Цели работы: ознакомиться с ячеечной моделью (ЯМ); освоить практическое применение модели для исследования работы каскада аппаратов с перемешивающим устройством; решить приведенную задачу.
Краткие теоретические сведения
Типовые модели идеального перемешивания (ИП) и идеального вытеснения (ИВ) предполагают идеальную структуру потока и не всегда адекватны реальным процессам. Для описания реальных объектов следует применять более точные модели: ячеечную, ячеечную с рециркуляцией и диффузионную. Самой простой среди перечисленных является ЯМ. Физическая сущность ЯМ заключается в том, что аппарат мысленно расчленяется на n последовательно соединенных ячеек. При этом принимается, что в каждой из ячеек поток идеально перемешан, а между ячейками перемешивание отсутствует. Параметром ЯМ, количественно характеризующим продольное перемешивание, служит число ячеек полного перемешивания. При n 
ЯМ переходит в модель ИВ, а при n 1 – в модель ИП.
ЯМ достаточно точно воспроизводит структуру потока в последовательно соединенных аппаратах с мешалками (каскад реакторов), в массообменных колоннах с беспровальными тарелками и частично в кипящем слое. При внесении соответствующих изменений в ЯМ (ЯМ с рециркуляцией) она может использоваться и для аппаратов с обратным перемешиванием потока: массообменные колонны с провальными тарелками, барботажные колонны, аппараты с кипящим слоем и т.д.
Принципиальная схема ЯМ приведена на рис. 1.
Математическое описание модели будет иметь вид системы уравнений, количество которых равно n:
- - - - - - - - - - - - - - -
 ,
- - - - - - - - - - - - - - -
| (1) |
где 
– объем i -й ячейки; 
– среднее время пребывания потока в i -й ячейке; 
– объемный расход потока; Свх, Ci, Cn – концентрация потока на входе, в i-й и n-й ячейках соответственно; t – текущее время.
|
Рис. 1. Принципиальная схема ЯМ
В условиях стационарного режима и при отсутствии каких-либо превращений Свх = Свых = Cn.
Отклики модели на типовые возмущения приведены на рис. 2.
Рис. 2. Отклики ЯМ на типовые возмущения
Решения модели:
Импульсное возмущение
Для 1-й ячейки в соответствии с граничными условиями Свх = 0 и С1 = Сн в момент времени t = 0 на основании решения модели ИП получим
 . (2)
|
Тогда для 2-й ячейки в соответствии с граничными условиями Свх = С1 и С2 = 0 при t = 0 получаем
 .
| (3) |
Произведя аналогичные вычисления относительно всех ячеек, для n-й будем иметь
 ,
| (4) |
здесь Сн – концентрация индикатора в первой ячейке в начальный момент времени.
Введя безразмерную концентрацию С (q) = Сn/Сн и время 
, уравнение 4 можно представить в безразмерном виде
 . (5)
|
Ступенчатое возмущение
Для ступенчатого возмущения аналогично получим
 . (6)
|
Если представить аппарат, состоящим из ряда последовательно соединенных ячеек, то при подаче ступенчатого возмущения на вход аппарата в виде уменьшения концентрации индикатора от некоторого значения до нуля через время 
для n = 6 будем иметь примерно следующую зависимость (рис. 3).
Параметрами ЯМ являются среднее время пребывания потока в ячейке 
и количество ячеек n.
Параметр n можно определить через моменты функции отклика на импульсное возмущение:
начальный момент 2-го порядка –  .
|
|
Рис. 3. Концентрация индикатора в ячейках ЯМ после подачи
ступенчатого возмущения в момент времени 
центральный момент 2-го порядка –  ,
| (7) |
безразмерный центральный момент 2-го порядка –  ,
|
где безразмерная дисперсия определяется по формуле
 .
| (8) |
Здесь 
интервал безразмерного времени между соседними измерениями.
Задача
Технологический процесс рассчитан на использование аппарата со структурой потока, соответствующей диффузионной модели. Реальные условия производства таковы, что вместо одного аппарата диффузионного типа целесообразнее использовать каскад аппаратов с мешалками.
Посредством вычислительного эксперимента, с помощью метода ступенчатого возмущения, исследовать зависимость распределения концентрации индикатора в ячейках от числа аппаратов с мешалками. Определить, сколько потребуется аппаратов с мешалками, чтобы получить каскад, способный обеспечить структуру потока, близкую к аппарату диффузионного типа. Считать, что структура потока близка к диффузионной, если разница значений Х 85 и Х 15, представленных на графике, не превышает 30 % максимальной длины условного аппарата X max, где Х 85 и Х 15 – безразмерные длины условного аппарата (шкала абсцисс – X), соответствующие значениям концентрации индикатора на выходе из каскада, равным 85 и 15 (%); X max – максимальная длина условного аппарата, равная 100 %. Исходные данные для расчета приведены в таблице.
Возмущение осуществлять путем понижения концентрации индикатора на входе потока в аппарат от значения С вых (см. табл.) до нуля.
Для полученного каскада аппаратов построить кривую отклика на импульсное возмущение. С помощью кривой отклика, в целях проверки, определить количество входящих в каскад аппаратов идеального перемешивания.
Ход работы
1. Ознакомиться с кратким изложением теории.
2. Составить систему дифференциальных уравнений и программу для ее решения. Программа должна строить график распределения концентраций по ячейкам в зависимости от их количества.
3. Путем проведения вычислительного эксперимента исследовать характер распределения концентрации индикатора по ячейкам в зависимости от их количества. Определить количество аппаратов, способное обеспечить структуру потока в каскаде в соответствии с условиями задачи.
4. Для полученного каскада по уравнению (5) построить кривую отклика на импульсное возмущение.
5. По уравнениям 7 (см. безразмерный момент) и 8 определить количество аппаратов идеального перемешивания, входящих в каскад, и сравнить с заданным значением.
6. Написать вывод по решению задачи.
Примечание: графики строить для текущего момента времени, равного 
.
Исходные данные
| № вар. | ||||||||||
 , кг/м3
| ||||||||||
| , мин
|
Здесь – концентрация индикатора на выходе из аппарата в момент времени t = 0.
Лабораторная работа № 4
