Іноді може виявитися, що застосування розглянутих вище прийомів не приводить до потрібного результату, оскільки доведення нерівності за означенням може не бути реалізованим через громіздкість та складність перетворень, а синтетичний метод не вдається застосувати у зв’язку з тим, що не зрозуміло, з яких опорних нерівностей доцільно розпочати доведення. Одним з можливих варіантів у цьому випадку може бути застосування аналітичного методу.
Його суть полягає в тому, що після ряду перетворень нерівності, яку потрібно довести, отримують деяку очевидну вірну нерівність. На мові логіки ми реалізовуємо наступну схему такого пошуку:
,
де 
- нерівність, яку потрібно довести, 
- отримані з неї нерівності, 
- кінцева вірна нерівність. Реалізація такої схеми носить назву аналізу Евкліда. Природно, що відшукання нерівності не може завершити доведення, оскільки імплікація 
може бути вірною і у випадку, коли твердження - хибне. Тому наступним етапом доведення повинно бути обґрунтування можливості здійснення зворотних міркувань, тобто істинності імплікацій
.
Фактично тепер ми реалізовуємо схему синтетичного методу, причому початкова опорна нерівність цього методу (у нашому випадку – це твердження ) відома.
Наведемо приклади подібних доведень.
Задача 1.3.1. Довести, що для довільних 
виконується нерівність
(задача 1.1.1, розв’язання якого тут реалізується іншим методом).
Доведення. Виконаємо наступні перетворення даної нерівності:
,
,
.
Одержана нерівність вірна для довільних . Тепер очевидно, що з неї можна одержати попередню нерівність, з якої в свою чергу – нерівність, що потрібно було довести.
Задача 1.3.2. Довести, що для довільних чисел виконується нерівність
.
Доведення. Очевидно, що якщо 
, то виконується рівність і твердження вірне. При 
задача зводиться до доведення нерівності 
або нерівності 
, яка очевидна.
Інший спосіб доведення цієї нерівності, що використовує ідеї опуклості функції, буде наведено у розділі 2.5 (задача 2.5.2).
Задача 1.3.3. Довести, що для довільних виконується нерівність 
.
Доведення. Після піднесення до квадрату обох частин нерівності, маємо
.
Отримуємо вірну нерівність 
. Очевидно, що крім неї, вірними будуть і кожна з попередніх нерівностей.
Задача 1.3.4. Довести, що для довільних 
виконується нерівність
.
Доведення. Піднесемо обидві частини нерівності до квадрату
.
Звідси отримуємо
.
Одержана нерівність відповідно до умови задачі вірна, і з неї тепер можна отримати всі попередні нерівності у зворотному порядку, а серед них – і задану.
Задача 1.3.5. Довести, що якщо 
, то 
.
Доведення. Знайдемо різницю правої та лівої частин:
.
Тепер, використавши отриману нерівність в ролі початкової і рухаючись у зворотному порядку, отримуємо нерівність, яку потрібно було довести.
Задача 1.3.6. При яких значеннях параметра 
нерівність
виконується при довільних 
?
Розв’язання. Маємо
.
Одержаний вираз буде додатним при довільних , якщо 
.
Задача 1.3.7. Довести, що при 
виконується нерівність
.
Доведення. Перетворимо нерівність до виду 
, звідки, після піднесення до квадрату, отримуємо
.
Очевидно, що одержана нерівність вірна, а також те, що можливе виконання перетворень у зворотному порядку. Це доводить задану нерівність.
Задача 1.3.8. Знайти найменше значення виразу 
.
Розв’язання. Перетворимо заданий вираз наступним чином:
.
Тепер видно, що найменше значення виразу дорівнює 2 і досягається воно при 
.Фактично ми довели нерівність 
.
Задача 1.3.9. Довести нерівність 
.
Доведення. Виконаємо наступні перетворення виразу:
.
Одержаний вираз не може бути від’ємним, що доводить задану нерівність. Очевидно, що знак рівності буде тільки у випадку, коли 
.
Задача 1.3.10. Знайти найменше значення функції
.
Розв’язання. Перетворимо вираз, перемножуючи два крайні та два середні множники:
.
Очевидно, що значення функції буде найменшим, коли найменшим є перший доданок, тобто при тих значеннях 
, які є коренями рівняння 
. Знаходимо 
. При знайдених значеннях
.
