Вільні незатухаючі електричні коливання

Будь-якому електричному колу властиві опір, ємність та індуктивність. Схематично на рисунках зображують зосереджені в певних місцях для всього кола відповідно опір – R, ємність – С та індуктивність L (рис. 4.1).

Розглянемо електричне коло, яке складається з джерела струму ε, ключа К, конденсатора ємністю С, соленоїда індуктивністю L і підвідних провідників опору R (рис. 4.1).

Рис.4.1 Якщо ключ К знаходиться в положенні 1, конденсатор через певний час зарядиться до різниці потенціалів між обкладками Δφ=U=ε. Позначимо максимальне значення різниці потенціалів між обкладками конденсатора через U_o. Максимальний заряд на обкладках конденсатора буде q_o=U_o∙C. Між обкладками конденсатора виникає електричне поле напруженістю Е_о= U_o/d, де d – відстань між обкладками конденсатора. Енергія електричного поля між обкладками конденсатора

(4.1)

Це максимальний запас потенціальної енергії електричного поля за даних умов кола (рис. 4.2,а, стадія 1).

Перемістимо ключ К з положення 1 в положення 2. В колі виникне електричний струм I=dq/dt, конденсатор почне розряджатися, тобто електричний заряд на його обкладках спадатиме і відповідно зменшуватиметься енергія електричного поля між обкладками конденсатора. В результаті в соленоїді зростатиме магнітне поле, енергія якого W_m=LI²/2.

Через деякий час конденсатор розрядиться повністю (стадія 2). Енергія електричного поля дорівнюватиме нулю. В цей момент часу сила струму в колі буде максимальною I₀ і відповідно енергія магнітного поля соленоїда також буде максимальною:

(4.2)

Якщо активний опір контуру є настільки малим, що його можна не враховувати (R=0), то енергія поля на нагрівання елементів кола не витрачається, максимальна енергія електричного поля перетворюється на максимальну енергію магнітного поля, тобто

(4.3)

Оскільки в цей момент електричний струм не підтримується зовнішнім чинником, то магнітне поле в соленоїді починає зменшуватися. У соленоїді виникає ЕРС самоіндукції, що збуджує індукційний струм, який, згідно з правилом Ленца, матиме такий самий напрямок, як і струм, збуджений зовнішньою ЕРС ε. У результаті самоіндукції конденсатор почне перезаряджатися. Напруга на конденсаторі зростає, а сила струму самоіндукції зменшується. Коли заряди на обкладках досягнуть максимального значення q_o (стадія 3), сила струму в колі дорівнюватиме нулю. В цей момент напруга між обкладками конденсатора матиме максимальне значення U_о, лінії вектора матимуть напрямок, протилежний початковому. Енергія магнітного поля повністю перетвориться на енергію електричного:

Після третьої стадії процеси відбуватимуться у зворотному порядку. Під дією різниці потенціалів між обкладками конденсатора виникає електричний струм, який тече в колі у зворотному напрямку. У соленоїді виникає протилежно напрямлене магнітне поле відповідно до стадії 2. Отже, йде процес розрядження конденсатора й одночасного зростання струму І в колі.

Сила струму досягає максимального значення І₀ в той момент, коли спад напруги на конденсаторі U=0 (стадія 4). В цей момент електричного поля немає (W_e=0), натомість є магнітне поле, енергія якого максимальна (W_m=LI₀²/2).

Після завершення стадії 4 виникає ЕРС самоіндукції, під дією якої електричний струм матиме такий самий напрямок, як і на стадії 4. В результаті, після завершення стадії 5, контур повертається в початковий стан.

Характерною особливістю розглянутого процесу є його автоматичність: раз почавшись у колі, він періодично повторюватиметься через внутрішні причини самого електричного кола, зумовлюючи в ньому коливання енергії електричного і магнітного поля. Ці коливання спричиняють перезарядження конденсатора і періодичне відновлення в електричному колі вихідного стану.

Отже, в електричному колі, яке складається з електроємності та індуктивності, після зарядження конденсатора виникають електричні коливання.

Коло, в якому можуть виникати електричні коливання, називають коливальним контуром. Якщо опір кола R=0, то контур називають ідеалізованим (або ідеальним).

Теорію електричних коливань у контурі, що складається з конденсатора і соленоїда, вперше розробив у 1853р. англійський фізик В. Томпсон (з 1892р. – Кельвін), а експериментально перевірив у 1861р. німецький фізик Б.В. Феддерсен.

На рис.4.2, б коливанням в контурі співставлені коливання пружинного маятника.

Рис.4.2

Наданню зарядів q_o обкладкам конденсатора відповідає виведення маятника зовнішньою силою з положення рівноваги і надання йому початкового відхилення х_о. При цьому виникає потенціальна енергія пружної деформації пружини Стадія 2 відповідає проходженню маятника через положення рівноваги. В цей момент квазіпружна сила дорівнює нулю і маятник продовжує рухатись по інерції. На цей час енергія маятника повністю перетворюється на кінетичну

Співставлення стадій 3—5 пропонуються читачеві.

Із співставлення електричних і механічних коливань випливає, що енергія електричного поля q²/2c аналогічна потенціальній енергії пружної деформації kх²/2, а енергія магнітного поля LI²/2 аналогічна кінетичній енергії . Індуктивність L відіграє роль маси m, величина, зворотна ємності (1/С) – роль коефіцієнта жорсткості (пружності) k; заряду q відповідає зміщення маятника з положення рівноваги х, а сила струму – швидкості . Нижче вияснимо, що аналогія між електричними і механічними коливаннями притаманна і математичним рівнянням, що описують коливання.

Виведемо рівняння коливань у ідеальному коливальному контурі. При розгляді таких коливань приходиться мати справу з змінними в часі струмами. Закон Ома і правила Кірхгофа були встановлені для постійного струму. Однак вони залишаються справедливими і для миттєвих значень змінних в часі струму і напруги, якщо їх зміни відбуваються не занадто швидко. Електромагнітні збурення розповсюджуються по колу з великою швидкістю, що дорівнює швидкості світла с. Нехай довжина кола дорівнює l. Якщо за час , необхідний для передачі збурення в найвіддаленішу точку кола, сила струму змінюється на незначну величину, то миттєве значення сили струму в усіх перетинах кола будуть практично однаковими. Струми, що задовольняють такій умові, називають квазістаціонарними. Для таких струмів де Т—період зміни струму (період коливань).

Для кола довжиною 3м запізнення τ =10^-8с. Отже, струми з періодом

Т~10^-6с (що відповідає частоті 10⁶ Гц) у такому колі можна вважати квазістаціонарними. Це дає можливість при дослідженні електричних коливань опиратись на закон Ома та правила Кірхгофа.

Для коливального контуру у загальному випадку (рис.4.1) друге правило Кірхгофа матиме вигляд .

Для ідеального контуру R=0 і U_c=ε_c. Оскільки то друге правило Кірхгофа отримаємо у вигляді рівняння

.

Позначивши

(4.5)

де ω_о – циклічна частота власних коливань (власна частота), отримаємо:

 

. (4.6)

Для вільних механічних коливань

що підтверджує аналогію між рівняннями, які описують електричні і механічні коливання.

Отже, по аналогії з механічними коливаннями (див. [11] § 62), рішенням рівняння (4.6) є рівняння:

. (4.7)

Тут q_o – амплітуда заряда на обкладках конденсатора; — фаза коливань; α – початкова фаза (коли t=0).

Напруга на конденсаторі U=q / С. Отже

(4.8)

де U₀=q₀ / С– амплітуда напруги на конденсаторі.

Продиференціювавши функцію (4.7) за часом, отримаємо рівняння для сили струму

, (4.9)

де I₀=q₀ω₀ – амплітуда струму через соленоїд.

Із (4.7), (4.8) і (4.9) випливає, що заряд і напруга на конденсаторі змінюються в однаковій фазі, а струм випереджає їх на Всі коливання відбуваються з частотою ω_o.

Період коливань Враховуючи (4.5), отримуємо формулу Томсона:

. (4.10)

Число коливань за одну секунду називають частотою електричних коливань:

.

Із співвідношень U₀=q₀ / c і I₀=q₀ω₀, знаходимо:

. (4.11)

Енергії електричного і магнітного полів коливального контуру визначаються за рівняннями:

,

Повна енергія коливального контуру

Середні значення

Отже, якщо коливання в ідеальному контурі відбуваються з частотою ω_o, то енергії електричного і магнітного полів змінюються з подвійною частотою (2ω_o), а повна енергія залишається незмінною.