Обработка результатов полного факторного эксперимента второго порядка

 

Цели работы: ознакомиться с методами планирования эксперимента; научиться составлению центральных композиционных планов 2-го порядка и обработке результатов эксперимента; решить приведенную задачу.

 

Краткие теоретические сведения

Центральное композиционное планирование используют в тех случаях, когда кривизна поверхности отклика велика и не может быть адекватно описана многочленом первого порядка. Наиболее широко для описания таких поверхностей применяют полиномы второго порядка типа

 

. (1)

 

Общий вид матрицы планирования для композиционного 2-фактор-ного плана представлен в табл. 1.

 

Таблица 1

 

Композиционный план 2-го порядка для 2 факторов

 

Системы опытов	№ оп.	х 0	х 1	х 2	х 1 х 2	х 12	х 22
Полный факторный эксперимент		+1	+1	-1	-1	+1	+1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1
	+1	–1	+1	–1	+1	+1
	+1	–1	–1	+1	+1	+1
Опыты в звездных точках		+1	+a			a2
	+1	–a			a2
	+1		+a			a2
	+1		–a			a2
Опыты в центре плана		+1
...	...	...	...	...	...	...
N	+1

 

Здесь х ₁и х ₂ – нормированные значения первого и второго факторов, a – величина звездного плеча.

Геометрически план второго порядка для двух факторов можно представить в виде рисунка.

Количество опытов в матрице композиционного плана второго определяется по формулам

 

при k < 5; , при k ³ 5, (2)

 

где 2 ^k – число опытов, образующих полный факторный эксперимент (ядро плана); 2 k – число так называемых звездных точек в факторном пространстве, имеющих координаты (±a, 0); (0, ±a); n ₀ – опыты в центре плана. Различают два вида композиционного планирования – ортогональное и ротатабельное.

 

 

Рис. Композиционный план 2-го порядка для 2 факторов

Ортогональный план второго порядка

В общем виде композиционные планы второго порядка не ортогональны, но они легко приводятся к ортогональным выбором соответствующего звездного плеча a. Значения звездного плеча a для ортогонального композиционного плана приведены в приложении 7.

Пример ортогонального плана второго порядка для двух факторов приведен в табл. 2.

 

Таблица 2

 

Ортогональный план 2-го порядка для 2 факторов

 

Системы опытов	№ оп.	х 0	х 1	х 2	х 1 х 2	х 1*	х 2*
Полный факторный эксперимент		+1	–1	–1	+1	+1/3	+1/3
	+1	+1	–1	–1	+1/3	+1/3
	+1	–1	+1	–1	+1/3	+1/3
Опыты в звездных точках		+1	+1	+1	+1	+1/3	+1/3
	+1	+1			+1/3	–2/3
	+1	–1			+1/3	–2/3
	+1		+1		–2/3	+1/3
	+1		–1		–2/3	+1/3
Опыты в центре плана		+1				–2/3	–2/3

 

Уравнение регрессии при центральном ортогональном композиционном планировании ищут в следующем виде:

 

. (3)

 

Благодаря ортогональности матрицы планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга по формулам

 

(4)

;

 

здесь j – номер фактора; i – номер опыта; j ¹ 0 при коэффициенте b_j и j ¹ u при коэффициенте b_ju.

Входящие в уравнение (3) вспомогательные переменные определяются по формуле

, где . (5)

Расчет вспомогательных переменных производится с целью приведения матрицы к ортогональному виду. Для того чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме

 

, (6)

b ₀ определяют по формуле

 

(7)

 

и оценивают с дисперсией, равной

 

. (8)

 

Рассчитав дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность полученного уравнения.

Коэффициенты уравнения регрессии, получаемые при помощи ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью. Ошибки коэффициентов для k < 5 определяются по формулам

 

. (9)

 

. (10)

 

. (11)

 

. (12)

 

где u, j = 1, 2, 3, 4; u ¹ j; значения дисперсии воспроизводимости и стандарта определяются по формулам

 

, (13)

 

где – значения параметра оптимизации в параллельных опытах; m – количество параллельных опытов; – среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах.

