Спектр последовательности прямоугольных разнополярных

Импульсов

Вычислить комплексные амплитуды гармонических составляющих для колебаний вида:

 

 

Рисунок 1.7

 

Определим комплексную амплитуду n-ой гармоники:

(1.7)

 

Так как при n=0,2,4,..., А =0, то постоянной составляющей и четных гармоник данное колебание не содержит.

При n=1; n=3; n=5:

Перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям гармоник и представим заданный сигнал в виде суммы гармонических составляющих:

 

 

Представление периодического сигнала в виде совокупности гармоник называется отысканием спектра.

 

Зависимость спектра от изменения параметров последовательности импульсов

 

Рассмотрим характер изменения спектра от изменения периода и длительности импульсов.

1. Сравним спектры двух последовательностей с одинаковыми

длительностями и амплитудами импульсов, но разными периодами: (рисунок 1.8).

 

Рисунок 1.8

 

а) ширина участка спектра не изменяется, так как она зависит от длительности импульса .

б) расстояние между гармониками увеличивается, так как .

в) число гармоник на одном участке спектра уменьшается: .

г) величина постоянной составляющей и амплитуды гармоник увеличиваются (в определенных рамках).

2. Сравним спектры при ; (рисунок 1.9).

 

Рисунок 1.9

а) ширина одного участка спектра от до изменяется; при уменьшении ширина возрастает.

б) расстояние между гармониками не изменяется

в) число гармоник на одном участке спектра увеличивается

.

 

ВЫВОД. Ширина участка спектра тем больше, чем меньше длительность импульса; гармоники тем ближе друг к другу, чем больше период. Амплитуда гармоник уменьшается при увеличении периода.

 

 

Распределение мощности в спектре периодического сигнала

 

Пусть несинусоидальный периодический ток i (t) протекает по активному сопротивлению R (рисунок 1.10). Определить среднюю за период мощность, которая расходуется на этом сопротивлении.

I(t)

Средняя за период мощность определяется соотношением:

U(t) R . (1.8)

Рисунок.1.10. Разложим функцию тока i(t) в ряд Фурье:

,

Подставим это разложение в выражение (1.8):

,

Учитывая, что , а интегрирование за период исходной функции гармонических колебаний с удвоенной частотой и произведений косинусов и синусов дают нуль, получим:

.

Так как — постоянная составляющая тока, а — амплитуда n-ной гармоники, то

 

Средняя мощность периодического колебания выражается бесконечной суммой мощностей спектральных составляющих.

 

Спектры непериодических сигналов

Спектральная плотность

 

Пусть задан сигнал S(t), который действует в конечном интервале времени . Для проведения гармонического анализа поступим следующим образом:

1) Превратим наш непериодический сигнал в периодический путем повторения его с произвольным периодом Т. Для полученной таким образом функции применимо разложение в ряд Фурье:

где –– комплексная амплитуда n-ой гармоники.

Известно, что комплексную амплитуду можно получить из функции S(t) в соответствии с выражением (1.5):

.

2) Предположим, что Т стремится к бесконечности. В пределе получим бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную функцию S(t). Количество этих гармоник будет бесконечно большим, а расстояние между гармониками –– бесконечно малым.

Спектр из линейчатого становится сплошным. Выразим это аналитически.

Подставим в S(t):

.

так как , то

.

При величина превращается в бесконечно малую dω; –– в текущую частоту , а операция суммирования- в операцию интегрирования, то есть .

Таким образом, получим:

.

В этом выражении обозначим второй интеграл через

. (1.10)

Функция частоты называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции времени S(t).

Подставив в исходное выражение S(t), получим:

. (1.11)

Выражения (1.10) и (1.11) носят названия пары преобразований Фурье, которые связывают между собой функцию времени S(t) и комплексную функцию частоты .

Поясним смысл спектральной плотности .

Если сигнал периодический, то n -ая гармоника с частотой будет иметь амплитуду

Если же сигнал непериодический, но в некотором ограниченном интервале совпадает с периодическим S(t),то на частоте спектральная плотность равна

.

Отсюда видно, что .

Так как .

Видно, что значение спектральной плотности на определенной частоте получается путем деления амплитуды n-ой гармоники на полосу частот , отделяющую соседние линии дискретного спектра. Таким образом, имеет смысл плотности амплитуд (амплитуда: Герц) и определяет величину сигнала, которая приходится на единицу полосы частот шириной в один Герц.

Поэтому эта непрерывная функция частоты и называется спектральной плотностью амплитуд или просто спектральной плотностью.

Огибающая сплошного спектра непериодического сигнала и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала совпадают по форме и отличаются масштабом.

Спектральную плотность можно представить в комплексной форме:

 

, (1.12)

где .

Модуль спектральной плотности равен ; аргумент .

Спектр непериодического сигнала характеризуется зависимостью модуля и аргумента спектральной плотности от частоты. В отличии от рассмотренных ранее дискретных спектров периодических колебаний, этот спектр является сплошным, так как описывается непрерывными функциями частоты и : (рисунок 1.11).

 

Рисунок 1.11- Зависимости модуля и аргумента спектральной плотности от частоты