Вспомогательные расчеты для определения параметров а0 и а1 уравнения прямой и критерия статистической точности

Аналитического уравнения

 

Годы	Товарные запасы, млн.грн.	t	t2	yt	yt	|y - yt|
	10,0	- 4		- 40,0	9,4	0,6	0,036
	10,7	- 3		- 32,1	10,5	0,2	0,004
	12,0	- 2		- 24,0	11,6	0,4	0,013
	10,3	- 1		- 10,3	12,7	2,4	0,233
	12,9				13,8	0,9	0,070
	16,3			16,3	14,9	1,4	0,086
	15,6			31,2	16,0	0,4	0,026
	17,8			53,4	17,1	0,7	0,039
	18,0			72,0	18,2	0,2	0,011
Итого	123,6			66,5	124,2	-	0,520

 

Следовательно, = 0. Тогда система нормальных уравнений примет вид: Отсюда,

Следовательно, ; .

Таким образом, уравнение прямой, описывающей тенденцию из-менения товарных запасов за 1994-2002гг., примет вид:

Подставив в это уравнение значение t получим выравненные (теоретические) показатели товарных запасов (табл. 8.3, гр.6). По приведенным расчетам можно сделать вывод о тенденции роста запасов, при этом в среднем ежегодно они возрастали на 1,1 млн.грн., о чем свидетельствует значение параметра а ₁ в уравнении прямой.

Определим критерий статистической точности анализируемого уравнения: . Так как то можно заключить, что в данном случае аналитическое уравнение достаточно точно описывает эмпирические данные.

Пример 2. Имеются следующие данные о продаже трикотажных изделий в розничной торговой сети по кварталам за три года, млн.грн:

 

Годы	Кварталы
I	II	III	IV
Первый год
Второй год
Третий год

 

Для анализа внутригодовой динамики продажи трикотажных изделий необходимо определить индексы сезонности.

Решение

По годовым показателям рассчитаем темпы роста:

Таблица 8.5

Динамика продажи трикотажных изделий в розничной

торговой сети региона

 

Годы	Годовые уровни продажи три-котажных изделий, млн. грн	Темпы роста, %
к предыдущему году	к первому году
Первый		-	100,0
Второй		103,2	103,2
Третий		100,8	104,0

 

Представленный в нашем примере ряд динамики имеет цепные и базисные темпы роста, изменяющиеся незначительно. Для анализа внут-ригодовой динамики рядов, в которых наблюдается стабильность годо-вых уровней или имеет место незначительная тенденция роста (сниже-ние), изучать сезонность возможно с помощью метода простой средней:

.

Применяя формулу средней арифметической простой, определим средние квартальные уровни за три года:

I квартал: млн.грн.;

II квартал: млн.грн и т.д. (табл. 8.6)

Исчислим общую среднюю (итог по гр.6 табл.8.6): Определим за каждый квартал индексы сезонности:

I квартал: и т.д. (табл. 8.6).

Таблица 8.6

Расчет индексов сезонности продажи трикотажных изделий в розничной сети региона по кварталам трех лет

 

Годы и показатели	Кварталы	Итого за год
I	II	III	IV
1	2	3	4	5	6
Первый
Второй
Третий
Итого:
Средний уровень, млн.грн
Индексы сезонности, %	115,6	75,0	70,3	139,1	100,0

 

 

Рис. 8.2. График сезонности продажи трикотажных изделий по кварталам за три года.

По индексам сезонности можно наблюдать рост или снижение продажи трикотажных изделий в различное время года. Так, по проведенным расчетам очевидно, что наименьший спрос приходится на III квартал и наибольший – на IV квартал.

Сезонная волна, изображенная графически (рис 8.2), показывает, что ниже среднего уровня продажа трикотажных товаров наблюдается во II и III кварталах и выше среднего уровня она в I и IV кварталах года (осенний и зимний подъемы).

 

Пример 3. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике поставок сельскохозяйственной продукции торговой фирме, тыс.т:

 

Кварталы	Поставка, тыс. т
первый год	второй год	третий год
I	16,2	15,0	15,8
II	17,0	19,8	22,5
III	17,7	17,8	18,7
IV	15,1	16,8	17,2

 

Для анализа внутригодовой динамики поставки сельскохозяйственной продукции требуется исчислить индексы сезонности.

Решение

Для каждого года квартальные уровни укрупним до годовых и по ним исчислим темпы роста.

Таблица 8.7

Динамика поставки сельскохозяйственной

продукции торговой фирме

 

Годы	Годовые уровни, тыс. т	Темпы роста, %
к предыдущему году	к первому году
Первый	66,0	-	100,0
Второй	69,4	105,2	105,2
Третий	74,2	106,9	112,4

 

Можно отметить, что ряд динамики имеет четкую тенденцию роста поставок, об этом свидетельствуют увеличивающиеся цепные и базисные темпы роста.

