Значений. В этом случае говорят, что переходят к матрице пе-
Реформированных рангов. Пусть имеем данные о ряде наблю-
дений х (см. табл. 10.6).
Таблица 10.6
№ п/п х Ранги ряда х (Rgx)
1 240 1
2 245 2
3 250 3,5
4 250 3,5
5 270 6
6 270 6
7 270 6
8 290 8
Так как значения х = 250 занимают третье и четвертое
Места, то им приписывают ранг. Аналогично, значе-
ния х = 270 занимают пятое, шестое и седьмое места, поэтому
Им приписывают ранг.
Коэффициент корреляции рангов Кендэла
Кендэл предложил еще одну меру связи между рядами х и
y. Расчет коэффициента Кендэла проводится по формуле
. (10.42)
Для нахождения τ к используют ранги ряда результативно-
го признака y. При определении S 1 i нужно установить, сколько
Чисел, находящихся ниже от каждого из элементов последова-
тельности рангов ряда y, имеют величину ранга, большую чем
ранг рассматриваемого элемента. Для определения S 2 i подсчи-
Тываем, сколько чисел, находящихся ниже от каждого из эле-
Ментов последовательности рангов ряда y, имеют ранг меньше
Ранга рассматриваемого элемента.
По данным примера 10.1 рассчитаем коэффициент Кендэ-
ла. Необходимые для расчета данные поместим в табл. 10.7
Таблица 10.7
Число значений больше
сопоставляемого (S 1)
Число значений меньше
сопоставляемого (S 2)
5 0
3 1
3 0
2 0
1 0
0 0
Для заполнения табл. 10.7 используем ранги ряда y, поме-
щенные в табл. 10.5. Первым рангом является 1, все ранги ниже
Ее (их пять) будут больше ее, а меньших ее ниже нет. Поэтому в
столбец S 1 мы заносим 5, а в столбец S2 ноль. В следующей гра-
фе рангов ряда y стоит 3. Из расположенных ниже рангов три
Больше тройки (4, 5, 6), а один меньше ее (2). Поэтому в столбец
S 1 мы заносим 3, а в столбец S 2 − 1. Далее таблица заполняется
Аналогично. После ее заполнения по формуле (10.42) определя-
ем коэффициент Кендэла (заметим, что -1 ≤ τ к ≤ 1):
.
Полученное нами значение τ к указывает на достаточно
Близкую прямую связь между хищениями оружия и воору-
Женными преступлениями. А это согласуется с полученными
Ранее коэффициентами корреляции, Фехнера, Спирмэна.
Коэффициенты Спирмэна и Кендэла близки друг к другу
По форме расчета. Их значения можно пересчитывать друг в
Друга, но считается, что коэффициент Кендэла дает более ос-
Торожную и, видимо, более объективную оценку степени связи
Двух изучаемых явлений, чем коэффициент Спирмэна. Коэф-
Фициент Кендэла всегда меньше по значению коэффициента
Спирмэна. Если в ряде y имеются группы повторя-
Ющихся рангов, то имеется скорректированная формула для
расчета коэффициента Кендэла [11, 17, 24]. Но на практике
Чаще пользуются приведенной нами формулой (10.42), так как
Она дает весьма малую ошибку.
Коэффициент конкордации
Этот коэффициент используется для оценки степени тес-
Ноты связи не только между двумя факторами, но и между
Тремя, четырьмя и большим количеством факторов. Для его
вычисления используется следующая формула:
, (10.43)
где m — количество коррелируемых факторов;
n — число наблюдений;
S — сумма квадратов отклонений суммы рангов по m фак-
Торам от их средней арифметической, т. е.
, (10.44)
где Rgij — ранг, присвоенный i -му значению j -го признака.
Формулу (10.44) можно переписать следующим образом:
. (10.45)
Заметим, что коэффициент конкордации меняется от нуля
(в случае несогласованности) до единицы (в случае полной со-
Гласованности).
Рассмотрим расчет коэффициент конкордации на конк-
Ретном примере.
Пример 10.2
Предположим, что имеются следующие условные данные
по зарегистрированным хищениям оружия (x 1), администра-
тивным правонарушениям (x 2) и преступлениям (у) за восемь
Лет в некотором государстве N. Надо найти тесноту зависимости
между у, x 1 и x 2 с помощью коэффициента конкордации. Исход-
ные данные необходимые для расчета поместим в табл. 10.8.
По данным табл. 10.8. находим
.
Далее по формуле (10.45) определяем:
.
Аналогичный результат получим и по формуле (10.44.),
Имея в виду, что
.
Таблица 10.8
Год
Преступления (у)
Хищения оружия (x 1)
Административные
правонарушения (x 2)
Rgyi Rgx 1 i Rgx 2 i
1997 13492 143627 238424 1 1 7 9 81
1998 13557 145471 213212 2 2 1 5 25
1999 14395 147783 215861 3 3 2 8 64
2000 15640 150209 233230 4 4 4 12 144
2001 17988 152763 236415 8 5 6 19 361
2002 17917 155207 234380 7 6 5 18 324
2003 17569 157804 220531 6 7 3 16 256
2004 17178 160050 260596 5 8 8 21 441
S = (9 − 13,5)2 + (5 − 13,5)2 + (8 − 13,5)2 + (12 − 13,5)2 +
+ (19 − 13,5)2 + (18 − 13,5)2 + (16 − 13,5)2 + (21 − 13,5)2 = 238.
Теперь, используя формулу (10.43.), рассчитываем коэф-
фициент конкордации:
.