Опуклі функції та їх застосування до доведення нерівностей

Нерівність Єнсена

Розглянемо функцію , визначену та диференційовану на відрізку і позначимо через частину її графіка, що відповідає відрізку .

Функцію називають опуклою вгору (вниз) на відрізку , якщо для довільної точки крива лежить нижче (вище) від дотичної до , проведеної в точці (рис. 1).

Серед деяких властивостей опуклих функцій відмітимо ті, які в подальшому використаємо при доведенні деяких нерівностей.

1. Якщо функція на відрізку опукла вгору, то для двох довільних різних точок виконується нерівність

2. Якщо функція на відрізку опукла вниз, то для двох довільних різних точок виконується нерівність

Доведення обох тверджень очевидне. Зокрема у першому випадку достатньо побачити, що довжина відрізка , який дорівнює , менша від довжини відрізка , який дорівнює (рис. 2).

3. Якщо функція на відрізку опукла вгору і числа не всі рівні між собою, то виконується нерівність

. (*)

4. Якщо функція на відрізку опукла вниз і числа не всі рівні між собою, то виконується нерівність

. (**)

Доведення двох останніх тверджень можна реалізувати за допомогою методу математичної індукції.

Нерівності (*), (**), які у математиці називають нерівностями Єнсена, можуть служити основою для складання та доведення різних нерівностей. Достатньо вибрати конкретну функцію, опуклу вгору або вниз та замінити нею функцію .

Наведемо приклади подібних доведень.

Задача 2.5.1. Довести, що для різних виконується нерівність

Доведення. Для доведення достатньо у співвідношенні (*) використати замість функцію , графік якої на вказаному відрізку опуклий вверх.

Задача 2.5.2. Довести, що для довільних чисел виконується нерівність

Доведення. Тут ми повертаємося до розгляду задачі 1.3.2. У цьому випадку використовуємо співвідношення (**), а в ролі функцію , графік якої при опуклий вниз.

Задача 2.5.3. Порівняти числа та .

Доведення. Розглянемо функцію , графік якої на проміжку опуклий вниз. Застосувавши нерівність Єнсена у виді співвідношення (**), отримуємо

Тому

Задача 2.5.4. Довести, що правильний -кутник має найбільший периметр серед усіх вписаних в коло -кутників.

Доведення. Нехай -кутник вписаний у коло з центром у точці та радіусом . Позначимо . Тоді (знак строгої нерівності буде у випадку, коли центр кола лежить поза многокутником). Користуючись теоремою косинусів отримуємо, що для периметра многокутника маємо

Оскільки і функція на вказаній множині значень опукла вгору, то з нерівності Єнсена отримуємо, що

а саме останньому значенню дорівнює периметр правильного вписаного в коло многокутника.

Розглянемо, як нерівність Єнсена та наведені міркування можна використати для доведення класичних нерівностей між середніми. Як ми уже знаємо (розділ 1.7), для додатних чисел такими є середнє арифметичне , середнє геометричне , середнє квадратичне та середнє гармонічне . Ці середні величини знаходяться у співвідношеннях . Знак рівності в усіх випадках виконується тоді і тільки тоді, коли рівні. Доведемо строгі нерівності, вважаючи різними.

Для доведення першої нерівності , тобто

використаємо у ролі функцію , графік якої опуклий вниз, та співвідношення (**). Відповідно до нього отримуємо

звідки, добувши корінь з обох частин, дістаємо шукане співвідношення.

Для доведення другої нерівності , тобто

використаємо у ролі функцію , графік якої опуклий вгору, та співвідношення (*). Отримуємо

або

Потенціюючи одержаний вираз, отримуємо шукане співвідношення.

Для доведення останньої нерівності , тобто нерівності між середнім геометричним та середнім гармонічним

знову використаємо функцію , тільки співвідношення (*) застосуємо до чисел . Отримуємо

або

що фактично завершує доведення потрібної нерівності.

Нерівність Юнга

Нехай – неперервна строго зростаюча функція від , і (див. рис. 3). Розглядаючи площі, представлені відповідними інтегралами, ми переконуємося в тому, що

, (***)

де - функція, обернена до . Легко бачити, що рівність тут має місце тільки при . Ця нерівність називається нерівністю Юнга. Вибираючи у ролі різні функції, ми отримуємо ряд цікавих результатів.