Под сезонными колебаниями понимаются более или менее устойчивые внутригодовые колебания уровней развития социально-экономических явлений.
Сезонная колеблемость (внутригодовая цикличность) показателей рынка выявляется с помощью индексов сезонности, методов механического сглаживания, гармоникой Фурье. Гармоника Фурье имеет следующие аналитическое выражение:
где k – номер гармоники, определяющей степень точности (адекватности) модели (обычно k берётся в пределах от 1 до 4);
t – время;
а0, аk, bk – параметры уравнения.
При 
При 
Параметры уравнения (
) определяются методом наименьших квадратов:
При анализе внутригодовой динамики n = 12 – по числу месяцев в году. Представляя месячные периоды как части окружности, ряд внутригодовой динамики имеет следующий вид:
| Периоды, t | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| Уровни, y | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | y7 | y8 | y9 | y10 | y11 | y12 |
Для расчёта гармоники используется вспомогательная таблица. Для первой гармоники она имеет следующий вид:
| Месяц | Условное обозначение месяца, t | Уровни ряда, y | cos t | sin t | y · cos t | y · sin t |
|
| . . и т.д. | 1/6 π 1/3 π | y1 y2 y3 | |||||
 
|
Решение типовых задач
Пример 6.1
Розничный товарооборот в регионе в 2008 – 2012 гг. характеризуется
следующими данными, млн руб:
| 2008 г. | 2009 г. | 2010 г. | 2011 г. | 2012 г. |
| 8 900 | 8 670 | 8 930 | 8 990 |
Для анализа ряда динамики определим:
1) показатели, характеризующие динамику товарооборота по годам;
2) средние показатели динамики за исследуемый период.
Решение
Показатели динамики уровней временного ряда с постоянной (базисные) и переменной (цепные) базой сравнения:
1) абсолютный прирост – 
; 
2) коэффициент роста – 
; 
3) темп роста – 
; 
4) темп прироста – 
; 
.
5) абсолютное значение 1 % прироста – 
; 
6) пункты роста – 
.
Результаты расчётов приведены в таблице:
| Год | 2008 г. | 2009 г. | 2010 г. | 2011 г. | 2012 г. | |
| Розничный товарооборот, млн руб. | ||||||
| Абсолютный прирост, млн руб. | Цепной | – | –230 | |||
| Базисный | – | –230 | ||||
| Коэффициент роста | Цепной | – | 0,974 | 1,029 | 1,006 | 1,012 |
| Базисный | – | 0,974 | 1,003 | 1,010 | 1,022 | |
| Темп роста, млн руб. | Цепной | – | 97,4 | 102,9 | 100,6 | 101,2 |
| Базисный | – | 97,4 | 100,3 | 101,0 | 102,2 | |
| Темп прироста, млн руб. | Цепной | – | –2,8 | 2,9 | 0,6 | 1,2 |
| Базисный | – | –2,8 | 0,3 | 1,0 | 2,2 | |
| Абсолютное значение 1% прироста, млн руб. | Цепной | – | 82,14 | 89,66 | 100,00 | 91,67 |
| Базисный | – | 82,14 | 100,00 | 90,00 | 90,91 | |
| Пункты роста | – | – | 2,9 | 0,7 | 1,2 |
Средние характеристики ряда динамики:
1) средний уровень интервального ряда рассчитывается по формуле средней арифметической простой:
млн руб.
2) средний абсолютный прирост (
):
,
млн руб.
3) средний коэффициент роста (
):
;
;
4) средний темп роста:
;
;
5) средний темп прироста:
;
;
6) средняя величина абсолютного значения 1% прироста:
;
млн руб..
Сделаем выводы:
1. Так как темпы роста начиная с 2010 г. имеют значение больше100, то это говорит о тенденции роста объёма розничного товарооборота в регионе.
2. Средний годовой уровень объёма товарооборота в исследуемом периоде составил 8 918 млн руб.
3. В среднем ежегодно товарооборот увеличился на 50 млн руб., или на 0, 3 %
4. Средняя величина абсолютного значения 1% прироста показывает, что при увеличении производства электроэнергии на 1% в абсолютном выражении этот прирост составит 166,7 млн руб.