Значимость коэффициентов регрессии определяется по критерию Стьюдента

. (14)

 

Коэффициент значим, если t_j > t _т, где t _т – табличное значение критерия Стьюдента, которое определяется по приложению 4 в зависимости от числа степеней свободы воспроизводимости. Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения без пересчета.

Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера

 

. (15)

 

Здесь дисперсия адекватности определяется по формуле

 

, (16)

 

где – экспериментальное и расчетное значение параметра оптимизации; L – количество значимых коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение адекватно, если расчетное значение F меньше табличного для выбранного уровня значимости р.

 

Ротатабельный план второго порядка

Ортогональные планы второго порядка не обладают свойством ротатабельности. Бокс и Хантер предложили считать оптимальными ротатабельные планы второго порядка. Пример ротатабельного плана второго порядка для двух факторов приведен в табл. 3.

Определение коэффициентов уравнения регрессии при ротатабельном планировании осуществляется по формулам (17).

 

; ; ; ; ; .

(17)

Таблица 3

 

Ротатабельный план второго порядка для k = 2

 

Системы опытов	№ оп.	х 0	х 1	х 2	х 1 х 2	х 12	х 22
Полный факторный эксперимент		+1	–1	–1	+1	+1	+1
	+1	+1	–1	–1	+1	+1
	+1	-1	+1	–1	+1	+1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1
Опыты в звездных точках		+1	–1,412			+2
	+1	+1,412			+2
	+1		–1,412			+2
	+1		+1,412			+2
Опыты в центре плана		+1
	+1
	+1
	+1
	+1

 

Значения констант для определения коэффициентов регрессии при ротатабельном планировании приведены в табл. 4.

 

Таблица 4

 

Значения констант для определения коэффициентов регрессии

 

Число факторов, k	Число опытов, N	n 0	a	a 1	a 2	a 3	a 4	a 5	a 6	a 7
			1,412	0,2	0,1	0,125	0,25	0,1251	0,0187	0,1
			1,682	0,166	0,0568	0,0732	0,125	0,0625	0,0069	0,0568
			2,0	0,1428	0,0357	0,0417	0,0625	0,0312	0,0037	0,0357
5*			2,0	0,1591	0,0341	0,0417	0,0625	0,0312	0,0028	0,0341
			2,378	0,0988	0,0191	0,0231	0,0312	0,0156	0,0015	0,0191

 

* полуреплика

 

Дисперсия воспроизводимости при ротатабельном планировании определяется по опытам в центре плана аналогично ортогональному планированию. Ошибки коэффициентов определяются по формулам (18).

 

Sb ₀² = a ₁ ; Sb_j ² = a ₃ ; Sb_uj ² = a ₄ ; Sb_jj ² = (a ₅ +a ₆) . (18)

 

Значимость коэффициентов уравнения регрессии определяется аналогично ортогональному планированию. Если незначимым оказался один из квадратичных эффектов, после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать.

Дисперсию адекватности определяют по формуле

 

, (19)

 

где остаточная дисперсия, число степеней свободы остаточной дисперсии и число степеней свободы дисперсии адекватности соответственно равны:

 

	,	(20)
	,	(21)
	.	(22)

 

Уравнение адекватно, если расчетное значение критерия Фишера не превышает табличного (приложение 8), взятого для степеней свободы f ₁ = f _ад и f ₂ = f _вос.

 

Задача

По результатам экспериментов получить уравнения регрессии, определить их адекватность и построить расчетные поверхности отклика в области проведения экспериментов.

 

Ход работы:

1. Получить исходные данные у преподавателя.

2. Определить коэффициенты уравнения регрессии по ортогональному плану эксперимента по формулам (4).

3. Определить дисперсию воспроизводимости и стандарт по формулам (13).

4. Определить ошибки коэффициентов по формулам (9–12).

5. Рассчитать значения критерия Стьюдента по формуле (14) и определить значимость коэффициентов уравнения регрессии. Скорректировать уравнение регрессии с учетом отброшенных коэффициентов.

6. Рассчитать по формуле (15) критерий Фишера и по приложению 8 определить адекватность полученной модели.

7. Построить расчетную поверхность отклика в области проведения эксперимента.

8. Аналогично (п. 1–7) получить уравнение регрессии по ротатабельному плану, определить его адекватность и построить поверхность отклика.

9. Написать вывод по работе.

 

 

Приложение 1