Замечание. Линейная система (2.2) может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.
Примеры:
1. 
. Единственным решением является пара чисел х = 1, у = 2.
2. 
. Решением этой системы будут любые два числа х и у, удовлетворяющие условию у = 3 – х. Например, х=1, у=2; х=0, у=3 и т. д.
3. 
. Очевидно, что эта система не имеет решений, так как разность двух чисел не может принимать двух различных значений.
Условия существования и количества решений линейной системы будут изучены в дальнейшем, а пока рассмотрим способы нахождения единственного решения системы,
в которой число уравнений равно числу неизвестных: 
(2.3)
Пусть 
(этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на 
и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на 
где i – номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при 
во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:
.
Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можнотаким же образом исключить 
из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:
. (2.4)
Здесь символами 
и 
обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.
Из последнего уравнения системы (2.4) единственным образом определяется 
, а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.
Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.
Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.
Примеры:
1. Решим методом Гаусса систему 
Вычтем из второго уравнения удвоенное первое, а из третьего – первое, умноженное на 5.
Получим: 
. Теперь вычтем из третьего уравнения удвоенное второе, а затем разделим второе уравнение на –7 (коэффициент при у), а третье – на 15 (новый коэффициент при z). Система примет вид:
. Отсюда z=3, y=2, x=1 – единственное решение системы.
2. Система 
после исключения х из второго и третьего уравнений примет вид: 
. Если затем вычесть второе уравнение из третьего, то последнее уравнение станет тождеством 0=0. В системе осталось два уравнения: 
. Ее решение можно записать в виде: х = -2, у – любое число, z = 7 – y. Таким образом, система имеет бесконечно много решений.
3. 
. Применив к этой системе метод Гаусса, получим 
,
откуда 
. Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.
Правило Крамера.
Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель 
, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:
.
Предположим сначала, что 
Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения 
элементов j-го столбца 
Сложив затем все уравнения, получим:
. (2.5)
Отметим, что 
.
(j-й столбец)
(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при 
и равен при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель 
. Рассматривая j = 1,2 ,…,n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6). Разделив все уравнения на , найдем единственное решение: 
.
Предположим теперь, что =0. Тогда система (2.6) примет вид: 
.
В этом случае, если все =0, система выглядит так: 
и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из 
система решений не имеет.
Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:
