Метод математичної індукції ґрунтується на принципі математичної індукції, що формулюється так: деяке твердження 
істинне для будь-якого натурального 
, якщо:
1) воно істинне для 
;
2) з того, що істинне для довільного натурального 
випливає, що воно істинне для наступного натурального числа 
.
Сформульований принцип належить до аксіом натуральних чисел.
Кожне доведення методом математичної індукції передбачає реалізацію трьох етапів: на першому показуємо, що істинним є твердження 
; на другому припускаємо, що істинним є твердження 
і, виходячи з цього, доводимо, що істинним є твердження 
. Виконані міркування дозволяють стверджувати, що твердження істинне для будь-якого натурального . Відповідний висновок є третім етапом і завершує доведення.
Іноді використовують узагальнений принцип математичної індукції: твердження істинне для будь-якого натурального 
, якщо воно вірне для натурального числа 
і з того, що істинне для довільного натурального 
випливає, що воно істинне для наступного натурального числа .
Описаний метод широко використовується при обґрунтуванні різних математичних тверджень, зокрема при доведенні нерівностей. Розглянемо це на прикладах.
Задача 1.6.1. Довести, що для довільних 
та натурального числа виконується нерівність
.
Доведення. Очевидно, що при виконується рівність, тому дане твердження вірне. Нехай воно істинне при деякому натуральному числі , тобто вірно, що 
. Користуючись цим припущенням, покажемо, що вірною є також нерівність 
. Оскільки ліва частина, згідно з припущенням, обмежена виразом
,
то для доведення достатньо показати, що 
. Для цього розглянемо різницю
.
Одержаний вираз при завжди від’ємний або дорівнює 0 (при 
, тому . Згідно з принципом математичної індукції вірною є також початкова нерівність .
Задача 1.6.2. Довести, що для довільного натурального числа 
виконується нерівність
.
Доведення. При 
отримуємо нерівність 
, яка вірна. Нехай вона вірна при деякому натуральному числі 
, тобто виконується нерівність 
. Користуючись цим припущенням, покажемо, що вірною є також нерівність 
. Дістаємо
.
Перший доданок одержаного виразу додатний за індуктивним припущенням. Оцінимо суму інших доданків, тобто вираз 
. Функція 
має похідну 
та екстремуми у точках 
, і, очевидно, зростає на проміжку 
. Переконавшись, що 
, можемо стверджувати, що при 
виконується нерівність 
. Посилання на принцип математичної індукції завершує доведення.
Задача 1.6.3. Довести, що 
для всіх натуральних 
.
Розв’язання. При 
отримуємо нерівність 
, яка вірна. Нехай вона вірна при деякому натуральному числі 
, тобто виконується нерівність 
. Користуючись цим припущенням, покажемо, що вірною є також нерівність 
. Маємо
,
оскільки 
при 
. На основі принципу математичної індукції стверджуємо, що задана в умові нерівність вірна.
Задача 1.6.4. Довести, що для довільного натурального числа виконується нерівність
.
Доведення. При отримуємо вірну нерівність 
. Нехай вона вірна при деякому натуральному числі , тобто нехай виконується нерівність
.
Використовуючи це припущення, покажемо, що вірною є також нерівність
.
Очевидно, що 
, де 
. Вираз 
являє собою суму 
дробів, кожний з яких більший, ніж 
. Отже,
.
Таким чином, 
(за припущенням) і 
. Тому 
, тобто 
. На основі принципу математичної індукції стверджуємо що задана в умові нерівність виконується для довільного натурального числа .
Задача 1.6.5. Довести, що для довільного натурального числа 
та для довільних дійсних чисел 
виконується нерівність
.
Доведення. При 
нерівність 
вірна. Справді, вона вірна у випадку, коли одне з чисел (або обидва) рівні 0. У випадку, коли обидва числа додатні або обидва від’ємні, виконується знак рівності. Якщо ж числа різних знаків, то дістаємо строгу нерівність. Можливі і інші доведення цього факту, наприклад, аналітичним методом або методом доведення від супротивного.
Нехай нерівність вірна при деякому натуральному 
, тобто виконується співвідношення 
. Тоді
,
що, згідно з принципом математичної індукції, завершує доведення.
Задача 1.6.6. Довести, що для 
при всіх натуральних виконується нерівність 
(нерівність Бернуллі).
Доведення. При виконується знак рівності, тому твердження вірне. Нехай виконується нерівність 
. Тоді
і, відповідно до принципу математичної індукції, нерівність вірна.
Задача 1.6.7. Довести методом математичної індукції, що при
.
Доведення. При отримуємо вірну числову нерівність 
. Припустимо, що вірна нерівність 
і покажемо, що
.
Із припущення маємо 
. Покажемо, що 
. Аналізуючи різницю квадратів лівої та правої частин, дістаємо 
, що доводить потрібне твердження. Отже, відповідно до принципу математичної індукції, нерівність доведена.
Задача 1.6.8. Довести, що 
для всіх натуральних .
Доведення. При отримуємо вірну числову нерівність 
. Нехай виконується нерівність 
. Покажемо, що звідси випливає вірність співвідношення 
. Маємо
.
Одержаний вираз додатний при 
. Таким чином із припущення, що нерівність вірна при випливає, що вона вірна при . Згідно з принципом математичної індукції нерівність виконується при довільному натуральному .
