Вопрос 42.Пространство-время как форма существования материи

Простр. и время обладают своими свойствами. Прост. обладает трехмерностью, оно симметрично, т.е. нет не обратимых процессов, пространство однородно (каждая точка пространства м.б. взята за начало координат), пространство изотропно, т.е. нет привилегированных направлений (вверх, вниз, влево, вправо). Время – длительность, оно асимметрично, т.е. необратимо. Время может пониматься по-разному: циклическое время (календари); время может толковаться как некоторая симметрия, т.к. ряд процессов не является не обратимыми; время может пониматься как стрела, т.е. время необратимо, нельзя вернуться в прошлое. Время отличается от вечности, вечность не меняется и не имеет времени, вечность это всегда настоящее.

С точки зрения теории относительности масса тела т характеризует его энергию покоя , согласно соотношению Эйнштейна:

. (17)

То есть энергия покоя тела пропорциональна его массе. Именно утверждение о том, что в инертной покоящейся материи таятся огромные (благодаря квадрату скорости света ) запасы энергии, сделанное Эйнштейном в 1905 г., является главным практическим следствием теории относительности. Основной вывод теории относительности сводится к тому, что пространство и время взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи: пространство-время. Наиболее общая теория пространства-времени называется общей теорией относительности или теорией тяготения, т.к. согласно этой теории свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения.

 

 

Вопрос 43. В качестве механической колебательной системы, на примере которой мы будем рассматривать колебания, выбираем пружинный маятник: маленькое тело (материальная точка) массой m подвешено на пружине с жесткостью k (Рисунок 2).

Ненагруженная пружина имела длину l₀. Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести . Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника. Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая этих сил равна:

 

.

 

Знак минус означает, что направление силы F_упр. и направление смещения х противоположны. F_упр. - сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости от того, в какую сторону от положения равновесия отклонено тело). Качественно на Рисунке 1.1 виден результат действия упругой силы (чем больше смещение, тем больше Fупр.).

 

Рисунок1.1 – Положения пружинного маятника за время одного периода колебаний.

 

Если система совершает колебания под действием сил, развивающихся в самой колебательной системе без внешних воздействий и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими собственными колебаниями. Отсутствие затухания колебаний характерно для идеальной колебательной системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

2. Дифференциальное уравнение, соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон Ньютона ma = F.

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени , а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как , получим

 

или .

 

Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения характерны для незатухающих колебаний в любой идеальной колебательной системе.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дифференциальное уравнение к виду:

 

 

Величина , обозначим ее , получим

 

.

 

2. Решением дифференциального уравнения такого вида являются функции:

 

или .

 

Эти решения называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить смещение х пружинного маятника в любой момент времени. Колебания, при которых характеризующие их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет , т.е. . В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения в виде

Вопрос 44

 

Вопрос 45. Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний.

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0’ – начальные фазы колебания.

Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия.

Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0 смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0.

Выражение, стоящее под знаком cos или sin, называется фазой колебания

Величина - максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).

Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем:

, а для случая нулевой начальной фазы

Величина - максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: , а для случая нулевой начальной фазы

Вопрос 46. Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты.

Пусть совершаются два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты

(1)

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

(2)

Убедимся в этом, сложив уравнения системы

(3)

Применив теорему косинусов суммы и сделав алгебраические преобразования:

(4)

Можно найти такие величины А и φ0, чтобы удовлетворялись уравнения

(5)

Рассматривая (5) как два уравнения с двумя неизвестными А и φ0, найдем, возведя их в квадрат и сложив, а затем разделив второе на первое:

(6)

Подставляя (5) в (4), получим (7)

Или окончательно, используя теорему косинусов суммы, имеем:

(8)

Тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2-φ1) сгладываемых колебаний.

В зависимости от разности фаз (φ2-φ1):

 

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тогда A= А1+А2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

 

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тогда A= |А1-А2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний

Дополнительно

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биением.

 

Пусть два колебания мало отличаются по частоте. Тогда амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω намного меньше ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

(8)

 

Решим систему

(9)

(10)

(11)

Решение системы:

(12)

Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:

(13)

Частота изменения А в два раза больше частоты изменения косинуса. Частота биений равна разности частот складываемых колебаний: ωб = Δω