Для расчета индексов сезонности в таких рядах динамики применяют формулу:

Определим теоретические значения по уравнению:

Для определения параметров а ₀ и а ₁ составим таблицу 8.8 со вспомогательными расчетами.

Таблица 8.8

Расчет параметров и аналитического уравнения

 

Периоды	Поставка, тыс.т,	t	t2	yit
Первый год
I кв.	16,2	-11		-178,2	16,2	100,0
II кв.	17,0	-9		-153,0	16,4	103,7
III кв.	17,7	-7		-123,9	16,7	106,0
IV кв.	15,1	-5		-75,5	16,9	89,3
Второй год
I кв.	15,2	-3		-45,6	17,1	88,9
II кв.	19,4	-1		-19,4	17,4	111,5
III кв.	18,0			18,8	17,6	102,3
IV кв.	16,8			50,4	17,9	93,9
Третий год
I кв.	15,8			79,0	18,1	87,3
II кв.	22,5			157,5	18,3	117,5
III кв.	18,7			168,3	18,6	100,5
IV кв.	17,2			189,2	18,8	91,5
Итого	209,6			66,8	210,0	-

 

Определим параметры: ;

Следовательно, уравнение прямой примет вид: . Подставив в полученное уравнение значения t (квартальные), получим выравненные уровни ряда (табл. 8.8 гр. 6). Далее необходимо оп-ределить для каждого квартала процентные отношения эмпирических уровней ряда (y_i) к теоретическим (), т.е. (табл.8.8 гр.7).

Таблица 8.9

Динамика поставок сельскохозяйственной продукции торговой фирме и расчет индексов сезонности

 

Квар- талы	Фактические данные, yi	Выравненные данные,	Фактические данные в % к выравненным,	Сумма про-центных отноше ний, (гр.8+ +гр.9+ +гр.10)	Индексы сезон- ности, : : n
первый год	второй год	третий год	первый год	второй год	третий год	первый год	второй год	третий год
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
I	16,2	15,2	15,8	16,5	17,1	18,1	100,0	88,9	87,3	276,2	92,1
II	17,0	19,4	22,5	16,4	17,4	18,3	103,7	111,5	117,5	332,7	110,9
III	17,7	18,0	18,7	16,7	17,6	18,6	106,0	102,3	100,5	308,8	102,9
IV	15,1	16,8	17,2	16,9	17,9	18,8	89,3	93,9	91,5	274,7	91,6
Итого	66,0	69,4	74,2	66,2	70,0	73,8	-	-	-	-

 

Просуммируем полученные процентные отношения за три года по одноименным кварталам:

I кв.: 100,00 + 88,9 + 87,3 = 276,2;

II кв.: 100,3 + 111,5 + 117,5 = 332,3 и т. д. (табл. 8.9 гр.11).

Затем исчислим индексы сезонности (табл. 8.9 гр.12). Они характеризуют размеры поставок сельскохозяйственной продукции в зависимости от времени года. Наибольший удельный вес поставок приходится на второй и третий кварталы года.

 

Пример 4. На условных данных о грузообороте предприятий в одном из регионов необходимо произвести выравнивание по ряду Фурье. В таблице содержатся произведения у · соs t, у · sin t, необходи-мые для определения параметров уравнения по первой гармонике.

На основе полученных итоговых данных таблицы 8.10 находим:

Отсюда:

Подставляя в это уравнение значения соs t, sin t (из таблицы приложения 2) получим теоретические значения грузооборота (см. гр. 5 табл. 8.10).

Таблица 8.10

Грузооборот транспортных предприятий региона и расчет параметров системы уравнения по ряду Фурье

 

Месяц, t	Грузооборот, млрд. ткм, у	у соs t	у sin t
1	2	3	4	5
		60,00		71,20
		69,28	40,00	81,02
		43,00	74,45	90,22
			108,00	96,03
		- 67,00	116,04	97,10
		- 50,22	29,00	93,06
		- 70,00		85,04
		- 58,88	- 34,00	76,50
		-45,00	- 77,94	66,10
			- 70,00	60,26
		29,00	- 50,22	59,22
		48,50	- 28,00	63,26
Итого		- 41,32	107,36	939,04

 

Параметры гармоники второго и высшего порядка рассчитываются аналогично, и их значения последовательно присоединяются к значениям первой гармоники. Опустив расчеты, запишем уравнение для выравнивания изучаемого ряда с учетом второй гармоники:

Подставив в данное уравнение конкретные значения соs t,sin t, sin 2t, соs 2t, получим выравненные данные грузооборота по месяцам. Расчет и сравнение остаточных дисперсий позволяет судить о том, какая гармоника наиболее близка к фактическим уровням ряда.