Пример 6.2
Выполним интервальный прогноз объёма реализации продукции А на 2008 г. с вероятностью 0,99 на основе следующих отчётных данных торгового предприятия:
| Год | ||||||||
| Объём реализа-ции, т |
Для определения формы тренда и расчёта его параметров составим таблицу:
| Год | Объём реализации, т y | Первые разности | t | t2 | y · t | yt | (y – yt)2 |
| - | -7 | -532 | 76,53 | 0,2809 | |||
| -5 | -435 | 87,45 | 0,2025 | ||||
| -3 | -297 | 98,37 | 0,3969 | ||||
| -1 | -109 | 109,25 | 0,0625 | ||||
| +1 | 120,21 | 0,0441 | |||||
| +3 | 131,13 | 0,7569 | |||||
| +5 | 142,05 | 0,0025 | |||||
| +7 | 1 064 | 52,97 | 0,9409 | ||||
| Итого | - | 917,96 | 2,6872 |
Первые разности приблизительно равны между собой, что позволяет в качестве модели тренда выбрать уравнение прямой:
yt = a0 + a1 · t.
Найдем параметры уравнения:
Подставим найденные значения параметров в уравнение:
yt = 114,75 + 5,46 t.
Рассчитаем теоретические уровни ряда динамики:
2000 г.: yt = 114,75 + 5,46 · (-7) = 76,53 т.
2001 г.: yt = 114,75 + 5,46 · (-5) = 87,45 т. и т.д.
Выполним точечный прогноз на 2008 г.:
yt+L = 114,75 + 5,46 · 9 = 163,89 т.
Для получения интервального прогноза воспользуемся формулой
Коэффициент доверия 
находим по таблице распределения Стьюдента (Приложение Б). При вероятности P = 0,99, (уровень значимости α = 1,0), числе степеней свободы k = n – 2 = 6 коэффициент доверия tα = 3,7.
Рассчитаем стандартную ошибку аппроксимации:
Расчёты квадратов отклонений теоретических уровней ряда от эмпирических приведены в таблице.
Выполним интервальный прогноз
Пример 6.3. Имеются следующие данные о реализации фруктов в магазинах города:
| Месяц | Продано фруктов, т | Расчётная графа | |||||
| Условное обозначение месяца, t | cos t | sin t | y · cos t | y · sin t |
| ||
| 0,0 | 68,00 | 75,03 | |||||
| 1/6 π | 0,866 | 0,5 | 47,63 | 27,50 | 50,11 | ||
| 1/3 π | 0,5 | 0,866 | 25,00 | 43,30 | 34,86 | ||
| 1/2 π | 0,0 | 1,0 | 33,35 | ||||
| 1/3 π | -0,5 | 0,866 | -27,00 | 46,764 | 46,00 | ||
| 5/6 π | -0,866 | 0,5 | -56,29 | 32,50 | 69,41 | ||
| Π | -1,0 | 0,0 | -90,00 | 97,31 | |||
| 7/6 π | -0,866 | -0,5 | -103,92 | -60,00 | 122,23 | ||
| 4/3 π | -0,5 | -0,866 | -72,50 | -125,57 | 137,48 | ||
| 3/2 π | 0,0 | -1,0 | -130,00 | 138,99 | |||
| 5/3 π | 0,5 | -0,866 | 60,00 | -103,92 | 126,34 | ||
| 11/6 π | 0,866 | -0,5 | 82,27 | -47,50 | 102,93 | ||
| Итого | 1 034 | - | - | - | -66,81 | -316,93 | 1 034,04 |
Построим модель сезонных колебаний в объёме реализации фруктов, используя первую гармонику ряда Фурье:
Первая гармоника имеет вид:
Параметры уравнения определяются по формулам:
Для определения параметров уравнения введём в таблицу расчётные графы.
Рассчитаем параметры уравнения:
Модель сезонной волны объёма реализации фруктов примет вид:
= 86,17 – 11,14 cos t – 52,82 sin t.
Определим расчётные (теоретические) уровни для каждого месяца:
январь: = 86,17 – 11,14 · 1,0 – 52,82 · 0 = 75,03 т.
февраль: = 86,17 – 11,14 · 0,866 – 52,82 · 0,5 = 50,11 т. и т.д.
Результаты расчётов занесём в таблицу.
