На емкостном элементе напряжение скачком измениться не может, а ток через него может измениться скачком

Рассмотрим схему с индуктивным элементом на рис.4.

В данной схеме в момент времени подключения источника, напряжение на узлах 1,1 скачком принимает значение равным ЭДС, а ток остаётся равным нулю.

Именно эта особенность поведения цепи при t → 0 положена в основу получения математических операторов, определяющих понятие индуктивного элемента теории.

 

, (2,6)

 

 

Математическая структура операторов отражает сущность законов коммутации:

· . (2.7)

Дифференциальный оператор может приобретать бесконечно большое значение при малом изменении функции под знаком оператора, или, на языке теории цепей – напряжение на индуктивном элементе может измениться скачком.

Интегральный оператор имеет меру нуль в бесконечно малой области точки разрыва подынтегральной функции.

Другими словами – ток через индуктивный элемент скачком измениться не может.

Таким образом, полная формулировка закона коммутации для индуктивного элемента состоит из двух частей.

АКСИОМА 8.

На индуктивном элементе напряжение скачком измениться может, а ток через него измениться скачком не может.

 

Теоретическое представление экспериментальных данных. Модель цепи на основе дифференциальных уравнений. Переходная характеристика

Применение приведенной системы аксиом для построения теории начнём с составления математического образа цепи.

Естественно возникает вопрос: зачем нужна математическая модель?

Для ответа на вопрос сформулируем две основные задачи теории.

Задача анализа цепи.

В этой задаче даётся схема цепи, функция источника (источников), а также параметры элементов, входящих в цепь.

Требуется определить токи ветвей и напряжения на всех элементах, в конечном итоге, как функции времени.

Задача синтеза цепи.

В этой задаче задана функция источника, назначение цепи, совокупность необходимого числа параметров, характеризующих цепь в целом, и, в ряде случаев, алгоритм расчёта.

Требуется получить схему цепи, а также параметры элементов, её составляющих.

Для решения этих задач собственно и формируется теория цепей.

Займёмся задачей анализа.

Математической моделью цепи назовём уравнение (совокупность уравнений), которое составлено с помощью приведенной системы аксиом для узла (узлов) или контура (контуров) схемы данной цепи.

Поскольку исходные данные для формирования указанных аксиом были получены из экспериментальных зависимостей величин тока и напряжения во времени и аксиомы сформулированы на множестве токов и напряжений, где независимой переменной выступало время, естественно формировать уравнения, где независимой переменной будет являться также время.

Рис.13а Рис.13б

 

Рассмотрим процесс образования уравнений на примитивах RL и RC, которые были использованы при эксперименте.

Процесс формирования уравнений начинается с подготовки схемы, где следует первоначально произвольно указать направление падения напряжения на источнике энергии.

Рассматриваемые схемы представляют одноконтурные цепи, поэтому можно воспользоваться лишь одной из аксиом и записать – алгебраическая сумма напряжений на элементах контура равна нулю.

Для образования суммы введём произвольное направление обхода контура, например, по часовой стрелке.

Получим для схемы на рис. 13а

. (2.1)

Аналогичное уравнение можно записать и для схемы на рис 13б

. (2.2)

Далее проведём очевидные преобразования:

(2.3)

Первое уравнение превратим в дифференциальное путём дифференцирования по переменной t, второе оставим без изменения.

 

(2.4)

Полученные уравнения есть дифференциальные уравнения первого порядка, неоднородные, линейные, с постоянными коэффициентами относительно функции i(t).

Полученные уравнения представляют собой модели самого общего смысла, поскольку при их выводе не использовано никаких предположений относительно функции источника.

Рассмотрим решение каждого из них. Для этого необходимо задаться функцией u1,1'(t).

Для её определения вернёмся к экспериментальным данным предыдущего параграфа.

После замыкания ключа, напряжение, которое действует на узлах 1,1, может быть представлено единичной функцией

u1,1(t)={ E, t>0,

0, t<0. (2.5)

Теперь обратимся к решению уравнений.

Первое уравнение при t>0 из (2.4) примет вид

Это однородное уравнение и решение можно провести на только основе построения характеристического уравнения по переменной p:

(2.6)

 

Постоянную интегрирования А найдём из начальных условий, которые определим, используя законы коммутации для схемы на рис.13а:

- в момент времени t=0, ток скачком изменяется от 0 до величины E/R, i1,1'(0)= E/R.

Получим А= E/R.

Окончательно запишем

. (2.7)

 

График данной функции аналогичен графику на рис 1.6. Характер кривой определяется, как сейчас видно из (2.6), некоторой константой, которою называют постоянной времени RC цепи. В зависимости от её величины экспонента будет иметь разную крутизну изменения.

Располагая функцией тока, можно определить и функцию напряжения, используя соотношения

Обратимся ко второму уравнению из (2.4).

Это уравнение является неоднородным, поэтому решение должно быть представлено суммой 2-х функций – общего решения однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному уравнению, и частного решения данного неоднородного уравнения.

(2.8)

Решение однородного уравнения также будем искать на основе характеристического уравнения:

 

(2.9)

Частное решение будем искать в той же форме представления, что и решение однородного уравнения

(2.10)

 

Отличие состоит лишь в определении α(t) как функции вычисляемой по формуле, приведенной в (2.10).

Таким образом, выражение (2.8) можно представить суммой

, (2.11)

в которой не определена лишь постоянная интегрирования А.

Найдём нужное значение из начальных условий:

- при t=0, i1,1'(t)=0, что следует из закона коммутации для индуктивного элемента (при t<0 ток равен нулю, поскольку напряжение на входе нулевое, а значит );

- А=-E/R.

Окончательно, выражение для тока примет вид

. (2.12)

В данной формуле отношение L/R является постоянной времени для рассматриваемой RL- цепи.

График, соответствующий (2.12) по форме соответствует кривой тока на рис.9. Характер кривой определяется постоянной времени: чем она меньше, тем выше скорость нарастания (уменьшения) экспоненты.

 

4.о.Развитием данной темы является методика получения системы дифференциальных уравнений на основе составления системы уравнений во временной области по любому из методов составления уравнений по заданной схеме электрической цепи.