Ряд Фурье. Амплитудные и фазовые спектральные диаграммы

 

Любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов.

Пусть функция S(t) периодически повторяется с частотой и для нее выполняются условия Дирихле:

1) в любом конечном интервале функция S(t) должна быть непрерывной или иметь конечное число разрывов первого рода, т.е. при стремление t к точкам разрыва функции S(t) должна иметь конечные пределы;

2) в пределах одного периода функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов.

Такая периодическая функция S(t) может быть представлена в виде ряда Фурье:

(1.1)

где -среднее значение сигнала или постоянная составляющая;

;

— основная частота или частота первой гармоники;

— частоты высших гармоник.

Ряд Фурье можно записать по-другому:

(1.2)

где — амплитуда и начальная фаза n-ой гармоники.

Обратные зависимости для коэффициентов и имеют вид:

.

Совокупность гармонических составляющих, на которые раскладывается функция S(t), называется спектром. Причем совокупность коэффициентов называется спектром амплитуд, а совокупность значений называется спектром фаз.

Наглядное представление о спектре дают спектральные диаграммы: амплитудные (рисунок 1.4 а) и фазовые (рисунок 1.4 б). При их построении по оси абсцисс откладывают частоты гармоник, а по оси ординат –– значения амплитуд или фаз каждой гармоники.

Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих частотам: .

а б

 

Рисунок 1.4

 

Ряд Фурье можно записать и в комплексной форме. Для этого воспользуемся формулами Эйлера:

.

Примем, что . Подставляем эти соотношения в выражение (1.2), получим ряд Фурье в комплексной форме:

. (1.3)

В этом выражении — комплексная амплитуда n-ой гармоники, которая связана с коэффициентами ряда Фурье соотношениями:

 

.

Подставляя значение в (3), получим:

. (1.4)

Комплексную амплитуду можно получить непосредственно из функции S(t), минуя вычисление коэффициентов и .

). (1.5)

Это выражение позволяет найти амплитудный спектр, то есть совокупность гармонических составляющих, в сумме образующих S(t).

 

Спектр последовательности прямоугольных однополярных

Импульсов

Сигнал представлен на рисунке 1.5.

 

Рисунок 1.5

Начало отсчета выбрано так, что функция оказалась четной и спектр будет содержать только косинусоидальные составляющие.

.

Определим среднее значение (постоянную составляющую):

Определим амплитуды гармоник: .

Так как , то

. (1.6)

Эти выражения определяют амплитудный спектр последовательности прямоугольных однополярных импульсов. Амплитуды гармоник при различных n зависят от величины .

Видно, что при амплитуда n-ой гармоники равна нулю ().

Определим номера гармоник n, для которых :

Амплитудная спектральная диаграмма последовательности прямоугольных импульсов имеет вид, представленный на рисунке 1.6. Спектр имеет бесконечное число гармоник. Из рисунка видно, что на частотах огибающая спектра равна нулю.

Рисунок 1.6

 

Число гармоник на одном участке спектра . Период Т определяет расстояние на шкале частот между соседними линиями спектра.