sin(ω∙t)

cos(ω∙t)

· применение теоремы разложения Хевисайда.

При определении операторных токов и напряжений в RLC -цепях можно увидеть, что они представляют собой дробно-рациональные функции сложного вида.