Момент импульса абсолютно твердого тела относительно оси вращения

 

Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси АВ.

Такое твердое тело имеет одну степень свободы и его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого, условно выбранного, начального положения этого тела. Мерой перемещения тела за малый промежуток времени dt полагают вектор элементарного поворота тела. По модулю он равен углу поворота тела за время dt, а его направление совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, направление вращения рукоятки которого совпадает с направлением вращения тела (рис. 1). Вектор угловой скорости . (4)

Если – радиус вектор, проведенный из некоторой точки О на оси вращения ОZ до произвольной материальной точки тела, то скорость этой точки определяется соотношением , (5)

где – составляющая вектора , перпендикулярная оси, т.е. – кратчайшее расстояние от оси до материальной точки.

Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, имеет вид

dL_z/dt = M_zВНЕШН, (6)

где M_zВНЕШН – проекции моментов импульса и момента силы M_zВНЕШН на ось вращения z. Выведем другое выражение для уравнения (6). Определим момент импульса относительно точки О, лежащей на оси ОZ (см. рис. 2), полагая , где – центр окружности, по которой движется i -я материальная точка твердого тела, тогда

.

Первое слагаемое перпендикулярно оси ОZ, а второе параллельно, так как .

Таким образом или , (7)

где величина

Рис. 2

(8)

называется моментом инерции тела относительно оси Z.

Тогда уравнение динамики тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z [см. (6)], можно записать в виде M_zВНЕШН или M_zВНЕШН.

 

Вопрос № 29 Момент инерции тела относительно оси вращения

 

Момент инерции - величина, характеризующая распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении.

Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело. Момент инерции элементарной (точечной) массы mi, отстоящей от оси на расстоянии ri, равен:

 

.

 

Момент инерции всего тела относительно оси равен:

 

 

или, для непрерывно распределенной массы:

 

.

Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения симметрии и теорему Штейнера. Согласно теореме Штейнера момент инерции тела относительно какой-либо оси IA равен моменту инерции тела равен инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс IC, сложенному с величиной ma2, где a - расстояние между осями:

 

IA = IC + ma2.

2) Теорема Штейнера

Теорема Гюйгенса-Штейнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени немецкого математика Якова Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса):

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R - расстояние между осями.

Угловое ускорение, которое тело приобретает под действием момента сил, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорциональна моменту инерции тела относительно некоторой оси.

 

Для краткости добавлю к своему ответу данную шпаргалку: