Струми при замиканні та розмиканні кола

Внаслідок явища самоіндукції струм при замиканні та розмиканні кола змінюється не миттєво, а з деяким запізненням. У разі замикання кола наводиться ЕРС, протилежна напрузі, яка прикладена до кола. Тому струм досягає свого нормального значення не відразу, а через деякий проміжок часу. У разі розмикання кола наведена ЕРС переміщує електричні заряди в тому самому напрямку, що і зовнішня ЕРС джерела струму. Тому струм у колі припиняється не миттєво, а через деякий проміжок часу. І в першому і в другому випадках цей проміжок залежить від індуктивності L та опору R кола. Здебільшого омічний опір кола значно перевищує індуктивність, тому цей проміжок часу складає частки секунди. Однак у колах з великою індуктивністю і відносно невеликим опором цей проміжок часу може тривати десятки секунд.

Знайдемо спочатку характер зміни струму при розмиканні кола. Нехай до кола з незалежною від сили струму І індуктивністю L і опором R приєднане джерело струму ЕРС ε з ніхтивно малим внутрішнім опором (рис.3.6). Перемикач П контактує з точкою 1. У колі з часом установиться струм

(3.15)

У мить часу t=0 перемикач П перемкнемо в положення 2. Внаслідок самоіндукції сила струму в замкненій ділянці кола буде задовільняти рівнянню

Рис.3.6

або (3.16)

Розділивши змінні I і t, отримаємо

 

Проінтегруємо це рівняння:

де С — стала інтегрування. Потенціюванням цього рівняння знайдемо

 

Сталу інтегрування С знайдемо з початкових умов. При t=0 сила струму мала значення (3.15). Отже, стала С=І₀. Підставивши це значення в попереднє рівняння, отримуємо

. (3.17)

Графічна залежність функції (3.17) зображена кривою 1 на рис. 3.7. Швидкість зменшення струму визначається сталою часу τ мережі

(3.18)

Вона має розмірність часу. Замінивши в (3.16) R/L через 1/ τ, отримаємо

(3.19)

Згідно з (3.19) τ є час, за який сила струму зменшується в е разів. Для спрощення розрахунків приймали, що мережа в момент

Рис.3.7 відключення джерела струму замикалася накоротко. Якщо просто розірвати коло з великою індуктивністю, то виникає велика індукована напруга, яка створює іскру або дугу в місці розриву.

Тепер розглянемо випадок замикання кола. Після приєднання джерела струму, доти, поки сила струму не досягне значення (3.15), у колі окрім ЕРС ε буде діяти ЕРС самоіндукції ε_с. Отже, згідно з законом Ома

або

(3.20)

Рівняння (3.20) є лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням, що відрізняється від рівняння (3.16) лише наявністю сталої величини ε/L. Згідно з теорією диференціальних рівнянь загальним рішенням лінійного неоднорідного рівняння буде сума будь—якого часткового його рішення та загального рішення однорідного рівняння. Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд

Легко впевнитися в тім, що частковим рішенням рівняння (3.20) є рівняння . Отже, загальним рішенням рівняння (3.20) буде функція

.

У початковий момент (t=0) сила струму І=0. Звідси стала С= – І₀.

Таким чином, при замиканні кола струм з часом змінюється за рівнянням

. (3.21)

Графік функції (3.21) зображено кривою 2 на рис.3.7.

 

Енергія магнітного поля

Стаціонарне магнітне поле є носієм певного запасу енергії, яка розподілена по всьому простору, що займає поле. Ця енергія накопичується за рахунок роботи, здійснюваної електричними струмами, що створюють це поле, в результаті зростання сили струмів від нуля до сталих величин.

Зі зростанням сили струму в колі в ньому виникає ЕРС самоіндукції і робота зовнішніх джерел йде на подолання цієї ЕРС.

Зі зменшенням сили струму в контурі енергія магнітного поля може бути повністю або частково повернена в контур або перетворена на інші види енергії.

Розглянемо розімкнене електричне коло з опором R і індуктивністю L (рис.3.8). Спочатку замкнемо соленоїд L на батарею ε; в ньому з часом встановиться струм І, що створює магнітне поле, зчеплене з витками соленоїда. Якщо від’єднати соленоїд від батареї і замкнути його через опір R, то в новому колі буде деякий час протікати струм, що з часом зменшуватиметься. Робота, що

Рис.3.8 виконуватиметься цим струмом за час dt, дорівнює

(3.22)

Якщо індуктивність соленоїда не залежить від I (L=const), то і формула (3.22) набирає вигляду:

(3.23)

Проінтегрувавши (3.23) по I в межах від початкового значення І до нуля, отримаємо роботу, виконану в мережі за весь час, на протязі якого відбувається зникнення магнітного поля:

(3.24)

Виконання цієї роботи супроводжується зникненням магнітного поля, яке спочатку існувало в соленоїді та навколо нього. Оскільки ніяких інших змін у тілах, що оточують електричну мережу, не відбувається, то можна зробити висновок, що магнітне поле є носієм енергії, за рахунок якої і виконується робота (3.24). Таким чином, приходимо до висновку, що провідник з індуктивністю L, по якому протікає струм I, має енергію

(3.25)

локалізовану в магнітному полі, створеному струмом І.

Вираз (3.25) можна тлумачити як роботу, яку необхідно виконати проти ЕРС самоіндукції в процесі зростання струму від 0 до І, і яка витрачається на створення магнітного поля з енергією (3.25). Справді, робота проти ЕРС самоіндукції

(3.26)

що співпадає з (3.24). Робота (3.26) виконується зовнішньою ЕРС ε і витрачається повністю на створення зчепленого з контуром магнітного поля. Вираз (3.26) не враховує роботу, яку витрачає джерело ЕРС в процесі зростання струму на нагрівання провідників.

Виразимо енергію магнітного поля (3.25) через величини, що характеризують саме поле. У випадку досить довгого соленоїда

і

Підставивши ці значення L і I в (3.25), отримаємо

(3.27)

Як було доведено раніше, магнітне поле нескінченного соленоїда є однорідним і зосередженим в об’ємі соленоїда. Отже, енергія (3.27) розподілена по об’єму соленоїда зі сталою густиною ω, яку можна визначити, розділивши W на V:

(3.28)

Враховуючи зв’язок між індукцією В та напруженістю Н магнітного поля, а саме: на підставі (3.28) знаходимо

. (3.29)

Якщо магнітне поле неоднорідне, то об’ємна густина енергії буде більшою там, де більші Н і μ. Тоді енергія поля, зосереджена в об’ємі V, обчислюється інтегралом

(3.30)